NEPE推進(jìn)劑低高應(yīng)變率下改進(jìn)的黏-超彈本構(gòu)模型*

孫政偉，許進(jìn)升，周長(zhǎng)省，陳 雄，杜紅英

（1.南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京 210094；2.晉西工業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司技術(shù)中心，山西 太原030027）

固體推進(jìn)劑在生產(chǎn)、運(yùn)輸、存儲(chǔ)和發(fā)射過(guò)程中常受高應(yīng)變率載荷作用，因此研究不同應(yīng)變率對(duì)推進(jìn)劑力學(xué)特性的影響在推進(jìn)劑裝藥結(jié)構(gòu)完整性分析中具有重要意義。硝酸酯增塑的聚醚聚氨酯推進(jìn)劑（NEPE 推進(jìn)劑）是一種由黏彈性基體和鋁粉組成的高填充固體黏彈性復(fù)合材料[1]。作為一種新型推進(jìn)劑，NEPE推進(jìn)劑綜合了雙基推進(jìn)劑和復(fù)合推進(jìn)劑的優(yōu)點(diǎn)，具有高能量的特點(diǎn)和優(yōu)異的力學(xué)性能，近年來(lái)得到了廣泛的應(yīng)用。NEPE推進(jìn)劑具有復(fù)雜的非線性黏彈性力學(xué)性能，因此必須要考慮有限變形下的加載歷史、溫度和應(yīng)變率對(duì)材料力學(xué)性能的影響。

目前，在宏觀研究領(lǐng)域常采用唯象學(xué)的方法來(lái)建立固體推進(jìn)劑的本構(gòu)模型。由于固體推進(jìn)劑具有的超彈性和黏彈性力學(xué)特性，其本構(gòu)模型通常包括多項(xiàng)式形式、Mooney-Rivlin 模型[2-3]、Ogden 模型[4]、Yeoh 模型[5]的超彈部分，以及Maxwell模型、Duncan 模型[6]、Schapery 模型[7]、朱王唐模型[8]的黏彈部分。常新龍等[9]在Burke 模型的基礎(chǔ)上，考慮了溫度和應(yīng)變率效應(yīng)，采用Mooney-Rivlin 應(yīng)變能函數(shù)來(lái)描述穩(wěn)態(tài)超彈響應(yīng)部分，采用一個(gè)Maxwell 單元來(lái)描述動(dòng)態(tài)黏彈響應(yīng)部分，同時(shí)引入溫度效應(yīng)關(guān)系式，建立了一個(gè)黏超彈本構(gòu)模型，該模型可以較好地描述HTPB推進(jìn)劑在低中應(yīng)變率下的壓縮力學(xué)響應(yīng)，但在應(yīng)變率較高時(shí)誤差會(huì)隨著應(yīng)變?cè)龃?。楊龍等[10]通過(guò)低中應(yīng)變率實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)1 s?1為應(yīng)力和應(yīng)變率雙線性關(guān)系的轉(zhuǎn)折點(diǎn)，他在Mohotti 模型的基礎(chǔ)上，將應(yīng)變能函數(shù)與應(yīng)變率對(duì)數(shù)線性聯(lián)系起來(lái)，再結(jié)合應(yīng)變依賴性建立了應(yīng)變率相關(guān)的超彈本構(gòu)模型。Wang 等[11]發(fā)現(xiàn)隨著溫度的不斷降低和應(yīng)變速率的增大，HTPB推進(jìn)劑的應(yīng)力-應(yīng)變曲線和損傷特征更加復(fù)雜；考慮到溫度對(duì)材料超彈性、黏彈性和損傷的影響，他基于HTPB推進(jìn)劑的壓縮行為和非線性黏彈性本構(gòu)理論，提出了一種新的含損傷熱黏超彈本構(gòu)模型。Guo等[12]基于Lubliner 等提出的變形梯度的乘法分解和自由能的加法分裂，采用Attard 應(yīng)變能函數(shù)，得到了有限變形下聚脲的非線性黏超彈本構(gòu)模型，能夠較好地描述寬泛應(yīng)變率下聚脲的拉伸和壓縮力學(xué)行為。

為了研究推進(jìn)劑在受載時(shí)導(dǎo)致宏觀變化的內(nèi)在因素，近年來(lái)，許多學(xué)者使用細(xì)觀方法，根據(jù)推進(jìn)劑外部的受載情況，基于計(jì)算機(jī)顆粒堆積算法，構(gòu)建出滿足所需條件的細(xì)觀數(shù)值模型，通過(guò)數(shù)值模擬得到細(xì)觀結(jié)構(gòu)對(duì)宏觀力學(xué)行為的影響。韓龍等[13]將宏觀研究方法與細(xì)觀研究方法結(jié)合起來(lái)，基于黏彈性脫濕準(zhǔn)則將獲得的細(xì)觀數(shù)值代入到宏觀本構(gòu)模型中，提出了一個(gè)考慮NEPE推進(jìn)劑細(xì)觀顆粒脫濕因素的非線性黏彈性本構(gòu)模型。

分離式Hopkinson 桿（SHB）技術(shù)是目前對(duì)復(fù)合材料進(jìn)行高應(yīng)變率測(cè)試的主要方法。Davies[14]和Kolsky[15]首先提出了用兩個(gè)Hopkinson 桿夾住試樣來(lái)測(cè)量材料的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的方法，后來(lái)經(jīng)過(guò)眾多學(xué)者的改進(jìn)，分離式Hopkinson 桿技術(shù)已經(jīng)可以用來(lái)對(duì)材料進(jìn)行壓縮、拉伸和扭轉(zhuǎn)等多種加載形式的測(cè)試。

本文通過(guò)使用分離式Hopkinson 壓桿（SHPB）和電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)，對(duì)NEPE 推進(jìn)劑進(jìn)行高低應(yīng)變率單軸壓縮實(shí)驗(yàn)，在Yang 等[16]提出的NLHV 模型的基礎(chǔ)上，把松弛時(shí)間與應(yīng)變率聯(lián)系起來(lái)，構(gòu)建一個(gè)非線性黏超彈本構(gòu)模型。

1 本構(gòu)模型

考慮到NEPE推進(jìn)劑不僅具有卸載后應(yīng)變可以基本恢復(fù)的超彈特性，同時(shí)還具有率相關(guān)性、加載歷史相關(guān)性和松弛等黏彈特性，本文在Yang 等[16]提出的NLHV 模型基礎(chǔ)上，采用Rivlin 應(yīng)變能函數(shù)，并根據(jù)松弛時(shí)間和應(yīng)變率之間的關(guān)系，將松弛時(shí)間替換成應(yīng)變率相關(guān)的函數(shù)，建立了一個(gè)寬泛應(yīng)變率非線性黏超彈本構(gòu)模型，模型表達(dá)式如下：

1.1 超彈性本構(gòu)方程

1.2 黏彈性本構(gòu)模型

由于NEPE推進(jìn)劑具有率相關(guān)性和加載歷史相關(guān)性，在準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)加載條件下都表現(xiàn)出明顯的非線性黏彈特性，因此采用Truesdell 等[19]證明的非線性黏彈性本構(gòu)方程：

目前，不同應(yīng)變率范圍內(nèi)的加載過(guò)程通常使用不同階數(shù)的Prony 級(jí)數(shù)來(lái)描述。從微觀結(jié)構(gòu)的角度看，彈性體在變形過(guò)程中，由于化學(xué)鍵的可逆斷裂和交換發(fā)生了分子間滑移，從而產(chǎn)生了松弛現(xiàn)象。從宏觀的角度來(lái)看，不同的應(yīng)變水平下都存在一個(gè)整體的松弛時(shí)間（θ），Khajehsaeid 等[20]提出該松弛時(shí)間最終取決于變形率，通過(guò)如下關(guān)系將材料的整體松弛時(shí)間和變形速率聯(lián)系起來(lái)：

將式(18)和式(19)代入式(17)可得

2 實(shí) 驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)材料

由于NEPE推進(jìn)劑是一種多組分的復(fù)合材料，不同批次的NEPE推進(jìn)劑的力學(xué)性能也存在偏差，因此本文選擇同一批次的NEPE 推進(jìn)劑來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并將澆筑成型的管狀藥切割為兩種尺寸。準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)使用公稱尺寸為?10 mm×10 mm 的試件，動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)使用公稱尺寸為? 10 mm×5 mm 的試件。

2.2 低應(yīng)變率壓縮實(shí)驗(yàn)

2.3 高應(yīng)變率壓縮實(shí)驗(yàn)

2.3.1試件尺寸設(shè)計(jì)

2.3.2實(shí)驗(yàn)方法及過(guò)程

高應(yīng)變率動(dòng)態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)在分離式Hopkinson 實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行。由于NEPE推進(jìn)劑較軟，波阻抗較低，為了獲得較為準(zhǔn)確的透射信號(hào)，選擇LC4鋁制作了本實(shí)驗(yàn)的子彈、入射桿、透射桿和吸收桿。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，為了減少試驗(yàn)桿與試件之間摩擦帶來(lái)的影響，在試件端部涂上適量的潤(rùn)滑脂。為了保證實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性，試件內(nèi)必須滿足恒應(yīng)變率變形和應(yīng)力均勻條件，使用脈沖整形技術(shù)，將厚紙片置于入射桿端部，提升入射脈沖上升沿時(shí)間，達(dá)到恒應(yīng)變率變形。在室溫下分別進(jìn)行5種不同應(yīng)變率下的實(shí)驗(yàn)，每個(gè)應(yīng)變率下重復(fù)5組實(shí)驗(yàn)以獲得較為準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。

使用二波法對(duì)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)獲得的信號(hào)進(jìn)行處理，獲得試件的應(yīng)力應(yīng)變曲線和應(yīng)變率：

式中：c0為桿中的彈性波波速；l0為試件的初始長(zhǎng)度； E0為桿的楊氏模量； S0為桿的橫截面積； Ss為試件的初始橫截面積，εR和εT分別為反射應(yīng)變和透射應(yīng)變。

2.4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

2.4.1高應(yīng)變率實(shí)驗(yàn)可靠性分析

為保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有有效性和可信性，需要對(duì)每次的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行應(yīng)力均勻性和恒應(yīng)變率加載校核。圖1為0.12 MPa 炮壓下的SHPB實(shí)驗(yàn)波形。圖1(a)為應(yīng)變片測(cè)得的原始波形，由式(25)可知試件的應(yīng)變率與反射波強(qiáng)度成正比，圖中可以看出反射波呈平臺(tái)狀，因此滿足恒應(yīng)變率加載要求。圖1(b)為實(shí)驗(yàn)透射波和計(jì)算透射波的對(duì)比波形，通過(guò)將入射波和反射波進(jìn)行平移相加獲得計(jì)算透射波，對(duì)比發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)透射波和計(jì)算透射波基本重合，說(shuō)明實(shí)驗(yàn)滿足應(yīng)力均勻性假設(shè)。

圖1 SHPB實(shí)驗(yàn)波形圖Fig.1 Waveprofilesby SHPB experiment

2.4.2應(yīng)力應(yīng)變曲線分析

通過(guò)對(duì)萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)上采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可以獲得室溫下試件不同應(yīng)變率的應(yīng)力應(yīng)變曲線，如圖2所示。由圖2可知，隨著應(yīng)變率的增加，NEPE 推進(jìn)劑的彈性模量明顯增大，硬度增加；在曲線中并未找到明顯的屈服點(diǎn)；在應(yīng)變率較低時(shí)，曲線接近于直線，當(dāng)應(yīng)變率達(dá)到8.333×10?1s?1時(shí)，表現(xiàn)出明顯的非線性且存在應(yīng)力強(qiáng)化段。

對(duì)滿足恒應(yīng)變率變形和應(yīng)力均勻性的高應(yīng)變率實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，可以得到高應(yīng)變率下試件的應(yīng)力應(yīng)變曲線，如圖3所示。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，在加載過(guò)程中，試件經(jīng)歷了初始彈性上升段、屈服階段和屈服后應(yīng)力下降階段，應(yīng)力達(dá)到峰值后的下降段可能是由于子彈長(zhǎng)度有限，產(chǎn)生的應(yīng)力波作用時(shí)間有限，導(dǎo)致了試件內(nèi)應(yīng)力被卸載，并不一定是材料結(jié)構(gòu)破壞造成的；材料的性質(zhì)具有明顯的率相關(guān)性，隨著應(yīng)變率的增加，材料的強(qiáng)度、屈服應(yīng)力和彈性模量顯著增加，與低應(yīng)變率相比，材料的應(yīng)變率敏感性更高；由于高速?zèng)_擊下材料內(nèi)部瞬間產(chǎn)生大量熱量無(wú)法及時(shí)散發(fā)出去，使得材料內(nèi)部溫度升高，導(dǎo)致了材料出現(xiàn)軟化效應(yīng)，力學(xué)性能降低，同時(shí)在高速?zèng)_擊下材料內(nèi)部結(jié)構(gòu)遭到破壞，顆粒發(fā)生了破碎，因此材料在屈服后出現(xiàn)了短暫的應(yīng)變軟化段，然后出現(xiàn)了應(yīng)力下降段。

圖2 低應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.2 Stress-strain curves at low strain rates

準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)后獲得的恢復(fù)試件如圖4和圖5所示，通過(guò)觀察試件可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)試件進(jìn)行70%應(yīng)變的壓縮后卸載，卸載后與初始長(zhǎng)度相差0.81 mm，靜置24 h 后試件幾乎可以恢復(fù)初始長(zhǎng)度，與初始長(zhǎng)度相差0.47 mm，基體未產(chǎn)生裂痕和發(fā)生斷裂；當(dāng)應(yīng)變提升至95%時(shí)，卸載后與初始長(zhǎng)度相差2.1 mm，靜置24 h 試件長(zhǎng)度與初始長(zhǎng)度相差1.3 mm，基體仍未產(chǎn)生裂痕和發(fā)生斷裂，試件呈現(xiàn)出鼓狀，說(shuō)明材料較軟且具有較好的彈性和延展性。在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)中，試件內(nèi)部顆粒與基體的黏合處會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力集中，顆粒脫濕形成橫向的孔洞并產(chǎn)生微裂紋，隨著應(yīng)變?cè)龃?，微裂紋增多，但并未進(jìn)一步發(fā)展成斷裂破壞。高應(yīng)變率實(shí)驗(yàn)獲得的試件則不同，如圖6所示，試件主要分為3種形態(tài)，當(dāng)應(yīng)變率較低時(shí)呈鼓狀，此時(shí)顆粒受到?jīng)_擊發(fā)生破碎，試件側(cè)面出現(xiàn)裂痕，但試件基體還未發(fā)生完全斷裂；當(dāng)應(yīng)變率升高時(shí)，此時(shí)裂痕由試件邊緣向內(nèi)擴(kuò)展，造成基體內(nèi)部發(fā)生破壞，試件斷裂；隨著應(yīng)變率繼續(xù)升高，試件被完全打散，顆粒破碎程度增加，基體被壓成片狀，試件內(nèi)部被完全破壞，產(chǎn)生了大量裂痕和空隙，基體發(fā)生解體現(xiàn)象。在沖擊實(shí)驗(yàn)中，由于顆粒的模量遠(yuǎn)大于基體的模量，大部分的沖擊載荷會(huì)作用在顆粒上，導(dǎo)致部分顆粒還未脫濕就發(fā)生破碎，微裂紋從顆粒內(nèi)部產(chǎn)生并向基體延伸，推進(jìn)劑發(fā)生穿晶斷裂，隨著應(yīng)變率增加，顆粒破碎程度增大，基體解體現(xiàn)象更加明顯。

圖4 準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)后獲得的恢復(fù)試件（應(yīng)變?yōu)?0%）Fig.4 Recovered specimens after quasi-static compression at the strain of 70%

圖5 準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)后獲得的恢復(fù)試件（95%應(yīng)變）Fig.5 Recovered specimensafter quasi-static compression at the strain of 95%

圖6 動(dòng)態(tài)試件Fig.6 Specimens after dynamic compression

3 模型擬合與預(yù)測(cè)

采用最小二乘法對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)中速率為0.1 mm/min 的數(shù)據(jù)與Rivlin 超彈模型進(jìn)行擬合，獲得的Rivlin 超彈模型參數(shù)和相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表1。圖7是應(yīng)變率為1.667×10?4s?1時(shí)的實(shí)驗(yàn)曲線和擬合曲線，可以看出擬合曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本重合，超彈參數(shù)能較好地反映材料的非線性彈性響應(yīng)。

對(duì)于恒應(yīng)變率變形，伸長(zhǎng)率為關(guān)于時(shí)間的函數(shù)

表1 Rivlin超彈模型參數(shù)Table 1 Rivlin fitted parameters

圖7 Rivlin 超彈模型準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)擬合曲線Fig.7 Rivlin model fit to quasi-static experimental data

松弛函數(shù)G (t)可以化為

當(dāng)進(jìn)行寬泛應(yīng)變率擬合時(shí)，式(23)可化為

分別對(duì)準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)和分離式Hopkinson 桿實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲得應(yīng)力應(yīng)變曲線，轉(zhuǎn)化成應(yīng)力和伸長(zhǎng)比代入式(30)，采用最小二乘法進(jìn)行擬合，獲得黏彈參數(shù)如表2所示。圖8是包含了準(zhǔn)靜態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)和分離式Hopkinson 桿實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)曲線和擬合曲線。由圖中可以看出，在低/高應(yīng)變率范圍內(nèi)，擬合曲線與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有較好的重合度，能夠較為準(zhǔn)確地描述低/高應(yīng)變率下NEPE推進(jìn)劑的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。

利用本文建立的黏超彈本構(gòu)模型對(duì)單軸壓縮速率為500 mm/min 的準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)和應(yīng)變率為4 500 s?1的動(dòng)態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)曲線和實(shí)驗(yàn)曲線如圖9所示。從圖9中可以看出，實(shí)驗(yàn)曲線與預(yù)測(cè)曲線具有較好的一致性，可以較為準(zhǔn)確地描述NEPE推進(jìn)劑在低高應(yīng)變率下的力學(xué)響應(yīng)；在高應(yīng)變率情況下，當(dāng)應(yīng)變大于0.45時(shí)實(shí)驗(yàn)曲線逐漸偏離預(yù)測(cè)曲線，出現(xiàn)應(yīng)變軟化現(xiàn)象，這是由于在沖擊實(shí)驗(yàn)中響應(yīng)時(shí)間十分短暫，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的產(chǎn)熱速率遠(yuǎn)大于熱擴(kuò)散速率，此時(shí)材料內(nèi)部的溫度急劇升高造成了材料的軟化。本文沒(méi)有考慮在高速?zèng)_擊下材料內(nèi)部溫升對(duì)材料的軟化效應(yīng)，因此造成了高應(yīng)變率下當(dāng)應(yīng)變大于0.45時(shí)，預(yù)測(cè)曲線高于實(shí)驗(yàn)曲線的現(xiàn)象。

表2黏彈參數(shù)Table 2 Viscoelastic parameters

圖8 低高應(yīng)變率下實(shí)驗(yàn)曲線與擬合曲線Fig.8 Comparison between fitted resultsand experiment data at low and high rates

圖9 低/高應(yīng)變率下實(shí)驗(yàn)曲線與預(yù)測(cè)曲線Fig.9 Comparison between prediction curves and experiment data at low and high rates

4 結(jié) 論

本文建立的黏超彈本構(gòu)方程由超彈部分和黏彈部分組成，首先用極慢速壓縮實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合出超彈參數(shù)，然后使用準(zhǔn)靜態(tài)和動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)果擬合出其他參數(shù)。通過(guò)預(yù)測(cè)曲線和實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)比可以看出，本文提出的本構(gòu)模型能夠較為準(zhǔn)確地描述NEPE 推進(jìn)劑在低應(yīng)變率和高應(yīng)變率下的力學(xué)行為。

考慮到松弛時(shí)間是具有率相關(guān)性的，本文采用了一個(gè)率相關(guān)松弛函數(shù)來(lái)替代傳統(tǒng)的Prony 級(jí)數(shù)形式。與Prony 級(jí)數(shù)形式相比，該函數(shù)減少了材料黏彈參數(shù)的數(shù)量，同時(shí)說(shuō)明了松弛時(shí)間與應(yīng)變水平有關(guān)聯(lián)。

與準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)相比，材料在沖擊實(shí)驗(yàn)中具有更高的應(yīng)變率敏感性。在高速?zèng)_擊下材料內(nèi)部瞬間產(chǎn)生大量熱量無(wú)法及時(shí)散發(fā)出去，使得材料內(nèi)部溫度升高，導(dǎo)致了材料出現(xiàn)軟化效應(yīng)，力學(xué)性能降低，同時(shí)在高速?zèng)_擊下部分顆粒還未脫濕就發(fā)生破碎，微裂紋從顆粒內(nèi)部產(chǎn)生并向基體延伸，推進(jìn)劑發(fā)生穿晶斷裂，隨著應(yīng)變率增加顆粒破碎程度增大，基體解體現(xiàn)象更加明顯，破壞形式通常表現(xiàn)為鼓形變形、試件斷裂和完全破壞三種。