熟讀而精思

姚婷

摘? 要：研究教材是教師的基本功，而研讀教材是研究教材的第一步，也是最關(guān)鍵的一步. 研讀教材需要思考兩個問題. 一是怎么讀？研讀教材要全面，要做有心人，要與時俱進(jìn). 二是讀什么？要讀教材中呈現(xiàn)的知識、承載的方法、蘊(yùn)涵的思想和孕育的精神.

關(guān)鍵詞：研讀教材;核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)方法;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)精神

筆者在江蘇省南京市組織的骨干教師培訓(xùn)活動中有幸聆聽了蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書主編李善良教授的專題講座——研究教材是教師的基本功. 李善良教授提出，教師應(yīng)從五個方面來研究教材：研讀教材、研磨教材、研用教材、研究教材、研制教材. 筆者感觸頗深，本文將結(jié)合李善良教授的講座，從研讀教材角度談?wù)勛约旱睦斫?

隨著《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）的頒布，新一輪課程改革已經(jīng)進(jìn)入實踐階段，各省份相繼進(jìn)入課程改革，但進(jìn)程有別. 在這一過渡時期，研讀教材尤為重要.

一、怎么讀

相信每位一線教師都會認(rèn)為自己是認(rèn)真讀過教材的，每個章節(jié)的定理和例題一定是再熟悉不過了，然而讀教材僅僅是讀這些嗎？教材所要傳遞的信息，其實遠(yuǎn)不止這些. 那么，教材應(yīng)該怎么讀呢？

1. 研讀教材要全面

研讀教材時，不僅要讀教材的正文和相關(guān)習(xí)題，還要讀教材的章引言、本章回顧、旁白、閱讀、鏈接，還包括教材中的名人名言、插圖、封面、封底等.《標(biāo)準(zhǔn)》中明確了數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，近兩年，關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升成為教育界的熱點(diǎn). 要在教學(xué)中提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，教師首先要對教材有整體而清晰的認(rèn)識. 那么，教材的章頭圖、章引言等內(nèi)容都不可忽略.

章頭圖常與本章所學(xué)內(nèi)容或者思想方法有關(guān)，通過優(yōu)美的圖片或圖形吸引學(xué)生的注意力. 以蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（選修2—1）》為例，其封面圖的主圖是一個立體圖形——圓錐面，背景是一座跨海大橋. 用不同的平面去截圓錐面能得到不同的曲線，而圓錐曲線正是這一冊教材中的重點(diǎn)內(nèi)容，學(xué)生通過封面圖可以對圓錐曲線有一個直觀的認(rèn)識. 而背景中的跨海大橋，恰似平面直角坐標(biāo)系，解析幾何的本質(zhì)正是用代數(shù)的方法研究幾何問題，那么，平面直角坐標(biāo)系不正是連接代數(shù)和幾何的橋梁嗎？翻開教材，再看“圓錐曲線與方程”這一章的章頭圖，背景是浩瀚的宇宙，對于未知的世界，我們?nèi)绾稳パ芯磕?？行星的運(yùn)動規(guī)律有哪些？如何確定行星的位置？正如本章所引用的名人名言：解析幾何徹底改變了數(shù)學(xué)的研究方法（M.克萊因）. 這些都是封面圖、章頭圖所要傳遞的信息.

教材中的旁白、閱讀、鏈接等內(nèi)容，教師都要仔細(xì)閱讀，教學(xué)時可以結(jié)合學(xué)情選擇相關(guān)內(nèi)容講授，也可以鼓勵學(xué)生自學(xué)部分內(nèi)容. 只有全面研讀教材，教學(xué)時才能有所選擇，重點(diǎn)突出;只有深刻認(rèn)識教材內(nèi)容，教學(xué)時才能做到胸有成竹，游刃有余;只有充分挖掘教材內(nèi)容，才能在教學(xué)時不斷滲透數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

2. 研讀教材要做有心人

李善良教授在講座中提到，編寫教材的過程中，有這樣兩個原則：凡是留給學(xué)生說的話，教材不要寫出來，但是要讓學(xué)生能說得出;凡是留給教師說的話，教材不要寫出來，但是要讓教師能講得出. 那么，教師在研讀教材的過程中就要思考，教材中的各個環(huán)節(jié)為何要這么設(shè)置？目的是什么？傳遞給學(xué)生的信息是什么？教師需要做怎樣的啟發(fā)和引導(dǎo)？

以章引言為例，很多教師不重視對章引言的教學(xué)，認(rèn)為可有可無. 實際上，章引言具有重要的教學(xué)價值. 通常，章引言會向?qū)W生介紹為什么要學(xué)習(xí)這一章的內(nèi)容，通過一些簡單有趣而又典型的例子，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，通過對這些例子進(jìn)行初步的分析，讓學(xué)生了解主要的知識脈絡(luò). 學(xué)生通過對章引言的學(xué)習(xí)，可以建立初步的知識框架，了解到學(xué)什么（內(nèi)容）、為什么學(xué)（價值）、怎樣學(xué)（思想方法）. 每章的引言給出了本章的“大情境”.“大情境”包括現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境、歷史情境等. 在每章的問題情境引領(lǐng)下，依次分解到各單元、各節(jié)、各知識點(diǎn)，形成整章的“情境鏈”. 每章的引言同時提出指向本章的“大問題”，意圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題. 從章引言的“大問題”開始，進(jìn)一步提出各單元的問題、各節(jié)的問題、各具體內(nèi)容的問題，層層深入，形成全章的“問題串”.“大問題”引導(dǎo)學(xué)生積極開展數(shù)學(xué)活動，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng).

教師在備課時，常常會考慮問題情境的選擇，與其費(fèi)力地從各個課件中尋找，不如用好章頭圖、章引言中的問題情境. 例如，蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)4必修》第一章的章引言，以摩天輪為例引入三角函數(shù)，摩天輪是反映三角函數(shù)的周期性的典型例子. 筆者認(rèn)為，“任意角”“弧度制”“任意角的三角函數(shù)”“函數(shù)[y=Asinωx+φ]的圖象”均可以使用摩天輪這一問題情境進(jìn)行教學(xué)，整體設(shè)計，每個課時從不同角度去理解、滲透相關(guān)內(nèi)容. 摩天輪運(yùn)動模型的背景簡單、重點(diǎn)突出，相較于筒車、水輪、鐘擺等例子，更能突出教學(xué)重點(diǎn). 數(shù)學(xué)與生活存在緊密聯(lián)系，教學(xué)中適當(dāng)創(chuàng)設(shè)情境能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情. 然而，情境創(chuàng)設(shè)只是手段，不是目的，情境創(chuàng)設(shè)過多會分散學(xué)生的注意力，情境創(chuàng)設(shè)不合適也會沖淡教學(xué)主題，問題情境的選擇要精、巧、準(zhǔn). 所謂研讀教材，要邊讀邊研究，要做有心人，知其然更知其所以然.

3. 研讀教材要與時俱進(jìn)

雖然數(shù)學(xué)概念、定理等知識可能多年不變，但是時代在變、學(xué)生在變，課程標(biāo)準(zhǔn)在變，教學(xué)設(shè)備在不斷更新，教師也在不斷成長，研讀教材更要與時俱進(jìn).例如，新版教材相對于舊版教材在哪些方面進(jìn)行了修改？增減了哪些內(nèi)容？為何要做如此修改？這些都是教師需要思考的內(nèi)容. 而且，研讀教材不能局限于正在使用版本的教材，還應(yīng)該讀一讀其他版本的教材. 不同版本的教材，在遵循課程標(biāo)準(zhǔn)的同時，也融入了編者的思考，教師要比較并結(jié)合自己的理解，從中選擇更適宜學(xué)情的教學(xué)內(nèi)容. 每個版本教材內(nèi)容的編排順序及呈現(xiàn)方式都有各自的優(yōu)點(diǎn)，如果教師能適當(dāng)將其整合，就能設(shè)計出更合理的教學(xué)方案.

二、讀什么

1. 教材中呈現(xiàn)的知識

數(shù)學(xué)教材中呈現(xiàn)的知識包括：概念、定理（公式、法則）、模型、程序，但不局限于此. 教師在研讀教材時要理清知識的來龍去脈，包括該知識產(chǎn)生的背景，知識發(fā)生、發(fā)展的過程，以及與其他知識之間的聯(lián)系等.

越來越多的教師開始重視概念教學(xué)和單元教學(xué). 數(shù)學(xué)概念是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理、法則的邏輯基礎(chǔ)，也是解決數(shù)學(xué)問題的前提. 概念教學(xué)是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能教學(xué)的核心，也是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn). 概念教學(xué)不到位，會導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解不透徹，或是對概念的認(rèn)識比較膚淺，概念的應(yīng)用便無從談起. 數(shù)學(xué)單元教學(xué)的核心就是整體把握、抓住本質(zhì). 教師在教學(xué)過程中，要從整體把握一個單元，要考慮該單元內(nèi)容在整個高中數(shù)學(xué)課程中的位置和地位，它前面與哪些知識有聯(lián)系？后面又可以解決哪些問題？要整體把握知識的重點(diǎn)、難點(diǎn)和教育價值. 無論是概念教學(xué)還是單元教學(xué)，都有一個共同的前提——教師要對教材中呈現(xiàn)的知識深度研究、整體把握. 教師站得高，方能幫助學(xué)生看得遠(yuǎn).

2. 教材中承載的方法

李善良教授在講座中提出了這樣一個問題：高中數(shù)學(xué)教材中所涉及的數(shù)學(xué)方法有哪些？教師一定都如數(shù)家珍：轉(zhuǎn)化、分類討論、模型化、特殊化、一般化、比較、類比、歸納、變換、估計、分析、綜合、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等. 不妨再考慮以下問題：教材又是在哪些知識上承載這些方法的？這些方法是怎么想到的？這些方法能解決什么樣的問題？

教師常常會有這樣的感嘆：這個方法講過的，學(xué)生怎么記不住呢？不是學(xué)生自己想出來的方法，不是學(xué)生深刻理解的方法，學(xué)生自然是記不住的，只靠大量刷題，是無法達(dá)成教學(xué)目標(biāo)的. 以“等差數(shù)列的前n項和”為例，人教版教材從高斯算法引入倒序相加求和法，蘇教版教材從計算一堆鋼管數(shù)引入倒序相加求和法，但無論是哪種引入，教材上都是三言兩語帶過，倒序相加的做法都顯得唐突，學(xué)生難以想到. 在教學(xué)過程中，教師如果僅僅告訴學(xué)生這叫倒序相加求和法，學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中基本是不會主動使用該方法的. 這就要求教師在研讀教材時，深入研究教材承載的方法，探究數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)，明確數(shù)學(xué)方法的使用范圍和途徑，思考各種數(shù)學(xué)方法之間的內(nèi)在聯(lián)系和特征.

對于“等差數(shù)列的前n項和”的教學(xué)，教師可以嘗試以下幾種途徑：① 對n分奇數(shù)和偶數(shù)討論;② 高斯算法的本質(zhì)是配對求和，而配對求和的本質(zhì)是集合與對應(yīng)，不妨將與等差數(shù)列中的每一項對應(yīng)的項一一列舉出來，然后再引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，從而自然生成倒序相加求和法;③ 鋼管的擺放呈梯形狀，聯(lián)想梯形的面積公式，從圖形的角度來推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式.

教師在研讀教材時，對于教材中承載的方法，要深入思考方法從哪來，以及方法的本質(zhì)是什么. 數(shù)學(xué)方法不能強(qiáng)加給學(xué)生，要教會學(xué)生如何思考、如何使用.

3. 教材中蘊(yùn)涵的思想

什么才是數(shù)學(xué)思想？曾經(jīng)普遍認(rèn)為的數(shù)學(xué)思想包括四大類：轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、分類討論. 后來，史寧中教授提出，可以用這樣兩個標(biāo)準(zhǔn)來衡量什么是數(shù)學(xué)思想：一是數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展所依賴的思想;二是學(xué)過數(shù)學(xué)的人和沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人在思維上的根本差異. 中小學(xué)階段基本的數(shù)學(xué)思想包括數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)建模.

數(shù)學(xué)方法是具體的、可操作的，而數(shù)學(xué)思想是抽象的. 如果說數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體表現(xiàn)形式，那么，數(shù)學(xué)思想就是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂. 教材中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想是需要教師去挖掘的，需要在教學(xué)中不斷滲透、長期滲透的，這比教給學(xué)生具體的數(shù)學(xué)方法更難. 以數(shù)學(xué)抽象為例，這一數(shù)學(xué)思想不是到了高中才有的，學(xué)生在小學(xué)就經(jīng)歷過數(shù)量到數(shù)的抽象，數(shù)學(xué)抽象也不是靠一兩節(jié)課就能講清楚的. 例如，在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷從數(shù)到符號的抽象;在立體幾何的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷從圖形到圖形關(guān)系的抽象.

我們知道，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識固然重要，但比數(shù)學(xué)知識更重要的是數(shù)學(xué)思想，知識只是思想的載體，數(shù)學(xué)思想才是數(shù)學(xué)的精髓. 同時，數(shù)學(xué)思想又是知識升華為能力的橋梁，所以說對學(xué)生空間想象能力、抽象概括能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力的培養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)思想. 教師在充分挖掘教材中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想后，必須要逐步滲透、層層推進(jìn)，方能讓學(xué)生有所領(lǐng)悟.

4. 教材中蘊(yùn)涵的精神

教材中蘊(yùn)涵的精神包括數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)價值和數(shù)學(xué)精神三個方面. 其中，數(shù)學(xué)文化已經(jīng)受到了越來越多的重視，數(shù)學(xué)文化是人類文化的重要組成部分.《標(biāo)準(zhǔn)》指出，數(shù)學(xué)文化是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一，并要求滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中，近年來的高考試題也明顯增加了數(shù)學(xué)文化的滲透. 數(shù)學(xué)文化不僅僅是數(shù)學(xué)史，還包括數(shù)學(xué)成就、數(shù)學(xué)家等. 教師在研讀教材時要關(guān)注數(shù)學(xué)文化，在教學(xué)中自然地融入數(shù)學(xué)文化.

數(shù)學(xué)價值包括科學(xué)、應(yīng)用、文化、審美價值等. 認(rèn)識數(shù)學(xué)價值有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)學(xué)生的愛國精神和文化自信，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)教育的育人功能.

三、幾點(diǎn)思考

教師不僅要傳授給學(xué)生知識，更要提升學(xué)生的核心素養(yǎng). 看似平凡的教材中蘊(yùn)涵了深刻的數(shù)學(xué)思想與方法，留給教師的思考與研究是無止境的.

很多教師認(rèn)為，教學(xué)中教什么與學(xué)生學(xué)什么在標(biāo)準(zhǔn)中已經(jīng)確定，教材中也已有具體內(nèi)容的體現(xiàn). 其實不然，教材只是實現(xiàn)課程目標(biāo)的一種案例或范例，它不是對教學(xué)內(nèi)容的具體規(guī)定，不是教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和教學(xué)內(nèi)容的全部. 教師應(yīng)該既堅持基于教材，也要敢于超越教材. 這就需要教師在教學(xué)實踐中努力培養(yǎng)創(chuàng)造性使用教材的膽識和智慧.

教師在研讀教材時，要遵循知識主線、方法主線、思想主線和精神主線，這樣才能充分理解教材的設(shè)計意圖，科學(xué)地使用教材，從整體上把握教材體系，挖掘知識之間的聯(lián)系，不斷探究數(shù)學(xué)方法，感悟數(shù)學(xué)思想，領(lǐng)會數(shù)學(xué)精神.

研讀教材是研究教材的第一步，也是最關(guān)鍵的一步，唯有認(rèn)真研讀過教材，才能進(jìn)一步去研磨教材、研用教材、研究教材，乃至研制教材.

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