一類隨機蚊蟲種群模型及其漸近性態(tài)

胡 悅，胡良劍

(東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620)

近年來，傳染病數(shù)學(xué)模型的研究得到了廣泛關(guān)注，這些研究為傳染病的預(yù)測和控制提供了理論依據(jù)。2020年8月，新加坡遇到史上最嚴重的登革熱疫情，我國廣西和廣東等省份也出現(xiàn)了相關(guān)病例。登革熱、流行性乙型腦炎、瘧疾、絲蟲病和黃熱病等危害性很強的傳染病是由一類蚊蟲傳播的自然疫源性疾病，稱為蚊媒傳染病。噴灑農(nóng)藥等方式并不能有效地阻止這類傳染病，過量使用還會導(dǎo)致環(huán)境污染、生態(tài)破壞等后果。于是人們研究出一種新型的控制策略來阻斷這類蚊蟲傳播疾病，即利用沃爾巴克氏菌入侵這類蚊蟲。這種細菌的繁殖方式屬于母系遺傳，并且通過驅(qū)動細胞質(zhì)不親和性這一特有的細菌繁殖機制(Cytoplasmic Incompatibility,簡稱CI機制)入侵蚊蟲種群，就可以獲得一種較為理想的病毒傳播特性。這種特性會導(dǎo)致未受沃爾巴克氏菌感染的雌性蚊蟲和受感染的雄性蚊蟲交配產(chǎn)生的胚胎死亡，因此蚊蟲的數(shù)量會大大降低，從而達到減少蚊媒傳染病傳播的目的。在此期間，受沃爾巴克氏菌感染的雌性蚊蟲數(shù)量則不受任何影響，這樣便保證了沃爾巴克氏菌入侵蚊蟲種群的優(yōu)勢，使得蚊媒傳染病能夠獲得有效的控制，以有利于人類健康和社會穩(wěn)定。

一些學(xué)者對沃爾巴克氏菌影響下的蚊蟲種群模型進行了深入的研究。Fine對庫蚊細胞質(zhì)不相容的種群動態(tài)進行研究分析，指出了雄性的攜帶者和雌性的非攜帶者之間有不親和性，僅僅通過母體遺傳特征，蚊蟲就能夠在一個種群中傳播寄生蟲和傳染病。Huang等考慮了一個反應(yīng)擴散模型，該模型是在下列沃爾巴克氏菌影響下的確定性蚊蟲種群模型的基礎(chǔ)上改進的：

(1)

迄今大部分研究都是在蚊蟲生活環(huán)境不變的假設(shè)下，討論蚊蟲種群的變化情況。事實上，蚊蟲種群生活環(huán)境處于一個動態(tài)變化的過程，總是會受到環(huán)境噪聲的影響。在溫度、降雨或者人為因素等影響下，蚊蟲種群的出生率會隨之波動。有一些學(xué)者對隨機環(huán)境下的種群進行了研究。目前絕大部分的研究都是在將常數(shù)參數(shù)

a

和

b

替換為

a

(

t

)和

b

(

t

),其他參數(shù)

c

、

m

保持不變的條件下進行的。Hu等分別考慮了環(huán)境條件在兩個亞體系和多個亞體系之間的切換，把原本固定的參數(shù)變成隨時間等因素變化的量，最后估計了沃爾巴克氏固定的閾值釋放水平，并定義了疾病傳播的警報期，以衡量蚊蟲傳播疾病的風(fēng)險。

(2)

式中，

B

(

t

)為標準的布朗運動。由于噪聲項

B

(

t

)的影響, 式(2)的狀態(tài)成為擴散過程,因此研究式(1)的常微分方程理論不再適用于式(2),需要運用隨機分析理論來進行研究。

1 全局正解的存在唯一性

為了保證方程的現(xiàn)實意義，首先需要驗證系統(tǒng)(2)全局正解的存在唯一性。顯然模型的系數(shù)是局部李普希茲連續(xù)的，但不滿足線性增長條件，所以普通的存在唯一性定理就不能適用于此系統(tǒng)，研究將通過構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)來進行證明。

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

V

(

x

,

y

)=

x

-ln

x

+

y

-ln

y

,

根據(jù)伊藤公式得

由

得

EV

(

x

(

T

∧

τ

),

y

(

T

∧

τ

))≤

V

(

x

(0),

y

(0))+

QT

,

因此可以得到

當

k

→∞時,

V

(

x

(0),

y

(0))+

QT

≥∞，這與

V

(

x

(0),

y

(0))+

QT

<∞矛盾，因此

τ

=∞

a

.

s

。

定理得證。

2 滅絕性

在研究種群的動力學(xué)行為時，滅絕性和持久性是兩個重要的系統(tǒng)特性。本節(jié)先討論系統(tǒng)的滅絕性。在探究滅絕性的過程中，基本再生數(shù)是系統(tǒng)的一個閾值，當基本再生數(shù)小于1時，種群便會隨著時間的推移而滅絕。

證明

利用伊藤公式，

兩邊同時從0到

t

積分

當

t

→∞時，

x

(

t

)指數(shù)趨向于0。證畢。

3 持久性

本節(jié)研究系統(tǒng)的持久性。 在證明持久性之前，先介紹引理1，證明見文獻[20]。

引理

1 設(shè)

N

(

t

)是下列方程具有初值

N

>0的解，

dN

(

t

)=

N

(

t

)[

α

-

βN

(

t

)]

dt

+

γN

(

t

)

dB

(

t

)，若2

α

>

γ

，則

并且

注：該引理給出了隨機Logistic單種群模型的基本特性，其他復(fù)雜的隨機種群模型的研究可借鑒該系統(tǒng)的性質(zhì)作進一步探討。

即蚊蟲的總數(shù)是隨機平均持久的。

證明

由于

dx

(

t

)=

x

[

a

-

c

(

x

+

y

)]

dt

+

σxdB

(

t

)≤

x

(

a

-

cx

)

dt

+

σxdB

(

t

),令

x

(

t

)是方程

dx

=

x

(

a

-

cx

)

dt

+

σx

dB

(

t

)

的解,根據(jù)引理1有

顯然

(3)

令

y

(

t

)是方程

dy

=

y

(

b

-

my

)

dt

(4)

的解,那么

由式(3)、式(4)得

dx

(

t

)=

x

[

a

-

c

(

x

+

y

)]

dt

+

σxdB

(

t

)≥

x

(

a

-

cx

-

cy

)

dt

+

σxdB

(

t

)。令

x

(

t

)是方程

dx

(

t

)=

x

[

a

-

cx

-

cy

)

dt

+

σx

dB

(

t

)

的解,那么根據(jù)文獻[18]，

(5)

從而可設(shè)

根據(jù)伊藤公式得到

兩邊從0到

t

積分

整理后有

以及

兩式相加有

其中,

從而

結(jié)合式(5)可知

那么，

根據(jù)大數(shù)定律，

結(jié)合比較定理可知

因此有

由

以及大數(shù)定律得到

定理得證。

4 數(shù)值例子

為了證明以上的理論結(jié)果，利用Euler-Maruyama的方法來進行數(shù)值驗證。研究取初值

x

(0)=

y

(0)=0.5，即受感染蚊蟲和未受感染的蚊蟲數(shù)量各占一半。在系統(tǒng)(2)中設(shè)0≤

t

≤100，時間步長取1，

a

=0.1,

b

=0.2,

c

=0.3,

m

=0.4。

σ

=0.9時動力學(xué)行為如圖1所示。

σ

=0.05時動力學(xué)行為如圖2所示。圖1、圖2中的實線代表受感染蚊蟲數(shù)量，虛線代表未受感染蚊蟲數(shù)量。圖1中的參數(shù)滿足定理2的條件R=(2

a

/

σ

)<1，數(shù)值結(jié)果說明,噪聲干擾足夠大時，受感染蚊蟲會隨著時間趨于滅絕，而未受感染的蚊蟲則不會滅絕；圖2參數(shù)不滿足定理2的條件，可見噪聲干擾較小時，受感染的蚊蟲不會滅絕。系統(tǒng)的持久性如圖3所示。圖3中曲線代表蚊蟲總和，這里

a

=0.7，

σ

=0.4。由圖3可知，基本再生數(shù)R足夠大時，隨著時間的變化，蚊蟲總數(shù)長期平均值會穩(wěn)定在一個正值的趨勢。

圖1 σ=0.9時動力學(xué)行為 圖2 σ=0.05時動力學(xué)行為

圖3 系統(tǒng)的持久性

5 結(jié)論

進一步，可以探討模型(2)數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性。還可以考慮將模型的其他參數(shù)，如未受感染的蚊蟲出生率的隨機擾動，研究其全局正解的存在唯一性、滅絕性以及持久性等。