破除定勢方顯“四能” 創(chuàng)新思考始得素養(yǎng)

薛新建

摘? 要：獨(dú)立重復(fù)試驗是概率統(tǒng)計中的經(jīng)典模型，在經(jīng)典模型中扭轉(zhuǎn)思維定勢，把握內(nèi)在邏輯，找到核心素養(yǎng)的植入點和生長點，是發(fā)展“四能”、落實數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)面臨的挑戰(zhàn). 從教材例題出發(fā)，對獨(dú)立重復(fù)試驗進(jìn)行再探究，讓學(xué)生親歷數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的歷史背景，對于樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神具有非常重要的意義.

關(guān)鍵詞：獨(dú)立重復(fù);局制問題;二項分布;公平問題

一、結(jié)合教學(xué)，提出問題

高中階段，以獨(dú)立重復(fù)試驗為背景的問題最后總是落在考查二項分布，而二項分布無論概率、期望還是方差都有簡潔成熟的計算公式能夠解決，以致高三復(fù)習(xí)在這個問題上總是點到為止. 浮于知識層面的機(jī)械授予和教條使用，難以讓學(xué)生獲得深入思維層面的強(qiáng)化提升和遷移應(yīng)用能力，而導(dǎo)致缺乏核心素養(yǎng)的孕育點和生長點. 如何在獨(dú)立重復(fù)試驗背景下開發(fā)新的視角、提出新的問題，引發(fā)學(xué)生的思考與探索，形成并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，是一線教師必須持續(xù)思索的問題.

教材依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)編制，是學(xué)科知識內(nèi)容的載體，為教學(xué)活動提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要教學(xué)資源，對師生來說具有很大的研究價值和指導(dǎo)意義. 仔細(xì)研究可以發(fā)現(xiàn)，教材對獨(dú)立重復(fù)試驗是留有足夠的探索空間的.

二、立足教材，引發(fā)思考

人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（選修[2—3]）》（以下統(tǒng)稱“教材”）第59頁有如下一道題目.

這兩種解法本質(zhì)上是相同的，差異在于第一種方法對基本事件（打滿比賽）以甲至少能獲勝的局?jǐn)?shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，而第二種方法對基本事件以甲獲勝時比賽總局?jǐn)?shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，本質(zhì)上甲獲勝的局?jǐn)?shù)完全服從二項分布. 教材配套的教師教學(xué)用書上結(jié)合上述計算結(jié)果對局制長短提出猜測“比賽的總局?jǐn)?shù)越多甲獲勝的概率越大”，比賽局?jǐn)?shù)越少，對乙越有利，比賽局?jǐn)?shù)越多，對甲越有利.

對此，有兩個問題值得深思：（1）“有利”是否等于“公平”？如果甲、乙雙方具有相等的話語權(quán)，那么該如何選定局制？（2）比較隨著局制增多甲的勝率[0.6，] [0.648]和[0.682 56]，會發(fā)現(xiàn)比賽局?jǐn)?shù)越多，甲獲勝的概率越大，也越來越遠(yuǎn)離甲單局獲勝的概率[0.6，] 這與概率的定義似乎矛盾，即隨著比賽次數(shù)的增多，甲獲勝的頻率越來越趨近于單局比賽甲獲勝的概率[0.6.] 問題出在哪里？

三、啟發(fā)思考，探求本質(zhì)

兩種局制下甲獲勝的概率都大于[0.6，] 這說明兩種局制對甲的勝率都有加持，對乙的勝率都有抑損. 所謂“比賽局?jǐn)?shù)越少，對乙越有利”只是局制之間相對而言，乙選擇[3]局[2]勝制只能算是“兩害相比取其輕”. 那么，是不是甲的實力強(qiáng)于乙的實力，局制有利于甲勝就是公平呢？顯然不是！只有有利于所有選手發(fā)揮出自身實力的局制才是公平的. 這樣說來，如果甲、乙雙方具有相等的話語權(quán)，乙既不會同意[3]局[2]勝制，也不會同意[5]局[3]勝制. 因為這兩種局制對乙都不夠公平，只有一局定勝負(fù)才最公平！當(dāng)然，實際比賽中很少會一局定勝負(fù)，因為一局不能給比賽提供足夠的觀賞性.

在[2n+1]局[n+1]勝局制下，甲獲勝的頻率不能逐漸趨近于[0.6，] 原因在于單局比賽甲獲勝的“勝”和[2n+1]局[n+1]勝制甲獲勝的“勝”的定義不一樣. 實際上，在大家熟知的拋硬幣試驗中，通過做大量重復(fù)試驗統(tǒng)計硬幣正面向上的頻率，這個頻率會逐漸穩(wěn)定于常數(shù)[0.5，] 就把[0.5]稱作拋擲一枚硬幣正面向上的概率. 在拋硬幣試驗中，統(tǒng)計頻率時的標(biāo)準(zhǔn)“拋一枚硬幣正面向上”和最后所下概率結(jié)論的標(biāo)準(zhǔn)“拋一枚硬幣正面向上”是完全一致的，這符合概率的定義. 而例題在[2n+1]局[n+1]勝制下，統(tǒng)計甲獲勝的頻率（概率）時的標(biāo)準(zhǔn)“比賽[2n+1]局甲勝的局?jǐn)?shù)多于乙（不是全勝）”和甲獲勝概率結(jié)論的標(biāo)準(zhǔn)“比賽一局甲獲勝（全勝）”是不一致的，因此其穩(wěn)定的數(shù)值與[0.6]不一致也就不奇怪了. 但這也說明[2n+1]局[n+1]勝局制是不能公平體現(xiàn)雙方實力的一種局制（只有在甲、乙實力相當(dāng)?shù)那闆r下，該局制才公平）.

兩個問題都涉及局制問題，那么[2n+1]局[n+1]勝制是怎樣的一種局制呢？“[n+1]勝”實際上是優(yōu)先累計勝至[n+1]局，比賽總局?jǐn)?shù)并不重要，這也是教材例題兩種解法結(jié)果相同的本質(zhì)原因. 該局制的要點在于先發(fā)制人，選手需提前調(diào)整技戰(zhàn)術(shù)和心理狀態(tài)，盡快拿到第[n+1]勝局取得勝利，慢熱選手就容易陷入被動. 從勝局累計的視角來看，除了優(yōu)先累計勝至[n+1]局，還可以采取“凈勝局”來定勝負(fù)，而“凈勝局（球）”的思路在排球和羽毛球等比賽中已有應(yīng)用，下面以凈勝3局為例進(jìn)行探究.

變式1：甲、乙兩選手比賽，假設(shè)每局比賽甲勝的概率為[0.6，] 乙勝的概率為[0.4，] 若凈勝3局者勝，求甲獲勝的概率.

變換問題情境，把“兩選手比賽”換成“檢驗兩種新藥藥效”，變式[2]就變成了2019年全國Ⅰ卷理科第21題.

四、追溯根源，拓展數(shù)學(xué)史

概率史上有一個著名的“賭金分配問題”：十七世紀(jì)中葉，法國有一個叫德[·]梅赫的名人，在賭博過程中經(jīng)常遇到賭金分配的點數(shù)難題，他覺得這個問題并不是一個簡單的比例問題，但自己又無法解決，于是向當(dāng)時著名的數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了這個問題：賭技相當(dāng)?shù)募?、乙二人各出賭金20金，規(guī)定必須要贏[3]場才能贏得全部賭金，但比賽中途因故終止，且此時甲已勝[2]局，乙已勝[1]局，請問如何分配賭金.

這個問題實質(zhì)上就是在甲勝[2]局的情況下計算甲優(yōu)先累計勝至[3]局的概率. 歷史上對這個問題的探討長達(dá)兩百年之久，諸多數(shù)學(xué)家如帕西沃里、卡蘭奇、卡丹、塔塔里亞、費(fèi)馬、帕斯卡、惠更斯等都按照自己的理解給出了點數(shù)分配方案，但是只有費(fèi)馬按照古典概型給出的[3∶1]的分配方案是正確的，這就是歷史上的組合概率時期，古典概型在這個時期得到了極大發(fā)展.

比賽過程中判斷比賽結(jié)果就是“賭金分配問題”的難點，該問題只是勝局累計優(yōu)勝的情況，變式1所解決的問題是凈勝局優(yōu)勝的情況，即在甲凈勝[i]局的條件下推出甲最終獲勝的概率. [1906]年，俄國數(shù)學(xué)家馬爾科夫提出的“馬爾科夫鏈”，就是把變式1中選手比賽問題提煉成了質(zhì)點在數(shù)軸上[k+1]個整數(shù)點隨機(jī)游動的直觀模型，邊界點[0]和[k]處設(shè)置吸收壁對應(yīng)“賭徒輸光”問題. 布朗運(yùn)動、感染人群的人數(shù)、群體的增長等問題都可以視為馬爾科夫過程，具有非常大的理論和實際研究價值.

五、服務(wù)選才，提供發(fā)展

對上述過程中得到的很多結(jié)論只要稍加推廣，就可以為將來大學(xué)對概率知識的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

六、深入反思，指導(dǎo)教學(xué)

本文從教材提出的局制問題出發(fā)，破除思維定勢，對獨(dú)立重復(fù)試驗重新思考、深入探究，以問題導(dǎo)引逐步搭橋，以邏輯推理順勢鋪路，最終總結(jié)提煉了兩個解決問題的模型——勝局累計優(yōu)勝制和凈勝局優(yōu)勝制. 前者是高中階段概率部分的重點知識二項分布，學(xué)生理解較為深刻;后者可能出現(xiàn)無窮的情況，高中教材中未提及，由于推理論證完全可以用高中知識加以展開，成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)新的植入點，也為2019年全國Ⅰ卷理科第21題提供了很好的注解.

題目 （2019年全國Ⅰ卷·理21）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗. 試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗. 對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥. 一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗. 當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效. 為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得[-1]分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得[-1]分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分. 甲、乙兩種藥的治愈率分別記為[α]和[β，] 一輪試驗中甲藥的得分記為[X.]

通過問題的探究過程不難發(fā)現(xiàn)，教材提供的例題和習(xí)題不僅能借以鞏固基礎(chǔ)知識、訓(xùn)練基本技能、培育基本思想，更為學(xué)生積累學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗提供了極有價值的數(shù)學(xué)問題情境，教學(xué)中要充分加以利用;對經(jīng)典模型的再探究，既是出于完善知識和方法結(jié)構(gòu)的需要，也能夠充分啟發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)學(xué)生興趣，樹立學(xué)生的鉆研精神和創(chuàng)新意識，體現(xiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》“四能”的課程目標(biāo)要求，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)大膽進(jìn)行開發(fā).

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