基于state -space -split法的滯回非線性系統(tǒng)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析

徐嚴(yán)鋼, 朱海濤*,2, 柳國(guó)環(huán), 劉治國(guó),2,3

(1.天津大學(xué) 建筑工程學(xué)院,天津 300072； 2.天津大學(xué) 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300072；3.中國(guó)市政工程華北設(shè)計(jì)研究總院有限公司,天津 300074)

1 引 言

自然界中的地震、風(fēng)和海浪均具有隨機(jī)動(dòng)力特性[1]。當(dāng)激勵(lì)過大時(shí)，工程結(jié)構(gòu)可能會(huì)發(fā)生局部構(gòu)件失效，甚至整體破壞，造成巨大的生命和財(cái)產(chǎn)損失。因此，研究工程結(jié)構(gòu)在這些隨機(jī)激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)特性，提出工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力失效的防護(hù)措施，對(duì)預(yù)防因過大隨機(jī)激勵(lì)導(dǎo)致工程結(jié)構(gòu)破壞而引發(fā)的危害具有重要科學(xué)意義和工程價(jià)值。隨機(jī)激勵(lì)下的工程結(jié)構(gòu)響應(yīng)具有隨機(jī)動(dòng)力特性，早期研究工作將隨機(jī)動(dòng)力荷載等效為靜力荷載，近似計(jì)算工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)[2,3]。該等效方法計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際工況可能會(huì)存在較大偏差，從而導(dǎo)致不安全的設(shè)計(jì)方案。為了獲得更準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果，采用隨機(jī)振動(dòng)理論與分析方法是研究工程結(jié)構(gòu)的隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)的一條有效途徑。采用隨機(jī)過程描述隨機(jī)激勵(lì)輸入，進(jìn)行工程結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析與動(dòng)力可靠度驗(yàn)算。

另一方面，工程結(jié)構(gòu)在地震、風(fēng)和海浪等隨機(jī)激勵(lì)作用下產(chǎn)生動(dòng)力響應(yīng)，可以采用隨機(jī)振動(dòng)理論將工程結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行分析。當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)較大時(shí)，工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)具有幾何非線性特性[4]。同時(shí)，在能量耗散過程中，也會(huì)呈現(xiàn)材料非線性特性。滯回模型是一種描述材料非線性行為的重要模型。在滯回模型的研究中,Bouc-Wen滯回模型得到廣泛的研究與應(yīng)用。該模型由Bouc[5]首次提出，隨后Wen[6]進(jìn)一步完善。Baber等[7，8]研究了其退化現(xiàn)象和Bouc-Wen模型的捏縮效應(yīng)。

在隨機(jī)振動(dòng)分析方法中，最早由Botton[9]提出的等效線性化法應(yīng)用最為廣泛，其主要思想是把隨機(jī)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)進(jìn)行線性化處理，通過迭代的方法求解出線性化系數(shù)，再按照分析線性系統(tǒng)的方法來分析近似后系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)。許多學(xué)者針對(duì)等效線性化法進(jìn)行了改進(jìn)研究。Caughey[10]通過采用最小方差的原則來確定等效線性化法的參數(shù)，同時(shí)，對(duì)等效線性化法進(jìn)行了擴(kuò)展，使其可以運(yùn)用于多自由度系統(tǒng)的非線性隨機(jī)振動(dòng)研究領(lǐng)域。Er[11]在等效線性化法的基礎(chǔ)上，提出了SSS(state -space -split)法對(duì)系統(tǒng)的FPK 方程進(jìn)行降維來簡(jiǎn)化計(jì)算。多位學(xué)者通過該方法求解了多種隨機(jī)振動(dòng)問題。Zhu[12]采用SSS法求解了在高斯白噪聲激勵(lì)下的杜芬形式能量收集器的FPK方程。Er等[13]使用該方法求解了矩形板在高斯白噪聲激勵(lì)下的概率密度函數(shù)，并對(duì)板不同位置處的撓度概率進(jìn)行了數(shù)值研究。

SSS法的優(yōu)勢(shì)在于對(duì)高維多自由度復(fù)雜激勵(lì)下非線性隨機(jī)振動(dòng)問題的簡(jiǎn)化計(jì)算。該方法可以將高維狀態(tài)空間中求解FPK方程的問題轉(zhuǎn)化成低維狀態(tài)空間中求解某些簡(jiǎn)化FPK方程的問題,且不受系統(tǒng)狀態(tài)自由度數(shù)量和非線性強(qiáng)弱的限制，因此可用于分析大規(guī)模非線性系統(tǒng)的概率密度函數(shù)解。如Er[11]通過該方法求解了外部激勵(lì)下的10自由度非線性系統(tǒng)和參數(shù)激勵(lì)下 8自由度非線性系統(tǒng)等。相比Pushover分析，SSS法基于隨機(jī)振動(dòng)學(xué)，分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)，采用電腦模擬出的隨機(jī)激勵(lì)，更接近真實(shí)情況。Pushover分析法本質(zhì)是等效靜力分析方法，側(cè)向分布力模式的選取十分重要，當(dāng)研究較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)時(shí)，水平分布的側(cè)向力并不能完全體現(xiàn)地震的隨機(jī)動(dòng)力特性,結(jié)果可能會(huì)出現(xiàn)偏差。相比非線性時(shí)程分析，SSS法前期簡(jiǎn)化過程簡(jiǎn)單，損失精度較小，但最終計(jì)算結(jié)果更依賴于后續(xù)方法對(duì)簡(jiǎn)化方程的計(jì)算精度。非線性時(shí)程法較為成熟，能真實(shí)反映結(jié)構(gòu)在地震作用下的破壞機(jī)制和構(gòu)件的塑性破壞過程,但計(jì)算過程過于復(fù)雜，實(shí)際工程中較難推廣。

綜上所述，針對(duì)滯回模型的非線性振動(dòng)響應(yīng)以及求解高維非線性問題較有優(yōu)勢(shì)的SSS法已開展了一些研究工作。但是，在研究非線性系統(tǒng)的過程中，通常不同時(shí)考慮幾何非線性和材料非線性對(duì)響應(yīng)的影響。故本文探索性地將Bouc-Wen滯回模型引入杜芬非線性系統(tǒng)，同時(shí)考慮非線性系統(tǒng)中的幾何非線性和材料非線性，并通過SSS法建立了該非線性系統(tǒng)在高斯白噪聲下的聯(lián)合概率密度函數(shù)近似求解方法。

2 引入Bouc-Wen模型的杜芬系統(tǒng)

工程結(jié)構(gòu)的非線性主要包括由于結(jié)構(gòu)幾何大變形產(chǎn)生的幾何非線性和由于材料的阻尼產(chǎn)生的材料非線性(如滯回特性)。在土木工程領(lǐng)域中，很多構(gòu)件都具有滯回特性。如RC框架中形成的塑性鉸和材料的阻尼等。滯回特性通?？梢酝ㄟ^應(yīng)力-應(yīng)變曲線來直觀表達(dá)，帶有滯回特性的構(gòu)件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線會(huì)在加載和卸載的過程中成為一個(gè)閉合的滯回環(huán)。

本文基于之前研究，以RC框架結(jié)構(gòu)為例，將Bouc-Wen模型引入杜芬非線性系統(tǒng)。其初始狀態(tài)基于以下幾點(diǎn)假設(shè)。

(1) 在RC 框架結(jié)構(gòu)的平面振動(dòng)研究中，將其簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)系模型。

(2) 不考慮柱的軸向伸縮，認(rèn)為樓板的剛度無限大且只做平動(dòng)運(yùn)功，各層的質(zhì)量都集中在樓板上，在地震的激勵(lì)下樓板和各層框架位移相同。

(3) 柱截面滿足平截面假定，橫截面在變形前后垂直于中性軸不改變。

(4) 以剛度屈服比未變化的初始瞬時(shí)進(jìn)行分析，首先不考慮材料非線性引起滯回力的參與，求解出剪力后，再將非線性滯回力按剛度屈服比分配進(jìn)恢復(fù)力中，與線性恢復(fù)力和幾何非線性恢復(fù)力共同組成非阻尼恢復(fù)力。如圖1(a)所示，建立單層單跨的RC框架模型[14],其力學(xué)模型如圖1(b)所示。

圖1 單層框架受力模型及力學(xué)模型

假設(shè)此模型柱長(zhǎng)度為H，抗彎剛度為EI，樓板和梁的質(zhì)量合為m，滯回環(huán)形狀控制參數(shù)有A，n，β，γ，α∈(0，1)為屈服前后的剛度比，W(t)為地震力，剪力R可表示為[14]

(1)

設(shè)此時(shí)考慮材料非線性和幾何非線性，系統(tǒng)的振動(dòng)方程如下。

(2)

式中c=2mζ，ζ為阻尼系數(shù)。

當(dāng)W(t)為地震力時(shí)，采用高斯白噪聲ξ(t)來模擬地震的激勵(lì)過程。式(12)兩側(cè)同除以m，同時(shí)考慮經(jīng)典Bouc-Wen模型(n=1)，則

(3)

3 等效線性化法

采用等效系統(tǒng)殘差均方差最小原則，式(3)的非線性項(xiàng)可以近似為線性項(xiàng)來表示。其等效線性系統(tǒng)如下[15]。

(4)

式中de=3αεE[x2]，ce=βF1+γF2-A，ke=βF3+γF4。參數(shù)F1,F2,F3和F4可表示為[7,16]

(5,6)

(7)

(8，9)

(10)

4 State -Space -Split法

將

和z=x3代入式(3)，則原式的一階微分方程組如下：

(11)

此非線性動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)響應(yīng)的 FPK 為

(12)

式中p代表p(x1,x2,x3,t)。根據(jù)SSS法，對(duì)式(12)在x3的域內(nèi)積分有

(13)

式中p為p(x1,x2)。其中，q(x3|x1,x2)可以通過等效線性化法來得到其近似解。

(14)

方差為

(15)

通過SSS法降維后的FPK方程如式(16)所示。其精確解可直接求得。

(16)

(17)

式中K為第二類修正Bessel函數(shù)。

D=2ξω+(1-α)ω23(σ3/σ2)

(18)

(19)

(20)

隨后x1,x2和x3的近似聯(lián)合概率密度函數(shù)可以通過降維后的二維FPK方程精確解和近似條件概率密度函數(shù)近似表達(dá)：

p(x1,x2)

(21)

5 數(shù)值分析

分析非線性模型在均值為0的高斯白噪聲激勵(lì)下響應(yīng)的概率密度函數(shù)。選取三個(gè)例子以及一個(gè)實(shí)體工程進(jìn)行討論，驗(yàn)證所提方法的適用性。非線性模型的方程見式(3)。參數(shù)取值如下,ω=1,ξ=0.05,α=0.5,β=0.5,γ=-0.5,n=1和A=1。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

采用蒙特卡洛模擬結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證SSS法的準(zhǔn)確性，并與等效線性化法所求得的結(jié)果進(jìn)行比較，證明其優(yōu)越性。計(jì)算結(jié)果如圖2～圖4所示。其中蒙特卡洛法產(chǎn)生的樣本數(shù)為1000萬。由SSS法、等效線性化法和蒙特卡洛法求解的結(jié)果分別簡(jiǎn)寫為SSS，EQL和MCS。概率密度函數(shù)簡(jiǎn)寫為PDF。

算例1的結(jié)果如圖2所示。圖2(a,e)表明激勵(lì)強(qiáng)度和非線性系數(shù)均較低時(shí)，在位移PDF的峰值區(qū)域和尾部區(qū)域，相比EQL，SSS和MCS的擬合程度更好。表明此條件下的位移PDF是非高斯分布的。圖2(b,f)是速度PDF圖。對(duì)于速度PDF，SSS和EQL結(jié)果相同。對(duì)于峰值區(qū)域，兩者均存在偏差；對(duì)于尾部區(qū)域，兩者精確度都較好。圖2(c,g)為滯回力PDF分布。對(duì)于峰值區(qū)域，SSS和EQL均存在少量誤差，不能精確地描述峰值區(qū)域；對(duì)于尾部區(qū)域，SSS和MCS存在少量誤差，誤差小于EQL。這證明了在激勵(lì)強(qiáng)度和非線性系數(shù)較低時(shí)，相對(duì)EQL法，SSS法可以更好地描述位移和滯回力的PDF，尤其是尾部區(qū)域。圖2(d，h)為算例1的位移-速度聯(lián)合分布。從位移方向來看，在[-0.5,0.5]區(qū)間內(nèi)，EQL結(jié)果略大于SSS的結(jié)果。而在[-0.5,0.5]區(qū)間外，SSS的結(jié)果分布更寬于EQL的結(jié)果，分布趨勢(shì)近似于位移PDF的趨勢(shì)。

圖2 算例1概率密度函數(shù)的分布

算例2的結(jié)果如圖3所示。如圖3(a,e)所示，保持幾何非線性系數(shù)不變，增大激勵(lì)，對(duì)于位移PDF，EQL和MCS的誤差增大，而SSS和MCS的擬合依然良好。隨著激勵(lì)的增大，位移PDF逐漸遠(yuǎn)離高斯分布，且EQL法精度降低。圖3(b,f)表明，EQL和SSS依然相同且精度較高,精度不受激勵(lì)影響。圖3(c,g)為滯回力的PDF。對(duì)于峰值區(qū)域，兩種結(jié)果都和MCS存在誤差，EQL的誤差較小；但對(duì)于尾部，SSS誤差更小。激勵(lì)增大后，SSS法能較好地描述滯回力PDF的尾部區(qū)域。圖3(d,h)為算例2的位移-速度聯(lián)合分布。從位移方向來看，在[-1,1]區(qū)間內(nèi),EQL大于SSS；在[-1,1]區(qū)間外，SSS分布比EQL廣泛。激勵(lì)增大導(dǎo)致聯(lián)合分布的范圍變得更廣,峰值降低。

圖3 算例2概率密度函數(shù)的分布

算例3結(jié)果如圖4所示，保持激勵(lì)大小不變，增大非線性系數(shù)。如圖4(a,e)所示，對(duì)于位移PDF，SSS和MCS擬合較好，而EQL誤差偏大。在非線性系數(shù)和激勵(lì)均較大時(shí)，EQL法精度明顯降低。圖4(b,f)是速度PDF，三者幾乎重合，速度PDF呈高斯分布。圖4(c,g)為滯回力PDF，對(duì)于峰值區(qū)域，EQL誤差偏??；而對(duì)于尾部，EQL存在著較大的誤差，SSS能保持較高的擬合精度。圖4(d,h)為算例3的位移-速度聯(lián)合分布。其趨勢(shì)與 圖3(d,h)相似。在峰值處，EQL和SSS結(jié)果相差更大。這與算例2和算例3的位移PDF分布的差異情況相似。

采用SSS法和蒙特卡洛法，通過首超破壞機(jī)制中的單側(cè)安全界限機(jī)制和破壞準(zhǔn)則，計(jì)算一榀單層混凝土框架結(jié)構(gòu)在平穩(wěn)高斯白噪聲激勵(lì)下的可靠度,驗(yàn)證其實(shí)用性。取激勵(lì)強(qiáng)度S0=0.002 m2/s3，結(jié)構(gòu)自振頻率為w0=12 rad/s，阻尼比ζ=0.05，高度H=13.2 m，ε=6.198。Bouc-Wen模型的參數(shù)采用劉俊等[17]通過參數(shù)識(shí)別所獲得的模型參數(shù)，α=0.2,β=0.202,γ=0.3147,n=1,A=1.1037，單側(cè)安全界限b=2.4 cm。結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度公式如下。

(22)

從圖5可以看出，當(dāng)t=9 s時(shí)，響應(yīng)達(dá)到平穩(wěn)。從圖6可以看出，SSS法計(jì)算結(jié)果與MCS結(jié)果幾乎吻合，證明了該方法準(zhǔn)確度接近數(shù)值模擬結(jié)果，在工程上可行。

圖4 算例3概率密度函數(shù)的分布

圖5 二階矩變化曲線

圖6 動(dòng)力可靠度變化

6 結(jié) 論

采用SSS法分析了一類同時(shí)擁有幾何非線性和材料非線性的非線性隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)的響應(yīng)，獲得了系統(tǒng)在高斯白噪聲激勵(lì)下平穩(wěn)響應(yīng)的概率密度函數(shù)，并通過實(shí)例驗(yàn)證了其有效性。研究表明，

(1) 在求解位移PDF 時(shí)，當(dāng)激勵(lì)較小時(shí)，SSS法和EQL法對(duì)峰值區(qū)域求解精度較高。對(duì)于尾部區(qū)域，激勵(lì)增大后，EQL法求解會(huì)產(chǎn)生較大誤差而SSS法能保持較高的求解精度。

(2) 求解速度PDF時(shí)，SSS法和EQL法計(jì)算的結(jié)果相同，且速度概率密度函數(shù)分布始終保持近似高斯分布。

(3) 求解滯回力PDF時(shí)，在峰值區(qū)域，隨激勵(lì)增大，兩種方法都不能很好地對(duì)PDF進(jìn)行描述。對(duì)于PDF的尾部，SSS法的求解精確度更好。工程結(jié)構(gòu)的破壞往往和PDF尾部關(guān)系比較緊密，因此分析PDF尾部分布有重要意義。SSS法在分析這類非線性模型隨機(jī)振動(dòng)問題時(shí)，可以提供更精準(zhǔn)的概率密度函數(shù)解。

(4) 當(dāng)幾何非線性系數(shù)增大時(shí)，EQL求解的誤差會(huì)增大，而SSS法可以保持較高的精度。

(5) 本文主要研究 SSS法求解復(fù)雜非線性滯回模型在均值為零的高斯白噪聲激勵(lì)下平穩(wěn)響應(yīng)的可行性和適用性。但對(duì)于地震作用下的橋梁等土木建筑結(jié)構(gòu)，更多采用過濾白噪聲或考慮非平穩(wěn)過程。當(dāng)考慮過濾白噪聲激勵(lì)時(shí)，需在原振動(dòng)方程組中增加一濾波器方程，得到相應(yīng)的FPK方程，再采用SSS法進(jìn)行降維運(yùn)算。關(guān)于SSS法的詳細(xì)降維運(yùn)算過程可參見文獻(xiàn)[11]。對(duì)于非平穩(wěn)過程，SSS法需要進(jìn)一步研究，使該方法可以拓展解決非平穩(wěn)問題。