基于數(shù)學“構(gòu)造”的高階思維培養(yǎng)研究

廖金祥 陳曉靜

（1.廈門第二中學，福建 廈門 361009；2.廈門五緣實驗學校，福建 廈門 361009）

傳統(tǒng)教學重視知識傳授、題型歸納、方法總結(jié)，注重記憶和理解，忽視分析和評價，更談不上創(chuàng)造，這不利于數(shù)學高階思維的培養(yǎng).數(shù)學核心素養(yǎng)的落地需要培養(yǎng)良好的數(shù)學思維，重點是培養(yǎng)學生優(yōu)秀的思維能力，包括基于記憶、理解、應(yīng)用的低階思維和基于分析、評價和創(chuàng)造的高階思維.

構(gòu)造法本質(zhì)上就是一種創(chuàng)造，需要較強的想象能力，需要創(chuàng)新.2017 版普通高中數(shù)學課程標準多處提到“創(chuàng)新”：［1］（見表1）

表1

習近平總書記強調(diào)，抓創(chuàng)新就是抓發(fā)展，謀創(chuàng)新就是謀未來.要創(chuàng)新就要有高階思維，數(shù)學構(gòu)造法教學可以有效培養(yǎng)學生的高階思維能力.

一、構(gòu)造法是高階思維的重要表現(xiàn)

一些數(shù)學問題用常規(guī)思路很難解決，這時需要打破常規(guī)，另辟蹊徑，即要有創(chuàng)新思路.數(shù)學構(gòu)造法是用新的視角探究隱藏在條件和結(jié)論之間內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造滿足要求的數(shù)學對象，使需要解決的問題以新的方式呈現(xiàn)，借助新的數(shù)學對象解決舊的數(shù)學問題，如構(gòu)造函數(shù)、不等式、圖形、向量等，也可以構(gòu)造輔助命題，構(gòu)造數(shù)學模型等.［2］

構(gòu)造法是一種涉及多種思維成分的復(fù)雜的創(chuàng)造性思維過程，歷經(jīng)觀察、想象、抽象、概括等過程，勾股定理、祖堩原理的證明，無不閃爍著構(gòu)造智慧的光芒.在教學中要為學生創(chuàng)設(shè)有效的探究環(huán)境，鼓勵學生多維度探究思考，在反復(fù)地嘗試、反思和修正中構(gòu)造合理的模型，有效解決問題，提高創(chuàng)新意識.學生基礎(chǔ)越扎實，知識面越廣博，則聯(lián)想就越豐富，高階思維能力就越強.［3］

構(gòu)造過程由近而遠，由淺而深，由表及里，展現(xiàn)數(shù)學的神奇與魅力.構(gòu)造法提高了學生的解題效率，擴展了學生的思維空間，增強視力，優(yōu)化視角，開闊視野，有利于培養(yǎng)學生靈活的解題能力，促進學生思維能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，從而使培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)目標落地生根.

二、有價值的數(shù)學問題是培養(yǎng)高階思維的載體

思維大師杜威認為：高階思維不是自然發(fā)生的，它是由“一些困惑、混淆或懷疑”引發(fā)的，因此，問題是思維起點，也是終點.好的教學以問題為主體，思維為主線，用問題來激發(fā)高階思維.課標、教材、高考題有很多值得深度研究的數(shù)學問題，它是激發(fā)學生高階思維 的 好 問 題.如 教 材 證 明 公 式：cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，由左邊聯(lián)想夾角，構(gòu)造向量，由右邊聯(lián)想坐標(cosα，sinα)，(cosβ，sinβ)，構(gòu)造單位圓，這就是一個充滿想象和創(chuàng)造，極有價值的數(shù)學問題.

有價值含義深刻的數(shù)學問題，會讓學生浮想聯(lián)翩，“無”中生“有”，“有”中生“新”，“新”中生“奇”，例如 我 們 熟 知 的 問 題：已 知a，b，m∈R+，且a

三、構(gòu)造法培養(yǎng)數(shù)學高階思維的主要路徑

（一）基于“函數(shù)”的構(gòu)造

基于“函數(shù)”的構(gòu)造，需要從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學語言予以表征，構(gòu)造出能解決問題的數(shù)學對象.函數(shù)是數(shù)學最基礎(chǔ)的概念，它描述了客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律，既具體又抽象，通過對條件結(jié)構(gòu)特征的分析、思考、聯(lián)想，結(jié)合函數(shù)概念和性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性等），構(gòu)造符合要求的基本初等函數(shù)，可以解決復(fù)雜、抽象的數(shù)學問題，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學高階思維能力，如公式=2n的證明就是通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1+x)n，再結(jié)合二項式定理+…+

令x=1，即獲證.

在數(shù)學高考試題中，常常出現(xiàn)已知條件是用數(shù)學符號語言表達的抽象函數(shù)的性質(zhì)的試題，例如，2008年高考數(shù)學陜西卷理科第11 題：

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)=f（y）+2xy(x，y∈R)，f(1)=2，則f(-3)等于（ ）

A.2 B.3 C.6 D.9

這種試題如能透過現(xiàn)象看本質(zhì)，構(gòu)造背景函數(shù)——滿足要求的一個具體函數(shù)表達式（如f(x)=x2+x），就可以化抽象為具體，從而快速、準確地獲取正確結(jié)果.這就要求學生對學過的常用基本初等函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)）的基本性質(zhì)深入地了解，理解函數(shù)的本質(zhì)特征，才能創(chuàng)造適合解決問題的函數(shù).

常見函數(shù)f(x)滿足的性質(zhì)及與之對應(yīng)的特殊函數(shù)（背景函數(shù)），如表2 所示：

表2

由于抽象函數(shù)問題具有抽象性、綜合性，既能考查函數(shù)的概念和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，又能考查學生的分析和創(chuàng)新等高階思維能力，因而它是歷年高考的難點和熱點.抽象函數(shù)具有高度的抽象性，學生在解題過程中往往感到不知從何處入手，構(gòu)造背景函數(shù)的方法在選擇填空題中尤其實用，應(yīng)用合理，則事半功倍.［4］

例1（2020 全國卷I 理科12）若2a+log2a=4b+2 log4b，則

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：在記憶指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)概念，理解它們的性質(zhì)基礎(chǔ)上，分析條件和選項的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x=log2x，則f(x)為增函數(shù)，由2a+log2a=4b+2 log4b=22b+log2b，得f(a) -f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)=22b+log2b-(22b+log22b)=-1<0，所以f(a)

f(a) -f(b2)=2a+log2a-(2b2+log2b2)=22b-2b2-log2b，當b=1 時，f(a) -f(b2)=2 >0，此 時f(a) >f(b2)，有a>b2.

當b=2 時，f(a) -f(b2)=-1<0，此 時f(a)

例2（2009 高考陜西理12）定義在R 上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(-∞，0](x1≠x2)，有(x2-x1)(f(x2) -f(x1)) >0.則當n∈N*時，有

A.f(-n)

B.f(n-1)

C.f(n+1)

D.f(n+1)

分析：因為(x2-x)(f(x2)-f(x1)) >0，函數(shù)在-(∞，0]上為增函數(shù)，

又因為f(x) 為偶函數(shù)，選擇背景函數(shù)為f(x)=-x2.

∴f(-n)=n2，f(n-1)=(n-1)2，f(n+1)=(n+1)2

∴當n∈N*時，B 選項正確.

例3（2015 全國卷Ⅱ理科12）設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R) 的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當x>0 時，xf′(x) -f(x) <0，則使得f(x) >0 成立的x的取值范圍是

A.(-∞，-1) ?(0，1) B.(-1，0) ?(1，+∞)

C.(-∞，-1) ?(-1，0) D.(0，1) ?(1，+∞)

分析：由已知抽象關(guān)系xf′(x) -f(x) <0，聯(lián)想導(dǎo)數(shù)除法法則，構(gòu)造函數(shù)g(x)=，則g′(x)=，因為當x>0 時，xf′(x) -f(x) <0，故當x>0 時，g′(x) <0，所以g(x)在（0，+∞）單調(diào)遞減；又因為函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(-∞，0)單調(diào)遞減，且g(-1)=g(1)=0.當0 0，則f(x) >0；當x<-1 時，g(x) <0，則f(x) >0，綜上所述，使得f(x) >0 成立的x的取值范圍是(-∞，-1)?(0，1)，故選A.

（二）基于“圖形”的構(gòu)造

數(shù)有了形則直觀，形有了數(shù)則深刻，很多代數(shù)結(jié)構(gòu)具有形的影子，如a2對應(yīng)正方形面積，對代數(shù)關(guān)系進行聯(lián)想遷移，構(gòu)造合理的幾何圖形，再通過分析、思考、計算等系列思維活動，形成有創(chuàng)造性的思路和方法，這就完成從低階思維到高階思維的跨越.

我國古代數(shù)學家善于構(gòu)造圖形驗證或證明代數(shù)等式、不等式，如趙爽構(gòu)造正方形ABCD，以及四個全等的直角三角形（弦圖），以此驗證代數(shù)不等式a2+b2>2ab（當且僅當a=b時，等號成立）.

教材中的例題具有示范性和典型性，因此，例題教學應(yīng)讓學生從不同角度，應(yīng)用新舊知識去聯(lián)想、去思考，克服學生思維定式，提高學生的高階思維能力，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.

人教社A 版選修4-5 有一道非常經(jīng)典的例題：已知a，b，m∈R+，且a

該例題證明方法眾多，有低階的作差證明，高階的三角形構(gòu)造，特別有創(chuàng)新的方法是構(gòu)造函數(shù)f(x)=，它在(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)，曲邊梯形ABCD 的面積大于曲邊梯形EFGH 的面積，所以因此,，從而不等式獲證.（見圖1）

課堂教學中，注意挖掘教材中具有某種創(chuàng)新價值的素材，引導(dǎo)學生積極思考，促進學生創(chuàng)新意識的發(fā)展.[5]選擇有價值的數(shù)學問題，引導(dǎo)學生積極思考，思考過程就是思維水平從低階逐步邁向高階的過程.

人教社A 版必修2 習題3.3B組第8 題：

圖1

要證的不等式有隱含的幾何元素——兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間距離，及四個定點O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)組成正方形，由此得到構(gòu)造“形”來證明“數(shù)”的方法.（見圖2）

在平面直角坐標系中，畫點A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)三點.

設(shè)P(x，y)是正方形OABC內(nèi)一點，則有0

圖2

高考試題也有豐富的基于“圖形”的構(gòu)造素材用以考查學生的高階思維能力，如2011 年全國高考新課標卷理科16 題：

本題欲解決三角問題，通過構(gòu)造方程到構(gòu)造橢圓，完成華麗轉(zhuǎn)身，可見構(gòu)造法需要學生既要有厚實的數(shù)學知識，又要善于聯(lián)想和靈活應(yīng)用.構(gòu)造法非常有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，提升高階思維能力.

（三）基于“法則”的構(gòu)造

數(shù)學法則是計算、推理的依據(jù)，數(shù)學法則的表層應(yīng)用是低階思維，如計算并不需要創(chuàng)造性，只需記憶、理解對數(shù)基本知識，應(yīng)用對數(shù)四則運算法則log2MN=logaM+logaN(a>o，a≠1，M>0，N>0)就可以求解.法則構(gòu)造首先要記憶理解有關(guān)法則，其次熟練應(yīng)用法則，這些都還是低階思維，在此基礎(chǔ)上深度思考，將法則應(yīng)用于新領(lǐng)域，進行推理、計算、綜合和創(chuàng)造，發(fā)現(xiàn)或證明新的命題，這就需要高階思維.

二項式定理的證明就是典型的基于數(shù)學法則的構(gòu)造性證明，其根據(jù)是多項式相乘的運算法則.

因為(a+b)n是n個(a+b)相乘，根據(jù)多項式相乘的規(guī)律，展開式中的每一項都是一個n次項，具有形式an-kbk，其中k=0，1，2，…，n.

因為k個b來自不同的k個二項式(a+b)，n-k個a來自剩余的n-k個二項式(a+b)，所以an-kbk同類項的個數(shù)是組合數(shù).

即(a+b)n=

二項式定理的證明方法具有創(chuàng)新性，通過二項式定理的構(gòu)造性證明，有利于深刻體會運算法則的作用，同時感知基于多項式乘法運算（低階思維），是發(fā)現(xiàn)和提出命題、探索和嚴格論證（高階思維）的基礎(chǔ)，在構(gòu)造性證明過程中提高學生高階思維能力.