一道二次根式比較大小問題的解法探究與推廣

陽曉慧 白雪峰

[摘? 要] 文章針對一道二次根式比較大小的問題展開解法探究，基于問題深度解析，給出多種解題思路和具體方法;基于題后回顧反思，點評解法，指出學生思維障礙點，提出初中數(shù)學解題學習和解題教學具體建議;基于總結與拓展，闡明一題多解、解法比較、解法優(yōu)化以及拓展思考等數(shù)學學習過程的育人價值.

[關鍵詞] 二次根式;比較大小;一題多解

在初中數(shù)學學習中，比較兩個實數(shù)的大小是一類典型問題，涉及的知識點多、思路面廣、方法靈活，內(nèi)容可以涵蓋整式、分式和二次根式等. 而比較兩個二次根式大小的方法多達十余種，且是二次根式學習中的一個難點[1]. 學生除了需要掌握二次根式的基本性質(zhì)和運算法則外，還要根據(jù)問題中具體二次根式的結構特征，多角度地探索思考，靈活選用不同的思維方法進行解題[2]. 因此，學生在遇到這類問題時，常常感到困難而無從下手. 下面筆者就以北京市朝陽區(qū)八年級下冊數(shù)學目標檢測中的一道綜合實踐問題為例展開解法探究.

問題與解析

問題解析 這是在學生學習了“二次根式”一章后，在綜合實踐活動中給出的一道比較兩個實數(shù)大小的問題，要求學生進行多種解法的探究. 事實上，比較兩個實數(shù)大小的方法是明確的，主要包括作差和作商等基本方法;解題步驟是清晰的，具體包括作差（商），變形，與0（或1）比較，進而得出結論. 但是，由于本題中所給兩個實數(shù)的形式相對來說較為復雜，所以解決本題的難點在于需要反復利用作差（或商）比較法，或者利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法，將原數(shù)轉(zhuǎn)化為較為容易比較的兩個數(shù). 這種方法的活用與轉(zhuǎn)化的思想常常是學生想不到的.

思路與解法

這個問題對于多數(shù)學生來說是很具有挑戰(zhàn)性的. 通過教師的持續(xù)鼓勵與小組的合作學習，大部分學生在解法探究過程中表現(xiàn)積極，思維活躍，敢于提出不同的思路，堅持進行各種嘗試. 在獲得多種解法的過程中，學生的數(shù)學學習思維品質(zhì)和解題能力均得到了鍛煉與提升.

方法1：作差比較法

思路分析 作差比較法是最基本也是最核心的方法.在初一下冊“不等式”一章的學習過程中學生已經(jīng)初步接觸該方法，其具體步驟是兩數(shù)作差、變形，再與0比較大小.

方法2：作商比較法

思路分析 對于兩個正數(shù)而言，作商比較法也是一種最基本、最核心的方法.借助正數(shù)的特性，通過作商法與1進行比較，來判斷兩數(shù)的大小.第一次作商以后，將分子中的四個數(shù)分成兩組，分別比較它們與1的大小，從而達到比較分子與2的大小的目的.

題后反思 作商法比較大小，思路雖簡單，但操作起來并不容易.其難點在于分母有理化后，所得分式的分子是含有四項的式子. 四個數(shù)的加減法直接用平方法去根號操作起來比較困難. 這里需要學生認真觀察并合理分組，在每組數(shù)中比較與1的大小，利用轉(zhuǎn)化和化歸的思想化繁為簡，獲得答案. 在教學中，教師要引導學生注意使用作商比較法的基本條件.

方法3：直接平方法

思路分析 直接平方法是比較無理數(shù)大小時常用的方法，是將無理數(shù)轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，將兩個數(shù)進行“同化”的有效手段. 在實際操作時往往需要先平方，再作差與0比較大小，從而達到比較兩個數(shù)的大小的目的.筆者在這里先平方，然后作差，再平方，最后作差比較大?。ㄖ虚g有一個估算放縮的過程）.

題后反思 在本解法中，學生本能性地會直接平方，但很快發(fā)現(xiàn)平方后的兩數(shù)依然無法比較大小，從而陷入困境，有些學生就此放棄了平方這條路.本解法的關鍵在于要處理好“二次作差”的環(huán)節(jié)，在教學實踐中，教師要善于鼓勵學生“不妨再算一次”，培養(yǎng)學生堅持不懈、勇于挑戰(zhàn)的品質(zhì).

方法4：取倒數(shù)比較法

思路分析 兩個正數(shù)比較大小，可以先比較其倒數(shù)的大小，從而得到原數(shù)的大小關系.倒數(shù)大的反而小，倒數(shù)小的反而大.

方法5：化為值相等的式子

思路分析 借助本題中兩數(shù)都是正數(shù)這一特性，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，兩組被開方數(shù)的數(shù)字之間都相差2，據(jù)此可以構造兩個乘式，通過比較兩個乘式中一對因數(shù)的大小，得到另一對因數(shù)的大小關系.

題后反思 當觀察到數(shù)字具有一定的規(guī)律或者共性時，通過構造新數(shù)，往往可以起到“化腐朽為神奇”的效果.因此，仔細觀察、歸納特征、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是產(chǎn)生聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)解題思路的不二法門.

方法6：構造新數(shù)比較法

思路分析 根據(jù)等式和不等式的性質(zhì)，等式（或不等式）左右兩邊同時乘一個正數(shù)，結果（或方向）不變.利用正數(shù)的這一特性，可以通過兩數(shù)同時乘以某個正數(shù)，或者兩數(shù)同時加上某個正數(shù)再平方，將問題轉(zhuǎn)化為比較新數(shù)的大小，進而得到原數(shù)的大小關系.筆者在這里提供幾種構造新數(shù)的方法.

題后反思 同樣是利用原數(shù)的非負性以及所加數(shù)的非負性，并通過巧妙的變形來實現(xiàn)比較大小的目的.需要注意的是，如果原數(shù)不是非負數(shù)，此種方法也就不可行了.

總結與拓展

數(shù)學研究往往聚焦于研究對象之間的共性和差異性，根據(jù)事物間的共性尋找規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律產(chǎn)生聯(lián)想，提煉解決問題的方法，并用數(shù)學符號語言表達該方法. 因此，我們不能止步于此，還要在此基礎上進一步思考能否將問題進行推廣，形成更一般化的解題方法.

（一）探尋問題的一般化推廣

由特殊到一般的推廣，對于開闊解題思路、增強符號意識、提高數(shù)學的抽象推理和語言表達能力具有十分重要的意義. 對此，筆者給出上述問題的兩種推廣方式：

事實上，上述其他解法也都可以用于證明推廣2的問題. 由此可見，從特殊到一般、由具體到抽象是學習數(shù)學的一條必經(jīng)之路. 針對一個具體的問題尋找一般性的解決方法，對于數(shù)學學習大有裨益.

（二）探尋問題的直觀化解釋

眾所周知，數(shù)學是一個有機的整體，往往數(shù)不離形，形不離數(shù)，數(shù)和形相互依存，你中有我，我中有你. 因此，數(shù)形結合是數(shù)學中常用的基本思想方法，也貫穿數(shù)學學習的始終. 下面，筆者給出原問題的兩種幾何直觀解釋.

事實上，隨著數(shù)學學習的不斷深入以及數(shù)學知識的逐漸豐富，學生今后還可以從函數(shù)和導數(shù)的角度來看待和解決這道題. 彼時，此類問題的解題思路會更加開闊，學生對問題本質(zhì)的理解也會更加深刻.

數(shù)學題目種類繁多，千變?nèi)f化. 師生如何從題海戰(zhàn)術中解脫出來？如何通過探究一道題，打通一類題？如何通過一個好問題，既激發(fā)了學生的學習興趣，又發(fā)展了學生的數(shù)學核心素養(yǎng)？相信，這道比較大小的“小問題”，一定會帶給同行更多的啟發(fā). 總而言之，在初中數(shù)學教學過程中，教師要注重設計具有一定挑戰(zhàn)性的任務，善于通過小組合作與問題解決的方式，引導學生學會分析問題、探究思路、執(zhí)行解法、回顧反思，也要基于深度實踐和充分交流，指導學生總結提煉蘊含在問題解決過程中的基本思想方法和基本活動經(jīng)驗. 長此以往，學生必然會在不斷地觀察、分析、猜想、探索、求解或證明等一系列研究活動中提升解決數(shù)學問題的能力，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)[3].

參考文獻：

[1] 侯國興. 比較二次根式大小的若干方法[J]. 數(shù)學教學通訊，2003（S2）.

[2] 趙冬梅. 怎樣比較二次根式的大小[J]. 語數(shù)外學習（初中版），2021（01）.

[3] 白雪峰，張彥伶. 經(jīng)典問題演變拓展，推理素養(yǎng)落地生根——以一道常見幾何問題的溯源拓展為例[J]. 中學數(shù)學，2019（08）.

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