浸潤數(shù)學(xué)文化 發(fā)展核心素養(yǎng)

劉星滟 曹軍才

[摘 ?要] 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課堂的重要目標(biāo)，在課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)下滲透在每一節(jié)課堂中. 通過長期循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)有助于提高學(xué)生的核心競爭力，順應(yīng)素質(zhì)教育的發(fā)展方向. 文章以“隨機(jī)事件的概率（第一課時）”教學(xué)為例，闡述了如何在實踐中創(chuàng)新方法，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，提升課堂教學(xué)效率，有效地落實數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo).

[關(guān)鍵詞] 核心素養(yǎng);課堂數(shù)學(xué);隨機(jī)事件的概率

[?] 指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)內(nèi)容分析[1]

“隨機(jī)事件的概率”是《人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（必修3）》3.1.1節(jié)第一課時的內(nèi)容. 本課時前承統(tǒng)計內(nèi)容，后啟古典概型、幾何概型，同時為大學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)“概率論”打下基礎(chǔ). 其主要內(nèi)容是事件的分類、概率的意義、概率的統(tǒng)計定義及統(tǒng)計算法.

學(xué)生在初中已對概率有了一定的感性認(rèn)識，以人教版（2014年3月版）為例，在七年級下冊、八年級下冊安排了統(tǒng)計內(nèi)容，在九年級上冊安排了概率初步：首先介紹了隨機(jī)事件和概率的有關(guān)概念，然后用列舉法求簡單隨機(jī)事件（古典概型）的概率，最后從統(tǒng)計試驗結(jié)果的頻率的角度研究概率問題，通過投擲硬幣試驗加深對概率意義的理解.

我們不僅要思考，高中教材編排的意圖是什么？為何要再次進(jìn)行投擲硬幣試驗？

初中階段的概率處在比較初級的水平，重點是對概率意義的理解和隨機(jī)觀念的培養(yǎng). 學(xué)生在已知概率為0.5（古典概型比值法）的前提下進(jìn)行投擲硬幣試驗，是為了突出用頻率估計概率的合理性及必要性，觀察頻率的規(guī)律性.

相對于初中教材內(nèi)容，高中教材重在讓學(xué)生獲得一種估計概率的方法;重在進(jìn)一步運用統(tǒng)計思想，培養(yǎng)其數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng);重在試驗探索規(guī)律的過程，培養(yǎng)試驗、觀察、歸納、總結(jié)等技能，滲透“特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)概念抽象的核心素養(yǎng).

[?] 圍繞核心素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計思路

基于學(xué)生已有的統(tǒng)計知識、對生活常見概率現(xiàn)象的感性認(rèn)識，以及在物理、生物學(xué)科中積累的挖掘隱藏數(shù)據(jù)的經(jīng)驗，本節(jié)課采用“問題驅(qū)動式”的教學(xué)模式，以“問題串”來聯(lián)絡(luò)各個教學(xué)節(jié)點，以活動探究來推進(jìn)各個認(rèn)知要點. 通過“環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境”“環(huán)節(jié)二：投擲硬幣”等六個環(huán)節(jié)，以達(dá)成“感知概念—生成概念—應(yīng)用概念”的目的，如圖1.

在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，增強學(xué)生自主探究知識的興趣.

[?] 聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)

（1）教學(xué)目標(biāo)：①通過生活實例，感受隨機(jī)事件的普遍性與規(guī)律性;②通過投擲硬幣試驗，抽象、生成概率的統(tǒng)計定義;③通過實例，運用概率，詮釋和理解生活中的現(xiàn)象;④通過概念認(rèn)知，提高數(shù)據(jù)分析、處理等能力.

（2）教學(xué)的重點和難點：理解概率的定義，理解概率和頻率的關(guān)系.

[?] 發(fā)展核心素養(yǎng)的教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，做好鋪墊

教學(xué)過程設(shè)計：

【情境問題】事件A：（天氣預(yù)報）明天早上7點本地降雨. 降雨可能性是7%，你會帶雨傘嗎？（再問“降雨可能性是70%”）事件B：有兩位同學(xué)都想看同一本書，通過投擲硬幣來決定順序，公平嗎？

【追問】（1）對于事件B，為何公平？（2）如何論證你的觀點？（3）結(jié)合物理、生物學(xué)科的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，如何獲得一個客觀存在的隱藏信息？如重力加速度、遺傳規(guī)律等.

【引入主題】試猜想并論證投擲硬幣“正面朝上”的概率，并分析頻率與概率的區(qū)別.

設(shè)計意圖：在這一環(huán)節(jié)中，通過兩個事件、一個視頻（足球賽場上投擲硬幣選邊）激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，確立知識生長點;再通過對現(xiàn)象的剖析，在連續(xù)追問下生成解決問題的線索——試驗. 為了讓學(xué)生明確感受到由感性到理性的認(rèn)知升華，學(xué)生先猜想再論證. 在這一環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生完成感知概念的任務(wù)，實現(xiàn)“教學(xué)目標(biāo)1”.

2. 投擲硬幣，動手試驗

教學(xué)過程設(shè)計：

【收集數(shù)據(jù)】為保證在相同條件下試驗，試驗中應(yīng)滿足要求：（1）一枚質(zhì)地均勻的硬幣;（2）硬幣豎直向下;（3）距離桌面30 cm;（4）落在桌面上.

【學(xué)生】分工合作：3人一組，取一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一人投擲硬幣（至少10次），一人監(jiān)督，一人記錄、計算并輸入電腦Excel：

【分析數(shù)據(jù)】問題引導(dǎo)：（1）對比各組數(shù)據(jù)，結(jié)果一致嗎？為什么？（2）把每組的結(jié)果累加，用折線圖表示頻率，這個折線圖有特點嗎？（3）投擲硬幣時，“正面朝上”這個事件的發(fā)生有規(guī)律嗎？如果有，有怎樣的規(guī)律？

【學(xué)生】各組頻率不一致，因為隨機(jī)事件的發(fā)生具有不確定性，但頻率均在[0，1]區(qū)間內(nèi)波動，且頻率有隨著試驗次數(shù)增多而波動幅度減小的趨勢.

設(shè)計意圖：學(xué)生親自動手“做數(shù)學(xué)”是抽象概念過程中必不可少的環(huán)節(jié)，課堂上給學(xué)生提供收集數(shù)據(jù)的條件及足夠空間，關(guān)注學(xué)生的主體性，以便于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)“數(shù)據(jù)處理”.

3. 深挖數(shù)據(jù)，抽象概念

教學(xué)過程設(shè)計：

【問題推進(jìn)】能否發(fā)現(xiàn)頻率與猜想的概率0.5的具體關(guān)系？如何讓規(guī)律更明顯？

【學(xué)生】增加試驗次數(shù)，圖表呈現(xiàn)數(shù)據(jù).

【規(guī)律再探】用計算機(jī)大量重復(fù)試驗，你能發(fā)現(xiàn)投擲硬幣時，“正面朝上”這個事件的發(fā)生有規(guī)律嗎？如果有，有怎樣的規(guī)律？

【學(xué)生】在大量重復(fù)試驗下，頻率趨于穩(wěn)定，且穩(wěn)定于0.5.

【教師】今天的我們在上演昨天的故事，歷史上數(shù)學(xué)家同樣經(jīng)歷了艱辛而漫長的探索過程，來看看他們的發(fā)現(xiàn)是否和我們一致（如圖3）.

設(shè)計意圖：借助信息技術(shù)手段，學(xué)生克服了試驗次數(shù)少、規(guī)律不明顯的弊端，同時在感知數(shù)學(xué)文化的過程中產(chǎn)生了成就感，培養(yǎng)對數(shù)學(xué)的熱愛. 至此，學(xué)生經(jīng)歷了三次從收集數(shù)據(jù)到分析數(shù)據(jù)的過程. 雖然這三個階段的意義不同，但都滲透著用頻率估計概率的思想，反復(fù)強調(diào)著頻率、概率之間的區(qū)別與聯(lián)系，突出了“變中有不變”的數(shù)學(xué)思想.

4. 反思?xì)w納，形成概念

教學(xué)過程設(shè)計：

【追問】如果同學(xué)們再重復(fù)一次上面的試驗，得到的數(shù)據(jù)還會一致嗎？數(shù)據(jù)的規(guī)律會改變嗎？為什么？

【學(xué)生】數(shù)據(jù)不一定一致，因為隨機(jī)事件的發(fā)生具有不確定性，但規(guī)律一致，在大量重復(fù)試驗下，頻率仍然會趨于概率. 但是，為什么概率不能是0.501呢？

【教師】再次增加試驗數(shù)據(jù)，統(tǒng)一認(rèn)知，論證了投擲硬幣“正面朝上”的概率為0.5.

【學(xué)生】結(jié)合搶答任務(wù)，梳理概率與頻率的區(qū)別和聯(lián)系.

設(shè)計意圖：學(xué)生頭腦中已有了對概率的豐富感知，經(jīng)過反思獲得了概率的理性認(rèn)識，同時學(xué)會了尋找隨機(jī)事件發(fā)生概率的方法. 在解決了認(rèn)知沖突之后，概念自然成型，學(xué)生便能完成認(rèn)知概念的任務(wù)，實現(xiàn)“教學(xué)目標(biāo)2”. 至此，本節(jié)課的重點得以實現(xiàn)，難點得以突破.

5. 應(yīng)用鞏固，深化認(rèn)知

教學(xué)過程設(shè)計：

【問題1】你能設(shè)計一個思路來探索“擲骰子擲出點數(shù)1”的概率么？

【問題2】例1：易錯警示——事件判斷中的誤區(qū).

【問題3】例2：應(yīng)用頻率估計概率.

設(shè)計意圖：應(yīng)用體現(xiàn)理解，應(yīng)用深化認(rèn)知，以三個問題為載體，體現(xiàn)概念從“一般到特殊”的演繹過程. 通過博弈中另一個經(jīng)典方式——擲骰子，讓學(xué)生運用求概率的統(tǒng)計方法;通過例1、例2及追問的思考，能讓學(xué)生進(jìn)一步深化對概念的理解，完成內(nèi)化概念的學(xué)習(xí)任務(wù)，實現(xiàn)“學(xué)習(xí)目標(biāo)3”.

6. 歸納小結(jié)，課外拓展

讓學(xué)生從知識、思想方法、經(jīng)驗三個方面對本課進(jìn)行總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力和歸納概括的能力;同時安排課外探究（電腦鍵盤的字母位置分布規(guī)律）及課外閱讀欄目（天氣預(yù)報），讓數(shù)學(xué)回到生活中去.

[?] 回歸核心素養(yǎng)的教學(xué)反思

本節(jié)課的四個學(xué)習(xí)目標(biāo)，數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)均借助具體的學(xué)習(xí)任務(wù)得以達(dá)成. 在完成任務(wù)的過程中，通過學(xué)生的課堂表現(xiàn)檢測并反饋了目標(biāo)達(dá)成的效果，課堂評價貫穿始終. 從設(shè)計到實施這一過程，讓筆者對如何更好地培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有了更加深入的理解.

羅增儒教授指出：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)與關(guān)鍵能力. 素養(yǎng)的指向告訴我們“去哪兒”，基于素養(yǎng)的教學(xué)方式告訴我們“怎么去”，盡管每個學(xué)科、每個階段的素養(yǎng)重心有所差異，但“不積跬步，無以至千里;不積小流，無以成江?！? 核心素養(yǎng)都是在學(xué)習(xí)的過程中逐步形成和發(fā)展的，最終讓學(xué)生能夠在真實情境中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識與技能理性地處理問題，從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識問題、以數(shù)學(xué)的態(tài)度思考問題、用數(shù)學(xué)的方法解決問題[2]. 這便是數(shù)學(xué)的價值所在，順應(yīng)時代的數(shù)學(xué)教學(xué).

另外，學(xué)生動手試驗是本節(jié)課必不可少的，從本節(jié)課學(xué)生的表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，不是學(xué)生缺乏動手實踐的能力和興趣，而是教師給的機(jī)會太少. 筆者思想，在以后的課堂中，應(yīng)盡可能多地放手讓學(xué)生真試驗、真思考、真表達(dá).

最后，在本課中，既有前人的智慧，又有學(xué)生的實踐操作，更有科技的運用. 在這個過程中，數(shù)學(xué)文化在滲透，數(shù)學(xué)科技在發(fā)生，我們的學(xué)生站在時代的浪頭上，未來可期.

本節(jié)課依然留有遺憾，為了讓學(xué)生更直觀地、多角度地感受頻率隨著試驗次數(shù)增多而不斷趨于穩(wěn)定，趨于一個常數(shù)的特點. 筆者本想將試驗數(shù)據(jù)體現(xiàn)在一個一維數(shù)軸中，以依次閃現(xiàn)的方式展示數(shù)據(jù)所對應(yīng)的點越來越接近于一定點，最終在其附近極小范圍內(nèi)波動，體現(xiàn)數(shù)的穩(wěn)定性. 可惜，因為技術(shù)問題而沒能實現(xiàn)，后續(xù)還需提高信息技術(shù)的運用能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] ?胡學(xué)貴. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)——以《兩個變量的線性相關(guān)》（第一課時）教學(xué)為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（11）.

[2] ?李亞瓊. 樹立學(xué)生主體地位，提高課堂參與效果——基于《隨機(jī)事件及其概率》談“核心素養(yǎng)”下的數(shù)學(xué)教學(xué)[J]. 數(shù)學(xué)之友，2018（02）.

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