考慮非Darcy滲流的砂井地基彈黏塑性固結分析

劉忠玉，徐傳永，朱新牧，張家超，夏洋洋

(鄭州大學 土木工程學院,鄭州 450001)

沿海地區(qū)由于飽和軟黏土地基的高壓縮性，在荷載作用下建筑容易產(chǎn)生較大沉降，因此,需對地基進行預先處理，以加快地基的固結速率，其中設計理論大多基于砂井固結理論.Barron[1]首先對砂井地基給出了等應變和自由應變兩種假定下徑向固結度的計算公式，并指出當固結時間較長時，兩者假定下的計算差異很小.在此基礎上，Hansbo等[2-3]分別研究了井阻作用對砂井固結的影響.Tang等[4-6]在等應變條件下分別考察了變荷載、影響區(qū)形狀等因素對砂井地基固結機制的影響，進一步完善了砂井固結理論.同時，為得到更為精確的固結解答，Berry等[7-9]考慮土體非線性壓縮關系，采用不同關系式修正砂井徑向固結方程，并給出解析解答.然而，上述研究均忽略了軟黏土的流變特性和滲流的非達西特性，因而地基沉降的理論值與實際觀測值常存在較大差異.

固結試驗和現(xiàn)場觀測[10-12]表明，軟黏土具有顯著的流變性.為了更好地反映土體流變固結機制，Taylor等[13]首先采用Kelvin模型分析土體的主次固結耦合過程，隨后有學者引入了Merchant模型[14]、廣義Voigt模型[15]等.但由于元件模型通過基本流變元件的組合而成，本構方程有時含有較多參數(shù)，且形式比較復雜.因此，劉忠玉等[16-17]引入了分數(shù)階導數(shù)模型.同時，有學者基于經(jīng)典的彈塑性理論，提出了彈黏塑性本構模型.其中，Yin等[18]引入等效時間的概念，給出了一個非線性的EVP本構模型，較好地描述了土體的應力-應變-時間關系.姚仰平等[19-20]則在修正劍橋模型的基礎上，采用統(tǒng)一硬化參數(shù)，得到了考慮時間效應的統(tǒng)一硬化(UH)模型.上述理論多應用于一維固結情況，同時也開始應用于砂井地基等多維固結分析.例如，劉興旺等[21-23]先后引入Merchant模型和四元件模型描述砂井地基黏彈性固結問題，并分析了黏彈性參數(shù)對固結過程的影響.但目前還少有文獻對砂井地基的彈黏塑性變形特性進行深入分析.

另外，已有試驗[24-26]表明，某些黏性土中的滲流速度與水力梯度之間存在非線性關系，有別于Darcy滲流，稱之為非Darcy滲流.為深入探討非Darcy滲流下土體的固結機制，學者們[27-29]分別引入指數(shù)滲流、起始水力梯度滲流、Hansbo滲流等模式來描述砂井地基的非Darcy滲流，并通過與Darcy滲流下的結果對比，分析相應參數(shù)對地基整體孔壓消散速率的影響.最近，劉忠玉等[30-31]分別在傳統(tǒng)Terzaghi固結理論和經(jīng)典Biot固結理論的基礎上，引入Hansbo滲流給予修正，分析了Hansbo滲流參數(shù)對多維彈性飽和地基固結的變化規(guī)律.不過上述文獻并沒有考慮土體應力-應變的非線性關系，因而屬于線彈性理論范疇.同時需要注意的是，在土體固結時，隨著孔隙比的減小，滲透系數(shù)也應當是變化的.Taylor[32]首先提出了滲透系數(shù)與孔隙比的經(jīng)驗關系式，之后不斷有學者[33-34]通過試驗研究影響滲透系數(shù)變化的主要因素.同時，也不斷有學者[35-36]討論滲透系數(shù)變化對固結過程的影響.但是，這些固結分析僅限于滲流或變形的非線性方面，并未考慮土體的流變特性，并不能準確地分析多維飽和軟黏土地基的固結過程.

總之，上述研究成果豐富和發(fā)展了對固結機理的理解.但相對而言，在多維固結分析中同時考慮滲流非Darcy特性、滲透系數(shù)變化及土體流變特性等方面影響的報道還較少.為此，在自由應變條件下，擬引入考慮時間效應的UH本構模型和Hansbo滲流模型，同時考慮變滲透系數(shù)的影響，重新推導理想砂井地基固結方程，并初步探討相關參數(shù)對軟黏土地基流變固結特性的影響機制.

1 分析模型及推導控制方程

1.1 應力-應變關系

在考慮時間效應的UH模型[19]中，體積應變增量的表達式為

(1)

(2)

(3)

(4)

M=6sinφ/(3-sinφ),

(5)

(6)

χ=M2/12(3-M),

(7)

(8)

(ta+t0)/t0=R-α,

(9)

α=(Cc-Cs)/Cα.

(10)

1.2 控制方程推導

(11)

式中：m為由試驗確定的常數(shù)；i1為直線段起始水力梯度；K為滲透系數(shù)，這里采用Taylor經(jīng)驗關系式來描述其與孔隙比e的關系，即

logK=logK0-(e0-e)/Ck.

(12)

式中：K0為初始孔隙比e0對應的初始滲透系數(shù)；Ck為滲透指數(shù)，反映滲透系數(shù)的變化程度.

考慮體積應變εv與孔隙比e的關系，可得

K=K0exp[-(1+e0)εvln 10/Ck].

(13)

為便于后面計算，將式(11)改寫成形如Darcy定律的表達式

(14)

式中K′稱為視滲透系數(shù)，即

(15)

考慮土體滲流連續(xù)性條件，可得

(16)

根據(jù)有效應力原理，可得

(17)

由式(1)、(11)、(16)和(17)聯(lián)立可得

(18)

式中：ψ=K′/γw；λ=Cα/[(1+e0)(ta+t0)ln 10]，由于該參數(shù)同時含有次固結系數(shù)和老化時間，該參數(shù)反映了土體流變性和超固結特性；β可表示為

(19)

本課題的初始條件及邊界條件如下:

(20)

(21)

(22)

2 方程的有限差分解法

由于求解上述非線性微分方程解析解比較困難，采用隱式有限差分法進行求解.首先，在rw≤r≤re內(nèi)，將土層沿徑向以Δr為步長由內(nèi)向外離散，節(jié)點從0到N編號；在0≤z≤H內(nèi)，土層沿豎向以Δz為步長從上往下離散，節(jié)點編號從0到Z.同時以Δt為時間步長離散時間.這樣，方程(18)離散為

(23)

同時，初始條件(20)，邊界條件(21)和(22)的離散結果如下：

(24)

(25)

(26)

(27)

這樣，由式(23)～(27)構成封閉的方程組，用迭代法可解得各節(jié)點的有效應力，然后利用有效應力原理可得其孔壓值.最后，引入按孔壓定義的砂井地基的平均固結度式(28)，來定量地描述地基中孔壓的整體消散情況.

(28)

最后，將上述算法編成了Fortran程序.

3 解法驗證

圖1 本文數(shù)值解與耿雪玉[37]解析解對比(Z=1，X=2.5)

4 參數(shù)分析

4.1 次固結系數(shù)Cα的影響

圖2給出次固結系數(shù)Cα對某些特殊位置處孔壓的影響曲線.可以看出，在流變固結初期(t=1 000 min)，Cα>0時，遠離排水邊界處的孔壓都超過了初始值p0=150 kPa，這說明該階段這些位置處的孔壓不是消散而是升高.并且隨著次固結系數(shù)Cα的增大，這種現(xiàn)象變得更加明顯.如圖2(a)所示，當t=1 000 min，且Cα分別等于0.02，0.04和0.06時，z=5 m，r=0.9 m處的孔壓值分別為153，164，173 kPa，即大約是初始孔壓的1.02，1.09，1.15倍.這種孔壓升高現(xiàn)象不同于二維或三維Biot固結課題中的Mandel-Cryer效應，因為本課題仍屬于Terzaghi固結理論范疇，劉忠玉等[38]稱之為“類曼德爾效應”.實際上一維固結初期也會出現(xiàn)該現(xiàn)象[18].Yin等[18]將其歸結為土的黏滯效應或主次固結耦合效應，認為在土體蠕變過程中，由于靠近不排水面處，土體排水不暢，孔隙水出現(xiàn)擁擠情況，導致遠離不排水面處的孔壓升高，有效應力減小.這也可用來解釋本文砂井地基固結初期的孔壓升高現(xiàn)象.

同時由圖2(a)可知，在固結中后期，孔壓的消散速率隨著Cα的增大而變得明顯緩慢.例如，當不考慮黏滯性時，在z=5 m，r=0.9 m處的孔壓值為12 kPa；當考慮黏滯性時，對應Cα等于0.02，0.04和0.06，同一位置處的孔壓值分別為27，47和76 kPa，分別為不考慮黏滯性時的2.25，3.92和6.33倍.很明顯，土體的黏滯效應延緩了地基的固結過程.

圖2 Cα對孔壓的影響

圖3給出不同次固結系數(shù)Cα時的砂井地基平均固結度Up隨時間t的變化曲線.可以看出，在流變固結初期，考慮黏滯效應(Cα>0)的曲線都出現(xiàn)了上升段(固結度甚至為負).如t=1 000 min時，與Cα=0，0.02，0.04，0.06對應的平均固結度值分別為0.080，0.059，-0.016，-0.077.這表明隨著土體次固結系數(shù)的增大，地基中較大范圍內(nèi)都出現(xiàn)了孔壓升高的現(xiàn)象.同時，考慮黏滯效應的平均固結度變化曲線都在不考慮土體黏滯效應(Cα=0)計算曲線的上方，也說明了土體黏滯性對砂井地基中整體孔壓消散具有滯后作用.這與胡晶等[20,38]對一維流變固結分析時所得出的結論一致.

圖3 Cα對平均固結度的影響

4.2 初始超固結參數(shù)R0的影響

圖4給出了t=1 000和100 000 min兩個時刻下不同初始超固結參數(shù)R0時特殊位置處的孔壓分布曲線.可以看出，在流變固結過程中，R0越大(即初始超固結程度越低)，孔壓越大，且類曼德爾效應越明顯.例如圖4(b)中，t=1 000 min時，與R0取0.50，0.75和1.00對應的z=1 m，r=0.5 m處的孔壓值分別等于145，160和170 kPa.這與胡晶等[20]在一維流變固結下得出的結論一致，他們認為土體所受的應力歷史不同，或者說前期固結應力不同，固結速度也會有所不同，即增大超固結比(或減小初始超固結參數(shù)R0)，會導致主固結與次固結的變形同時有所減小，從而加快孔壓的消散速率.

圖5給出初始超固結參數(shù)R0對地基平均固結度Up的影響曲線.與圖3類似，圖5表明，平均固結度隨時間并非都逐漸增大，而是在固結前期，固結度可有所減小，到某個時刻達最小值，且隨著R0的增大，固結度減小得更為明顯.例如，當t=1 000 min，R0=0.50，0.75，1.00時，對應的平均固結度值分別為0.072，-0.016，-0.070.從圖5整體來看，R0取值越小，Up-t曲線就越靠左下方，可見初始超固結參數(shù)R0越小(即初始超固結程度越強)，整體孔壓消散越快.這里也與胡晶等[20,38]對一維固結分析得出的結論相同.

圖4 R0對孔壓的影響

圖5 R0對平均固結度的影響

4.3 壓縮指數(shù)Cc的影響

為分析壓縮指數(shù)Cc對固結過程的影響，圖6給出了次固結系數(shù)Cα=0和Cα=0.04兩種情況下，Cc分別取0.6，0.8和1.0時，兩個特殊時刻孔壓u的分布曲線.可以看出，當不考慮土體黏滯性時，在整個固結過程中，壓縮指數(shù)Cc越小(即土體的壓縮性越低)，孔壓消散就越快.而當考慮黏滯性(Cα=0.04)時，在固結的前期(t=1 000 min)，遠離排水面的大部分范圍內(nèi)，壓縮指數(shù)Cc越小(即土體的壓縮性越低)，孔壓值反而越大，即類曼德爾效應越明顯.例如，從圖6(a)中Cα=0.04，t=1 000 min時的孔壓分布曲線可以得出，在z=5 m，r=0.9 m處，與Cc=0.6，0.8和1.0對應的孔壓值分別為164，159和155 kPa，均明顯大于初始孔壓值，而Cα=0時，與不同壓縮指數(shù)對應的同一時刻同一位置處的孔壓值均約為150 kPa.這與胡晶等[20]分析壓縮指數(shù)對土體一維固結影響時的結果類似.

圖6 Cc對孔壓的影響

圖7反映了壓縮指數(shù)Cc對地基平均固結度Up隨時間變化的影響.可以看出，當不考慮土體黏滯性(Cα=0)時，每一時刻的平均固結度都隨著壓縮指數(shù)Cc的增大而減小，即壓縮性越低，地基中孔壓的整體消散越快.而當考慮黏滯效應(Cα=0.04)時，幾條曲線是相互交叉的.即在固結前期(對應圖7中交點的左邊)，固結度可能為負值，且壓縮指數(shù)越大，地基的平均固結度越大.結合圖6可以看出，當土體壓縮性較低時，更容易在地基中較大范圍內(nèi)出現(xiàn)類曼德爾效應；而在固結中后期(對應圖7中交點的右邊)，平均固結度隨壓縮指數(shù)變化的趨勢與Cα=0時相同.同時，從圖7也可以看出相同壓縮指數(shù)時，考慮土體黏滯性后達到同一固結度需要的時間更長.

圖7 Cc對平均固結度的影響

4.4 回彈指數(shù)Cs的影響

為考察回彈指數(shù)Cs對飽和軟黏土地基流變固結過程的影響，圖8給出了z=5 m或r=0.5 m處不同回彈指數(shù)Cs時的孔壓分布曲線.可以看出，雖然回彈指數(shù)Cs的變化對初期孔壓升高有一定的影響，但與次固結系數(shù)Cα、初始超固結參數(shù)R0和壓縮指數(shù)Cc相比并不顯著.例如，圖8(b)中，t=1 000 min，取Cs=0.06，0.12，0.30時，對應z=8 m，r=0.5 m處的孔壓值分別為160，161，164 kPa，其差別并不大.

圖8 Cs對孔壓的影響

圖9給出了不同回彈指數(shù)Cs時的平均固結度隨時間的變化曲線.很明顯，其變化趨勢與圖5類似，即在流變固結初期，隨著回彈指數(shù)Cs的增大，平均固結度減小的現(xiàn)象也比較明顯，同時在固結中后期，達到相同固結度所需時間隨著回彈指數(shù)的增大也會相應增加.這與胡晶等[20,38]在一維固結分析時得出的結論類似，即回彈指數(shù)越大，土體可恢復的彈性變形部分也越大，這往往會使得地基固結時間延長.

圖9 Cs對平均固結度的影響

對比圖3，5，7和9可以看出，考慮時間效應的UH本構模型中各參數(shù)對固結過程的影響程度有所不同.很明顯，在本文討論的參數(shù)范圍內(nèi)，相比次固結系數(shù)Cα，初始超固結參數(shù)R0和壓縮指數(shù)Cc，回彈指數(shù)Cs對固結度的影響相對較弱.

4.5 滲透指數(shù)Ck的影響

為探討砂井地基流變固結過程中滲透指數(shù)Ck的影響，圖10給出了不同Ck時孔壓的分布曲線.可以看出，t=1 000 min時，對應Ck=0.48，0.60，0.80時的幾條曲線差別不大，特別在圖10(b)中幾乎重疊在一起，在z=1 m，r=0.5 m處，對應不同Ck的孔壓值分別為160，161，161 kPa.可見，孔壓值均超過了初始孔壓，但與前面討論的UH模型參數(shù)Cα、R0和Cc相比，滲透指數(shù)Ck的變化對固結初期類曼德爾效應的影響相對較弱.

圖11反映了滲透指數(shù)Ck對砂井地基平均固結度的影響.可以看出，在固結中后期，隨著滲透指數(shù)Ck的減小，同一時刻的平均固結度Up也減小.實際上，滲透指數(shù)Ck反映了滲透系數(shù)K對固結過程中孔隙比變化的敏感程度.在固結過程中，隨著有效應力增大，土體變得密實，孔隙比減小，滲透系數(shù)也減小.而且，若減小滲透指數(shù)Ck，根據(jù)式(12)可知，滲透系數(shù)減小得更多，從而導致整體孔壓消散更為緩慢.例如，當Ck取0.48，0.60，0.80時，對應平均固結度達到90%所需時間分別為189 700，292 600，460 400 min.這一點與李剛等[36]得出的結論一致，他認為隨著固結的進行，整個土層有效應力增加，導致土體滲透系數(shù)降低，滲流量減少，引起整體孔壓消散滯后，地基達到相同固結度的時間也增加.可見，在分析飽和軟黏土的固結進程時，應當考慮滲透系數(shù)隨固結降低所產(chǎn)生的延滯影響.

圖10 Ck對孔壓的影響

圖11 Ck對平均固結度的影響

4.6 Hansbo滲流參數(shù)m和i1的影響

為分析Hansbo滲流模型對固結的影響，圖12，13分別給出了不同m或i1時的孔壓分布曲線.二圖表明，Hansbo滲流對固結初期的類曼德爾效應有影響，但并不明顯.例如，圖12(b)中，t=1 000 min時，z=1 m，r=0.5 m處，與m=1.0，1.2，1.5和1.8對應的孔壓值分別為160，160，161和161 kPa.劉忠玉等[30]曾對考慮Hansbo滲流但不計黏滯性的砂井地基固結進程做過分析，并沒有發(fā)現(xiàn)類曼德爾效應.因此，結合前述分析主、次固結耦合變形機制對地基固結過程的影響規(guī)律可知，類曼德爾效應主要是由土體的黏滯效應或主次固結耦合機制引起的.

圖12，13表明，在固結后期(t=100 000 min)時，兩種滲流模式計算的孔壓值差異比較明顯，且m或i1值越大，同一位置處的孔壓越大，即孔壓消散越慢.例如，圖13(a)中，z=5 m，r=0.9 m，在Darcy滲流模式下(i1=0時)算得的孔壓值為33 kPa，當i1取5，10和15時，對應Hansbo滲流模式下計算的結果分別為47，58和67 kPa，大約分別是Darcy滲流下孔壓的1.42，1.76和2.03倍，可見，Hansbo滲流延緩了地基中孔壓的消散.究其原因是隨著固結時間的延長，較大范圍土體內(nèi)的孔壓有所消散，水力梯度值也變得較小，當小于直線滲流起始水力梯度i1時，滲流是很緩慢的，且隨著Hansbo滲流參數(shù)的增大，滲流速度更小，孔隙水更不易排出，所以，孔壓消散也更為緩慢.

圖12 m值對孔壓的影響

圖13 i1值對孔壓的影響

同時，與前述UH模型參數(shù)有關分析圖類似的是，圖12，13中孔壓沿豎向分布曲線表明，在超過一定深度后，孔壓沿豎向基本不再變化，且Hansbo滲流參數(shù)越大，孔壓不變化的范圍也越大.這說明超過某個深度后，水力梯度的豎向分量很小，滲流速度的豎向分量也很小，因此，對于厚度較大的砂井地基，考慮土體黏滯性和非Darcy滲流時徑向滲流為主要的排水途徑.

圖14給出m或i1取不同數(shù)值時，平均固結度隨時間的變化曲線.可以看出，在流變固結中后期，按Hansbo滲流模式計算的平均固結度曲線均在按Darcy滲流模式計算的上方，即地基的固結比基于Darcy定律計算的要慢，并且這一現(xiàn)象隨著Hansbo滲流參數(shù)的增大而變得更為明顯.這也表明在實際工程的固結分析中考慮土體滲流非Darcy特性的必要性，否則將高估砂井地基固結的程度.這與文獻[27-30]的結論類似.

圖14 Hansbo滲流對平均固結度的影響

5 結 論

1)固結初期出現(xiàn)的孔壓異常升高現(xiàn)象(類曼德爾效應)主要由土體的黏滯效應或主次固結耦合機制引起.增大次固結系數(shù)Cα和初始超固結參數(shù)R0、或減小壓縮指數(shù)Cc都會使該現(xiàn)象變得更加明顯，但其他參數(shù)對此現(xiàn)象的影響較弱.

2)UH模型參數(shù)的變化對砂井地基固結過程均有不同程度的影響.隨著次固結指數(shù)Cα、初始超固結參數(shù)R0和壓縮指數(shù)Cc等參數(shù)的增大，砂井地基的固結變慢.與這些模型參數(shù)相比，回彈指數(shù)Cs變化引起的固結度變化較小.

3)滲透指數(shù)Ck對砂井地基固結進程的影響主要體現(xiàn)在中后期，且該參數(shù)越小，孔壓消散就越慢，從而砂井地基固結也就越慢.

4)與Darcy滲流相比，Hansbo滲流使得砂井地基固結變慢.同時考慮Hansbo滲流和土體黏滯性時，砂井地基中的排水更是以徑向滲流為主.因此，應該重視滲流非達西特性對砂井地基固結進程的影響.