對(duì)等溫條件下理想氣體伯努利方程的討論

周 越 張國(guó)鋒

(1 北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院,北京 100083;2北京航空航天大學(xué)物理科學(xué)與核能工程學(xué)院,北京 100191)

1 問題的提出

在普通物理教材中,對(duì)伯努利方程的討論一般僅限于理想流體的情況,即假定流體無(wú)粘性且不可壓縮。與液體相比,氣體的可壓縮性要大得多,密度可以發(fā)生顯著的變化,在流速遠(yuǎn)低于聲速的條件下才能近似地將其視為理想流體[1]。要精確地定量分析氣體的狀態(tài)參量和流速的關(guān)系,應(yīng)考慮密度變化的影響。在氣體動(dòng)力學(xué)中,一般把氣體的流動(dòng)視為等熵過(guò)程,即忽略氣體和外界的熱交換[2]。如果氣體與熱庫(kù)良好地接觸,膨脹和壓縮過(guò)程又進(jìn)行得足夠緩慢,則氣體的溫度近似保持恒定,這時(shí)可以按等溫過(guò)程處理。

在《等溫條件下可壓縮理想氣體的伯努利方程》一文(以下簡(jiǎn)稱《等》文)中基于能量守恒推導(dǎo)了等溫條件下理想氣體的伯努利方程[3],得到

然而,式(1)的正確性是值得商榷的。理由如下:考慮理想氣體在截面漸變的水平管道內(nèi)做準(zhǔn)一維定常流動(dòng),如式(1)成立則管道內(nèi)氣體的流速v將保持恒定。由質(zhì)量流量守恒ρSv=const2可知,在v不變時(shí)氣體密度與管道截面積成反比;在等溫過(guò)程中,氣體的壓強(qiáng)又與密度成正比,顯然管道內(nèi)氣體壓強(qiáng)的縱向分布是不均勻的。設(shè)想在管道內(nèi)取一個(gè)同軸的柱體,由于柱體兩側(cè)壓強(qiáng)不同,柱體內(nèi)的氣體必然存在加速運(yùn)動(dòng),這與流速v恒定矛盾。

2 問題分析

如圖1,考慮做定常流動(dòng)的理想氣體中的一個(gè)截面變化的流管,流管兩側(cè)的氣體壓強(qiáng)、密度、速度和截面面積為p i、ρi、v i和S i(i=1,2)。假設(shè)經(jīng)過(guò)微小時(shí)間間隔Δt后a1a2之間的氣體運(yùn)動(dòng)到b1b2處。由定常流動(dòng)的性質(zhì)可知b1a2之間的氣體狀態(tài)沒有任何變化,氣體亦不可能從流管側(cè)面逸出,因此a1b1之間的體積元ΔV1和a2b2之間的體積元ΔV2中的氣體具有相同的質(zhì)量Δm,在計(jì)算能量變化時(shí)只需考慮體積元ΔV1和ΔV2的能量差?！兜取肺闹姓J(rèn)為根據(jù)能量守恒定律,外力做功應(yīng)等于ΔV1和ΔV2中氣體的機(jī)械能和內(nèi)能增量,即

圖1 定常流動(dòng)的理想氣體截面變化

但式(2)存在兩個(gè)問題:首先,理想氣體的內(nèi)能E是溫度T的單值函數(shù),對(duì)于等溫過(guò)程,氣體的內(nèi)能恒定,并不存在增量;尤其重要的是,在等溫過(guò)程中氣體與外界存在熱交換,利用能量守恒列出等量關(guān)系式時(shí),必須將傳遞的熱量Q考慮在內(nèi),在式(2)中因遺漏這一項(xiàng)而導(dǎo)致了錯(cuò)誤的結(jié)果。

3 方程的推導(dǎo)

下面重新推導(dǎo)等溫條件下理想氣體伯努利方程的表達(dá)式。如前所述,在等溫過(guò)程中理想氣體的內(nèi)能不變,由能量守恒,外力做功加上流動(dòng)過(guò)程中氣體吸收的熱量應(yīng)等于氣體機(jī)械能的增量

由波義耳定律p V=const3可知

利用式(4)可將等溫過(guò)程中氣體吸收的熱量表示為

其中p0為任意常壓強(qiáng)。將式(4)和式(5)代入式(3)并將下標(biāo)相同的項(xiàng)移到等號(hào)同側(cè),可得

兩邊同時(shí)除以Δm,得

由于流管內(nèi)兩個(gè)截面的位置是任意的,等號(hào)兩側(cè)應(yīng)共同等于一個(gè)常量,即

式(8)即等溫條件下理想氣體的伯努利方程。

利用伯努利方程的普遍性形式和等溫過(guò)程的物態(tài)方程也可以導(dǎo)出相同的結(jié)果,簡(jiǎn)述如下。普遍形式的伯努利方程(又稱伯努利積分)為[1]

其中U為流體的位勢(shì),在重力場(chǎng)中U=gh;F=為壓強(qiáng)的函數(shù),具體形式由物態(tài)方程決定。對(duì)于等溫過(guò)程,將波義耳定律表示為p/ρ=const6,則

令const7=-lnp0可得

將U和F的表達(dá)式代入式(9)即得到式(8)。

利用理想氣體狀態(tài)方程

也可將式(8)等價(jià)地表示為

其中m為氣體分子質(zhì)量,k為玻耳茲曼常量。在等溫過(guò)程中T為常量,利用式(12)可以更方便地說(shuō)明流速與壓強(qiáng)的關(guān)系。顯然,即使在水平管道中,氣體的流速也并不恒定,而是和壓強(qiáng)有關(guān),“流速大的地方壓強(qiáng)小”這一規(guī)律仍然成立。還應(yīng)指出的是,式(8)的成立的必要條件是氣體的過(guò)程進(jìn)行足夠緩慢從而和外界有充分的熱交換,這里的緩慢是就氣體的膨脹和壓縮過(guò)程而言,與流速v沒有必然關(guān)系。如果流管的截面積是緩變的,即使流速較大仍然可以按等溫過(guò)程處理。

4 結(jié)語(yǔ)

本文指出了《等》文在推導(dǎo)過(guò)程中存在的問題,并用兩種方法導(dǎo)出了在等溫條件下理想氣體滿足的伯努利方程,結(jié)果在形式上與理想流體的伯努利方程相近,為流線上三項(xiàng)之和守恒。結(jié)果還表明在高度差可忽略時(shí)流速大處壓強(qiáng)小這一性質(zhì)對(duì)恒溫的理想氣體仍然成立。