整合教材彰顯自然 發(fā)展思維追求自覺(jué)

顏福進(jìn)

[摘 ?要] 教材是為教學(xué)服務(wù)的，而不是用來(lái)束縛、限制教學(xué)的. 教師應(yīng)當(dāng)廣泛研讀，比較各種版本的教材，取長(zhǎng)補(bǔ)短，合理地加以整合;從教學(xué)的實(shí)際出發(fā)靈活地使用教材，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生真正地深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的產(chǎn)生過(guò)程，不斷發(fā)展思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 不同版本教材;整合;探究;優(yōu)越有效;正切函數(shù)

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版，2020年修訂）》《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系說(shuō)明》的發(fā)布，不同版本的新教材開(kāi)始使用. 新教材是新課程實(shí)施的重要資源，教師作為新課程的實(shí)施者，對(duì)教材的理解影響著新課程改革的推進(jìn). 教師應(yīng)當(dāng)廣泛研讀，對(duì)不同版本的教材、新舊教材進(jìn)行比較，取長(zhǎng)補(bǔ)短，合理地整合運(yùn)用，從實(shí)際出發(fā)靈活地、創(chuàng)造性地使用教材，讓課堂探究教學(xué)更加親切自然、更加優(yōu)越有效. 本文就談?wù)劵诮滩牡谋容^對(duì)“正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的探究教學(xué)與思考.

[?] 教材的比較分析

“正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)”是繼學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)后研究的又一個(gè)三角函數(shù)內(nèi)容. 蘇教版新教材和舊教材相比沒(méi)有變化，都是采用遷移類(lèi)比研究，即先根據(jù)已學(xué)的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)作出函數(shù)的圖像，再根據(jù)函數(shù)的圖像直觀地認(rèn)識(shí)函數(shù)的性質(zhì)，最后用代數(shù)的方法對(duì)觀察得出的性質(zhì)嚴(yán)格證明或表述，意圖是“由圖識(shí)性”. 人教A版教材采取利用性質(zhì)研究函數(shù)圖像的方法，先結(jié)合已學(xué)的正切函數(shù)的相關(guān)知識(shí)（誘導(dǎo)公式等），總結(jié)正切函數(shù)的部分性質(zhì)（奇偶性、周期性等），再根據(jù)這些性質(zhì)作出正切函數(shù)的圖像，然后根據(jù)函數(shù)的圖像完善正切函數(shù)的其他性質(zhì). 北師大版與蘇教版的處理方式一致，都是由圖像得性質(zhì)，區(qū)別在于北師大版不是用正切線幾何描點(diǎn)，而是直接列表描點(diǎn). 人教B版的處理方式與蘇教版完全不同，它是先由三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、單位圓中正切線的變化得到正切函數(shù)的全部性質(zhì)，然后根據(jù)性質(zhì)直接列表描點(diǎn)畫(huà)出圖像，主要是“依性作圖”，這種處理方式不利于學(xué)生理解正切函數(shù)的圖像與正切的定義之間的內(nèi)在聯(lián)系，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.

通過(guò)比較不同版本的教材，覺(jué)得教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)考慮如下幾個(gè)問(wèn)題：（1）正切函數(shù)的性質(zhì)不都是由圖像得到的，如定義域、周期性等. 如果沒(méi)有定義域、周期性，那就不能畫(huà)出正切函數(shù)的圖像. 當(dāng)然，可以借助技術(shù)（如媒體軟件的演示）得到圖像，但是動(dòng)畫(huà)的演示無(wú)法使學(xué)生的思維深度參與，會(huì)使探究教學(xué)處于低效. （2）為什么想到先畫(huà)y=tanx在x∈

，的圖像，而不是先畫(huà)在x∈（0，π）或其他區(qū)間的圖像呢？不應(yīng)預(yù)設(shè)好圈套讓學(xué)生鉆進(jìn)去，而應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生選擇，更加自然. （3）人教A版必修第一冊(cè)教材第209頁(yè)在本節(jié)開(kāi)始時(shí)寫(xiě)道：“根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為應(yīng)如何研究正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)？”但接下來(lái)卻筆鋒一轉(zhuǎn)：“有了前而的知識(shí)準(zhǔn)備，我們可以換一個(gè)的角度，即從正切函數(shù)的定義出發(fā)研究它的性質(zhì)，再利用性質(zhì)研究正切函數(shù)的圖像.”此處的過(guò)渡顯得莫名其妙而不自然，研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)究竟是什么呢？為什么要讓學(xué)生舍棄最近發(fā)展區(qū)而另起爐灶呢？

三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)是以必修一教材學(xué)習(xí)的“指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等”研究經(jīng)驗(yàn)為經(jīng)驗(yàn)，此前已研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，這兩種函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究方法對(duì)正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究有著較強(qiáng)的指導(dǎo)意義. 本節(jié)課應(yīng)通過(guò)對(duì)正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究，進(jìn)一步滲透數(shù)形結(jié)合思想，從而發(fā)展學(xué)生的直觀素養(yǎng)，從知識(shí)上完善三種常見(jiàn)的三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，從研究方法上更加系統(tǒng)地領(lǐng)會(huì)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究思路，使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、和諧之美.

[?] 教學(xué)設(shè)計(jì)

通過(guò)教材的比較分析，教學(xué)可以適當(dāng)借鑒人教A版的處理方式，但應(yīng)重新審視“研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)”得到的經(jīng)驗(yàn)是什么. 應(yīng)當(dāng)是從定義、誘導(dǎo)公式出發(fā)先得到部分性質(zhì)（如定義域、周期性等），再借助這部分性質(zhì)和三角函數(shù)線作出圖像，然后通過(guò)圖像進(jìn)一步獲得其他性質(zhì). 基于學(xué)生已有上述的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，設(shè)計(jì)“正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)”的教學(xué)，并擬定了以下的教學(xué)目標(biāo)：

（1）會(huì)以定義和誘導(dǎo)公式為出發(fā)點(diǎn)研究正切函數(shù)的部分性質(zhì);了解利用正切線畫(huà)出正切函數(shù)圖像的方法;能借助觀察圖像，理解和拓展正切函數(shù)的性質(zhì);能用正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題.

（2）經(jīng)歷正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合和類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想和方法.

（3）經(jīng)歷“問(wèn)題提出—性質(zhì)探究—研究圖像—拓展和再認(rèn)識(shí)性質(zhì)—性質(zhì)應(yīng)用”數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，提升欣賞美、發(fā)現(xiàn)美的能力，感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的快樂(lè).

[?] 教學(xué)過(guò)程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

圖像法是函數(shù)的表示方法之一，函數(shù)的圖像與性質(zhì)有著緊密的聯(lián)系. 我們知道正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)是三個(gè)基本的三角函數(shù)，前面我們已經(jīng)研究了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì). （展示正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)）

提出中心問(wèn)題：我們能根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)來(lái)研究正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)嗎？

2. 重溫經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展思維

問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們是如何研究正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的？

學(xué)生通過(guò)思考討論得出如下結(jié)論：（1）利用“五點(diǎn)法”作出正弦函數(shù)的圖像，但用“五點(diǎn)法”作圖像是在知道了正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的前提下，利用五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫(huà)出簡(jiǎn)圖. （2）在探究正弦函數(shù)圖像的時(shí)候，是利用單位圓中的三角函數(shù)的正弦線先作出了正弦函數(shù)y=sinx在x∈[0，2π]內(nèi)的圖像，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和周期性平移這個(gè)圖像，從而作出完整的圖像，再由完整的圖像得到性質(zhì).

問(wèn)題2：為了作出正切函數(shù)的圖像，我們應(yīng)該怎樣來(lái)類(lèi)比正弦函數(shù)圖像的研究方法呢？

在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生理解：在利用單位圓中正弦線作正弦函數(shù)圖像的過(guò)程中，其實(shí)含有兩個(gè)步驟. 第一步，“依性作圖”，即由“正弦函數(shù)的定義域和周期性”可以考慮只要y=sinx在x∈[0，2π]內(nèi)的圖像;第二步，“由圖識(shí)性”，作出y=sinx（x∈R）完整的圖像，再由圖像得到性質(zhì).

通過(guò)重溫“正弦函數(shù)的圖像”，類(lèi)比得出探索正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)的可能思路：第一步，思考正切函數(shù)的部分性質(zhì)（定義域和周期性等），利用單位圓結(jié)合性質(zhì)畫(huà)出圖像，即“依性作圖”;第二步，由圖像探索新的性質(zhì)，即“由圖識(shí)性”. （筆者將這兩個(gè)步驟寫(xiě)在了黑板上，方便學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比學(xué)習(xí)）

，k∈Z;（2）正切函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，說(shuō)明正切函數(shù)是奇函數(shù);（3）正切函數(shù)的圖像每隔一個(gè)π有規(guī)律地重復(fù)出現(xiàn)，說(shuō)明正切函數(shù)是周期函數(shù);根據(jù)誘導(dǎo)公式tan（π+x）=tanx可知，π是y=tanx的一個(gè)周期.

師：說(shuō)得很好！其實(shí)生4說(shuō)的這三個(gè)性質(zhì)在畫(huà)像之前就已經(jīng)根據(jù)正切函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式得到了，現(xiàn)在可以根據(jù)正切函數(shù)的圖像直觀地再認(rèn)識(shí)，圖像還有什么特征呢？誰(shuí)來(lái)補(bǔ)充？

生5：正切函數(shù)的圖像向上、向下都是無(wú)限延伸的，說(shuō)明正切函數(shù)的值域是R;另外，正切函數(shù)的圖像在每一段都是呈上升趨勢(shì)的，說(shuō)明正切函數(shù)是單調(diào)增函數(shù).

師：能說(shuō)明正切函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)嗎？

生5：不能！

師：為什么？

生5：可以舉反例，比如<，但tan>tan，所以只能說(shuō)在每一段是單調(diào)增函數(shù).

師：回答得很好！“每一段”該如何用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表述呢？

生5：可以說(shuō)區(qū)間

-+kπ，+kπ

，k∈Z是正切函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

師：很好！請(qǐng)同學(xué)們?cè)偎伎純蓚€(gè)問(wèn)題：（1）正切函數(shù)的圖像除了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，還有其他對(duì)稱(chēng)性嗎？（2）圖4中的虛線與正切曲線有什么關(guān)系呢？

生6：正切函數(shù)的圖像還關(guān)于（-π，0），（π，0）對(duì)稱(chēng)，還有（2π，0），（3π，0），…，也就是說(shuō)正切函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（kπ，0），k∈Z對(duì)稱(chēng);正切曲線無(wú)限地逼近虛線但不相交.

師：回答得很好！可以說(shuō)正切曲線是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為（kπ，0），k∈Z;所有的直線x=+kπ，k∈Z可以稱(chēng)為正切曲線的漸近線.

師：通過(guò)圖像，我們?cè)俅握J(rèn)識(shí)到了正切函數(shù)的定義域、奇偶性、周期性，同時(shí)得到了正切函數(shù)的值域、單調(diào)性、對(duì)稱(chēng)性及漸近線. 下面請(qǐng)大家填寫(xiě)下表（如表1）.

學(xué)生填好表格后互評(píng)，少數(shù)學(xué)生所畫(huà)的圖像的重要特征不明顯，及時(shí)進(jìn)行糾正，總體完成較好！

4. 嘗試應(yīng)用，形成經(jīng)驗(yàn)

不同學(xué)生的認(rèn)知水平和思維能力總是存在差異的，為了保證不同層次的學(xué)生在夯實(shí)基礎(chǔ)的前提下都得到相應(yīng)的發(fā)展，筆者編選了兩組課內(nèi)例習(xí)題：例1的設(shè)計(jì)目的是讓學(xué)生理解、內(nèi)化正切函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，同時(shí)類(lèi)比y=sin（ωx+φ）的性質(zhì)求法嘗試研究y=tan（ωx+φ）的性質(zhì)，讓學(xué)生進(jìn)一步形成類(lèi)比學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn);例2及其變式讓學(xué)生對(duì)正切函數(shù)的單調(diào)性及圖像深入理解，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合和整體思想.

[?] 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)的思考

1. 整合教材讓知識(shí)自然生成

在新教改的大潮中，作為數(shù)學(xué)課程的實(shí)施者、決策者與創(chuàng)造者的數(shù)學(xué)教師，迫切需要用新的觀念去認(rèn)真審視和理解教材，立足課標(biāo)和課程理念，站在學(xué)科核心素養(yǎng)的角度，有針對(duì)性地對(duì)教材內(nèi)容充分講解，從新版教材爆發(fā)出全新的能量. 《國(guó)家基礎(chǔ)教育課程改革指導(dǎo)綱要》明確提出了“用教材教”而不是“教教材”的新觀念. 教材是為教學(xué)服務(wù)的，而不是用來(lái)束縛、限制教學(xué)的. 教師應(yīng)當(dāng)廣泛研讀，比較各種版本的教材，取長(zhǎng)補(bǔ)短，合理地加以整合、總結(jié)、歸類(lèi)、反思、更新、拓展;從教學(xué)的實(shí)際出發(fā)，靈活地、創(chuàng)造性地使用教材，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程，凸顯思維活動(dòng)的完整流程，使學(xué)生真正地深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的產(chǎn)生過(guò)程，由此不斷深化思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng). 本節(jié)課教學(xué)，基于教材的比較，借鑒人教A版，重新審視已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，遵循由舊到新的發(fā)展原則，通過(guò)簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的內(nèi)容，提出中心問(wèn)題：“我們能根據(jù)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)來(lái)研究正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)嗎？”讓學(xué)生重溫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生探究正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)提供研究思路，即“局部性質(zhì)—作圖像—完善性質(zhì)”. 這一研究思路，通過(guò)教師的引導(dǎo)，學(xué)生的參與探索，讓正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)在學(xué)生已有知識(shí)和研究經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上自然而然地生成，遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，實(shí)現(xiàn)了螺旋式上升.

2. 問(wèn)題引領(lǐng)思考，促進(jìn)學(xué)生思維提升

“學(xué)起于思，思源于疑”. 問(wèn)題是課堂教學(xué)過(guò)程的靈魂，問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟. 讓思維從問(wèn)題開(kāi)始，思維活動(dòng)又形成新的問(wèn)題，這種遞進(jìn)式的問(wèn)題引領(lǐng)著學(xué)生思考，為學(xué)生的發(fā)展搭起了支架，指明著探究的方向. 當(dāng)然，問(wèn)題要針對(duì)學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)而提出，才能促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展. 本節(jié)課從已有的正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的知識(shí)和研究經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)回顧正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究方法，提出中心問(wèn)題（既是知識(shí)內(nèi)部發(fā)展需要，也是學(xué)生心理需求）：“我們?cè)鯓觼?lái)類(lèi)比正弦函數(shù)圖像的研究方法呢？”讓學(xué)生自覺(jué)地凝練出總的探究思路;基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)提出問(wèn)題：“正切函數(shù)有哪些性質(zhì)是可以通過(guò)已有知識(shí)得到的？是怎樣得到的？”使學(xué)生聯(lián)想到正切函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式去發(fā)現(xiàn)部分性質(zhì);進(jìn)而再提出問(wèn)題：“有了正切函數(shù)y=tanx的這些性質(zhì)，如何來(lái)畫(huà)它的圖像呢？”這為畫(huà)正切函數(shù)的圖像進(jìn)一步指明了方向;為了完善正切函數(shù)的性質(zhì)又出現(xiàn)了新問(wèn)題：“現(xiàn)在請(qǐng)大家觀察正切曲線有哪些主要特征，這些特征刻畫(huà)了正切函數(shù)的哪些性質(zhì)？”等等. 這些問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，不斷促進(jìn)學(xué)生的思維深入，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)探究，實(shí)現(xiàn)思維自覺(jué). 真正意義上的教學(xué)活動(dòng)不是向?qū)W生提出已知、現(xiàn)成知識(shí)的模式開(kāi)始，而是把知識(shí)設(shè)計(jì)成適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)問(wèn)題，為學(xué)生提供一個(gè)合適的探索空間，讓問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)習(xí)，使知識(shí)始終處于問(wèn)題情境的脈絡(luò)中，讓學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)領(lǐng)悟知識(shí)、發(fā)展能力、培育情感、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

3. 微型探究使課堂教學(xué)優(yōu)越有效

探究式教學(xué)注重引導(dǎo)學(xué)生由問(wèn)題的探究來(lái)發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)新知. 探究式教學(xué)不僅能激發(fā)學(xué)生的求知欲、發(fā)揮學(xué)習(xí)的主體作用，還能從學(xué)習(xí)中獲得豐富、集體、牢固的知識(shí)，掌握和改進(jìn)研究的方法，形成大膽質(zhì)疑、小心求證、實(shí)事求是的科學(xué)精神和良好的道德品質(zhì). 然而，探究式教學(xué)的要求較高，學(xué)生容易形成盲目和膚淺的思維，影響探究的方向、深度和數(shù)學(xué)的本質(zhì). 而微型的數(shù)學(xué)探究屬于定向探究，就是指學(xué)生所進(jìn)行的各種探究活動(dòng)是在一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題的引領(lǐng)下開(kāi)展的，在問(wèn)題解決過(guò)程中獲得有價(jià)值的“副產(chǎn)品”——概念（或定理）的抽象形式，從而把握概念（或定理）的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵. 比如本節(jié)課中教師通過(guò)一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題及元認(rèn)知問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生依據(jù)定義和誘導(dǎo)公式探究正切函數(shù)的定義域、周期性及奇偶性;引領(lǐng)學(xué)生探究如何合理選擇區(qū)間畫(huà)圖，實(shí)現(xiàn)從選擇[0，π]到

-

，再到0

，的優(yōu)化;引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)正切曲線的主要特征探究并完善了正切函數(shù)的性質(zhì). 這樣的探究既不失探究的屬性，也避免了學(xué)生形成盲目和膚淺的思維，從而影響到學(xué)習(xí)深度和數(shù)學(xué)本質(zhì)的揭示. 高中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是要經(jīng)常性地探索一些數(shù)學(xué)的一般結(jié)論，追尋數(shù)學(xué)的本質(zhì)，微型的數(shù)學(xué)探究無(wú)疑正是可以實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的教學(xué)方式，也是優(yōu)越有效的課堂教學(xué)的一種重要方式.

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