光子的量子波動方程

劉 晗,楊涪銓,潘 慶,任明麗,郭義慶,吳向堯

(1. 吉林師范大學 物理學院,吉林 四平 136000；2. 中國科學院 高能物理研究所,北京 100049)

Maxwell方程組是描述光的宏觀電磁理論,其滿足相對論要求[1]. Dirac首先將電磁場量子化[2],量子化后的電磁場能量為一系列不連續(xù)的量,即

量子化結果表明,宏觀電磁場由大量不連續(xù)的光子構成,電磁場的最低能量激發(fā)對應一個光子態(tài),較高能量激發(fā)對應多個光子態(tài). 因此量子化后的電磁場解釋了光子的存在. 同時,量子理論認為所有粒子均具有波粒二象性. 文獻[3-5]研究表明,由于光子作為相對論性粒子,不具有Schr?dinger方程所描述非相對論粒子的波動特性,因此不存在光的波函數(shù)和幾率密度. 其中,電子與光子間的關鍵區(qū)別在于光子的局域問題,電子可處于位置本征態(tài),而光子不能處于位置本征態(tài),但自由空間電磁場的能量密度可表示為一個局域量E2(x)+c2B2(x). 文獻[6-13]通過定義光的波函數(shù)

ψ(r,t)=2-1/2(E(r,t)+iH(r,t))

給出了光子的波動方程.

本文給出外場中粒子的Lagrange函數(shù)及其Hamilton量的相對論表達式. 令靜止質量m0=0,進一步給出光子的Hamilton量及光子在介質中的勢能. 由于光子自旋s=1,為矢量粒子,因此其波函數(shù)為矢量函數(shù). 在此基礎上,通過理論推導給出自由和非自由光子的量子波動方程,用該方程可研究光在光子晶體中的量子色散關系及量子透射等特性.

1 光子的相對論Hamilton量

外場中粒子的Lagrange相對論表達式為

(1)

其中m0為粒子的靜止質量,v為粒子速度,c為光速,V為粒子在外場中的勢能. 由L可得正則動量p為

(2)

則

(3)

Hamilton量的表達式為

(4)

其中E為粒子的總能量. 對于光子,靜止質量為m0=0,則式(4)變?yōu)?/p>

E=cp+V.

(5)

在介質中,光子的能量、動量和速度分別為

(6)

其中ν為光子頻率,λ為光子波長. 將式(6)代入式(5)可得

hv=hc+Vλ,

(7)

由式(7)可得介質中光子的勢能為

(8)

將式(8)代入式(5)可得介質中光子的能量為

E=cp+V=pv.

(9)

2 介質中光子的量子波方程

利用光子能量方程(5)可研究介質中光子的量子波動方程. 方程(5)可寫為

(10)

符合歸一化條件的多分量波函數(shù)ψ(p,E)滿足

(11)

由于光子自旋s=1,因此其波函數(shù)有3個分量,ψ(p,E)=(ψx(p,E),ψy(p,E),ψz(p,E)),用波函數(shù)ψ(p,E)乘以方程(10)可得

(12)

(13)

任何矢量場均可寫為兩個線性無關部分之和,即ψ=ψT+ψL,其中橫向部分ψT和縱向部分ψL滿足

p·ψT=0,p×ψL=0,

(14)

式(13)可寫為

(15)

以橫向部分ψT為光子的相關場,對于光子場ψT,將式(15)寫為

(16)

即

(17)

用光速c乘以式(17),將式(12)代入式(17)可得

(18)

或

(E-V)ψT(p,E)=cip×ψT(p,E).

(19)

由式(19)知,ψT(p,E)為復矢量,將波函數(shù)ψ(p,E)做動量空間到坐標空間及能量到時間的Fourier變換,通過包含一個δ函數(shù)表示能量和動量間的約束(E=c|p|). 能量E為一個獨立變量,可給出

(20)

其中權函數(shù)f(E)可允許得到不同形式的歸一化波函數(shù)ψ(r,t),對于光子,則有

(21)

其中〈E〉表示光子能量的期望值. 對于光子波函數(shù)ψT(r,t),存在與ψ(r,t)相同的變換,即

(22)

對式(22),有如下逆轉Fourier變換:

同時有

將式(23)～(25)代入式(19)可得

(26)

方程(26)為介質中光子的量子波動方程. 對于自由光子(V=0),有

(27)

用方程(27)乘以?可得

(28)

由

(29)

可得

(30)

由方程(30)可得s=1. 因此方程(27)和方程(28)對應于自旋s=1,靜止質量m0=0的粒子波動方程,即光子的量子波動方程.

3 光子量子波動方程的應用

下面給出光子量子波動方程的一些應用實例,其中包括研究光在一般介質和光子晶體中的量子性質. 由方程(26)通過分離變量法

ψ(r,t)=ψ(r)f(t)

(31)

可得

即

(32)

從而可得光子的能量本征方程

c?×ψ(r)+ψ(r)=Eψ(r).

(33)

在折射率為n的介質中,光子勢能為

V=?ω(1-n),

(34)

將方程(34)代入式(33)即可研究光在介質中的量子特性. 方程(26)的共軛方程為

(35)

將方程(26)乘以ψ*與方程(35)乘以ψ后相減可得

(36)

或

(37)

其中

ρ=ψ*·ψ,J=icψ×ψ*.

(38)

定義量子透射率T和反射率R分別為

(39)

(40)

綜上,本文給出了外場中粒子的Lagrange函數(shù)及其Hamilton量的相對論表達式. 令靜止質量m0=0,進一步給出了光子的Hamilton量及光子在介質中的勢能. 由于光子自旋s=1,為矢量粒子,因此其波函數(shù)為矢量函數(shù). 在此基礎上,通過理論推導給出了自由和非自由光子的量子波動方程,用該方程可研究光在光子晶體中的量子色散關系及量子透射等特性.