無金標(biāo)準(zhǔn)部分核實(shí)數(shù)據(jù)下基于Bootstrap的小樣本齊性檢驗(yàn)

伏啟翔，覃 愿，王黎明，邱世芳

（重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054）

估計(jì)疾病流行率是生物醫(yī)學(xué)研究中的一個重要問題。為收集數(shù)據(jù)，價格便宜的篩檢方法常被用來做初步診斷，但由于其分類誤差而導(dǎo)致有誤的分類結(jié)果，進(jìn)而導(dǎo)致基于這些有誤分類數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷不太合理。無誤判的金標(biāo)準(zhǔn)通常存在昂貴、耗時等不足，因而常不能用于每個個體的檢驗(yàn)。為此，Tenenbein［1］提出了二重抽樣方法，即從感興趣的總體中抽取的樣本（如N）都接受篩檢檢驗(yàn)，然后再隨機(jī)抽取部分個體（如n）再次接受金標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)。由于這n個個體同時接受了篩檢檢驗(yàn)和金標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)，反映了個體的真實(shí)特征。因而通過二重抽樣方法得到的數(shù)據(jù)又稱為部分核實(shí)數(shù)據(jù)［2］。對于有金標(biāo)準(zhǔn)部分核實(shí)數(shù)據(jù)的研究得到了很多學(xué)者的關(guān)注，如Tenenbein等［3-4］將二重抽樣方法推廣到多項(xiàng)分布數(shù)據(jù)的研究，Hochberg［5］推廣到多維數(shù)據(jù)的研究，Geng等［6］發(fā)展了部分核實(shí)數(shù)據(jù)的Bayesian分析方法。對于有序部分核實(shí)數(shù)據(jù)，Poon等［7］發(fā)展了一類參數(shù)模型，Qiu等［8］從有序效應(yīng)度角度研究了疾病流行率的等價性評價問題。以上研究都是基于有金標(biāo)準(zhǔn)下的研究，事實(shí)上，臨床診斷中并不一定存在完全無誤判的金標(biāo)準(zhǔn)。當(dāng)2種檢驗(yàn)都有誤判時基于部分核實(shí)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。為此，Nedelman［9］基于條件獨(dú)立性假定提出了3種模型并研究了疾病流行率、敏感度和特異度的估計(jì)問題，Lie等［10］基于2種二重抽樣模型進(jìn)行了研究。在Nedelman等［9-10］提出的模型基礎(chǔ)上，Qiu等［11-13］基于無金標(biāo)準(zhǔn)部分核實(shí)數(shù)據(jù)研究了假設(shè)檢驗(yàn)、區(qū)間估計(jì)及樣本量確定問題。疾病流行率的研究可能受到年齡、性別等混雜因素的影響，因而將這些混雜因素看成分層變量，研究分層設(shè)計(jì)下的部分核實(shí)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)推斷問題是一種重要的研究問題。在小樣本下基于大樣本漸近分布的檢驗(yàn)過程常常會得到不太令人滿意的結(jié)果，因而在小樣本下研究基于分層設(shè)計(jì)下的部分核實(shí)數(shù)據(jù)對疾病流行率的齊性檢驗(yàn)是一個有意義的研究問題。

1 統(tǒng)計(jì)模型與參數(shù)估計(jì)

假設(shè)存在有誤判的2種分類器（初級分類器J和高級分類器S）。從第j層（j=1，2，…，J）總體中隨機(jī)抽取Nj個個體接受初級分類器進(jìn)行檢驗(yàn)，Jj=1表示第j層的個體被診斷為陽性，反之，Jj=0；然后再從中隨機(jī)抽取nj（nj＜Nj）個個體接受高級分類器的檢驗(yàn)，Sj=1表示被診斷為陽性，反之，Sj=0。從而得到如表1所示的部分核實(shí)數(shù)據(jù)。

設(shè)Dj=1表示第j層中個體患病，反之，Dj=0；令πj=Pr（Dj=1）表示第j層中個體患病的概率，ηj=。為了使模型可識別，不妨假定不存在假陽性。

表1 第j層部分核實(shí)數(shù)據(jù)

1.1 模型1及參數(shù)估計(jì)

表2 模型1下第j層概率結(jié)構(gòu)

以下為齊性檢驗(yàn)：H0：π1=π2=…=πJ=π?H1：至少有一對πi≠πj（i≠j）。

設(shè)mj=（n11j，n10j，n01j，n00j，xj，yj），π=（π1，…，πJ）′，η=（η1，…，ηJ）′，θ=（θ1，…，θJ）′，則基于m=｛mj：j=1，2，…，J｝的對數(shù)似然函數(shù)為：l1（m；π，η，θ）=，其中

顯然，πj，ηj，θj的非限制性極大似然估計(jì)是方程組的解。根據(jù)文獻(xiàn)［12］可得，當(dāng)n11jn00j≥n10jn01j時，

在H0：π1=π2=… =πJ=π下，π，ηj，θj的限制性極大似然估計(jì)是如下方程組的解：，由于無顯表達(dá)式，因而可用牛頓迭代法等求得方程組的解。

1.2 模型2及參數(shù)估計(jì)

表3 模型2下第j層概率結(jié)構(gòu)

基于m=｛mj∶j=1，2，…，J｝對數(shù)似然函數(shù)為，其中：

則πj，ηj，θj的非限制性極大似然估計(jì)為

在H0：π1=π2=… =πJ=π下，π，ηj，θj的限制性極大似然估計(jì)通過求解以下兩式：，得到：

2 齊性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2.1 Score檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

根據(jù)Rao［14］所提出的Score檢驗(yàn)的一般理論，在2種模型下，經(jīng)過簡單計(jì)算可得在H0：π1=π2=…=πJ=π成立下的Score檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

其中Sj是2種模型下的Score函數(shù)，

I11j為第j層Fisher信息陣的逆矩陣的第一主對角元素（見附錄）。當(dāng)Nj→∞（j=1，2，…，J）時，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tsc漸近服從自由度為J-1的卡方分布［15］。

2.2 加權(quán)最小二乘估計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

根據(jù)研究，可得如下的加權(quán)最小二乘估計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量［16］：

2.3 基于log變換的加權(quán)最小二乘估計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

2.4 基于logit變換的最小二乘估計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

式中：漸近服從于自由度為J-1的卡方分布。

2.5 基于雙對數(shù)變換的最小二乘估計(jì)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

3 檢驗(yàn)過程

3.1 漸近的檢驗(yàn)方法

3.2 基于Bootstrap的檢驗(yàn)方法

4 模擬研究

為評價提出方法的有效性，考慮如下的樣本量：①平衡設(shè)計(jì)nj=20，Nj=30（j=1，2，3）；②非平衡設(shè)計(jì)：（n1，n2，n3，N1，N2，N3）=（10，10，15，20，15，30）和參數(shù)設(shè)置：π=0.10（0.20）0.50；η1=0.50（0.05）0.60，η2=η1+0.05，η3=η1+0.10；θ1=0.70（0.05）0.80，θ2=θ1+0.05，θ3=θ1+0.10研究各種檢驗(yàn)的犯第1類錯誤的概率，模擬結(jié)果列于表4、5。同時，考慮以上2種樣本量下δ=0.10（0.10）0.30和以上參數(shù)設(shè)置各檢驗(yàn)的功效，由于篇幅的限制，本研究只列出了nj=20，Nj=30（j=1，2，3）下的模擬結(jié)果，如表6所示。

模擬結(jié)果表明，2種模型下基于Bootstrap的小樣本檢驗(yàn)過程優(yōu)于漸近的檢驗(yàn)方法，前者犯第1類錯誤的概率更接近名義水平且具有更高的功效，而后者在小樣本下犯第1類錯誤的概率太保守。特別地，基于Score檢驗(yàn)的Bootstrap檢驗(yàn)過程在2種模型下的犯第1類錯誤的概率最接近名義水平。

表4 平衡小樣本量nj=20，Nj=30（j=1，2，3）下各檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在顯著性水平為α=0.05下犯第1類錯誤的概率（%）

表5 非平衡小樣本量設(shè)置下（n1=10，n2=10，n3=10；N1=20，N2=15，N3=30）各檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在置信水平α=0.05下犯第1類錯誤的模型結(jié)果概率（%）

表6 平衡小樣本量設(shè)置下（Nj=20，Nj=30，j=1，2，…，3）各檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在置信水平α=0.05下的檢驗(yàn)功效（%）

5 實(shí)例分析

考慮Nedelman［9］在研究瘧疾流行率時按年齡分層的瘧疾數(shù)據(jù)，本研究考慮如表7所示的3個成年組數(shù)據(jù)，其中“+”表示被診斷為陽性，“-”表示被診斷為陰性。

表7 成人組瘧疾數(shù)據(jù)

基于以上數(shù)據(jù)，可得到2個模型下參數(shù)πj、ηj、θj的非限制性和限制性極大似然估計(jì)，如表8所示。

表8 成人組瘧疾數(shù)據(jù)的非限制性極大似然估計(jì)（MLE）與限制性極大似然估計(jì)（CMLE）

對于假設(shè)檢驗(yàn)：H0∶π1=π2=π3?H1∶π1，π2，π3不全相等，各種檢驗(yàn)的漸近p值和Bootstrap檢驗(yàn)p值如表9所示。

表9 成人組瘧疾數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)p值

由表9可知，2種模型下各種檢驗(yàn)的漸近和Bootstrap檢驗(yàn)p值都大于0.05，因而在顯著性水平0.05下都沒有足夠的理由拒絕原假設(shè)。

6 結(jié)論

本研究考慮了分層設(shè)計(jì)下的無金標(biāo)準(zhǔn)部分核實(shí)數(shù)據(jù)對疾病流行率的齊性檢驗(yàn)H0∶π1=π2=… =πJ?H1∶πi，πj不全相等（i≠j），提出了小樣本下基于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Tsc，Twls，Tlog，Tlogit，Tdlog的Bootstrap檢驗(yàn)過程。模擬研究結(jié)果表明，在小樣本下基于Bootstrap的檢驗(yàn)過程犯第1類錯誤的概率更接近顯著性水平，且具有更高的功效。因而，在小樣本下推薦使用Bootstrap的檢驗(yàn)過程。

附錄

第j層Fisher信息陣的逆矩陣的第一主對角元素為

其中，

在模型1下：

在模型2下：