基于小波分解的水中電爆炸沖擊波波形重建方法研究

謝宇超，周海濱，陶 妍，王晨旭

(中國(guó)船舶工業(yè)系統(tǒng)工程研究院，北京 100094)

水中沖擊波技術(shù)在國(guó)防、工業(yè)、醫(yī)學(xué)、地質(zhì)勘探等領(lǐng)域均有廣泛應(yīng)用，其測(cè)量對(duì)研究沖擊波的產(chǎn)生機(jī)理、沖擊波自身的特性(峰值壓力、脈沖寬度、沖量、能流密度等)以及沖擊波的破壞效應(yīng)等具有重要意義。目前沖擊波的測(cè)量方法可分為直接方法和間接方法[1]。以壓力為測(cè)量信號(hào)的測(cè)量方法可稱為直接方法，以其他物理量為檢測(cè)變量的測(cè)量方法可統(tǒng)稱為間接方法。

間接方法主要有到達(dá)時(shí)刻法[2](time of arrival，TOA)、條紋陰影法[3]、干涉法[4]，光纖方法[5]等。到達(dá)時(shí)刻法、條紋陰影法和干涉法理論上能夠準(zhǔn)確測(cè)量沖擊波峰值壓力，量程非常大，且可以測(cè)量距離波源非常近處的沖擊波，但上述方法無法測(cè)量沖擊波壓力的時(shí)間特性，導(dǎo)致無法對(duì)沖擊波的沖量、能流密度等進(jìn)行計(jì)算。采用光纖方法，可得到不同壓力狀態(tài)下水的折射率，進(jìn)而推算壓力值，該方法靈敏度較低(如FOPH 2000型光纖壓力傳感器，靈敏度僅為2 mV/MPa)，對(duì)于較弱的沖擊波實(shí)測(cè)效果不佳，僅適合超高壓力的測(cè)量。

直接的沖擊波測(cè)量方法多基于探頭式壓力傳感器，測(cè)量方式主要包括壓電式、壓阻式、電容式等[6]。直接方法安裝方便，適合現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用。然而，采用探頭式的沖擊波傳感器測(cè)量水中金屬絲電爆炸產(chǎn)生沖擊波存在諸多缺陷。首先，探頭的機(jī)械強(qiáng)度和防水性能需要滿足；其次，傳感器聲阻抗要與水匹配；最重要的是，由于沖擊波信號(hào)前沿快和脈沖窄的特點(diǎn)，頻率范圍很寬，需要傳感器有較高的頻響特性和很寬的頻帶；另外，傳感器的敏感元件尺寸、電纜長(zhǎng)度等也會(huì)影響到信號(hào)的質(zhì)量。

目前水中自由場(chǎng)沖擊波測(cè)量應(yīng)用最多的是PCB138系列壓力傳感器[7]，但其在水中金屬絲電爆炸產(chǎn)生沖擊波的測(cè)量中，仍存在帶寬不足的限制，高頻響應(yīng)差，導(dǎo)致測(cè)得信號(hào)存在一定畸變。Müller-plate Needle Hydrophone傳感器(Müller-plate傳感器)在匯聚沖擊波的研究中也得到了較多應(yīng)用，具有極高的頻帶寬度(0.3～11 MHz)和極小的敏感元件尺寸(直徑<0.5 mm)，但其下限截止頻率高達(dá)0.3 MHz，沖擊波中的低頻分量無法準(zhǔn)確測(cè)量，因此無法采用該傳感器進(jìn)行沖擊波能量的計(jì)算；此外，其測(cè)得波形的波尾易出現(xiàn)無法預(yù)測(cè)的振蕩，測(cè)量一致性也無法保證。由于目前尚無合適的傳感器能夠?qū)λ薪饘俳z電爆炸產(chǎn)生的沖擊波進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)量，基于現(xiàn)有的穩(wěn)定可靠傳感器，對(duì)測(cè)得波形進(jìn)行重建，使之更加真實(shí)的反應(yīng)信號(hào)應(yīng)有的特征，是非常有意義的。基于PCB138系列壓力傳感器較高的測(cè)量一致性和良好的低頻穩(wěn)定性，本文將對(duì)該傳感器測(cè)得信號(hào)進(jìn)行重建；基于Müller-plate傳感器的良好高頻性能，本文采用該傳感器對(duì)重建的波形進(jìn)行初步的比對(duì)和校準(zhǔn)。

1 沖擊波的形成

1.1 波前的形成

水中脈沖放電產(chǎn)生沖擊波的過程可用“活塞模型”進(jìn)行描述[8-11]。沖擊波陡峭波前的形成過程如圖1所示。假設(shè)活塞從速度為0開始，以加速度a做勻加速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，靠近活塞的位置將形成初始?jí)嚎s波，向未擾動(dòng)的介質(zhì)傳播?；钊\(yùn)動(dòng)初期，速度很小，形成的壓縮波強(qiáng)度很弱，可將此時(shí)的壓縮波看作彈性聲波[12]，波速約等于水中聲速c0(約為1 480 m/s)。假定該過程為絕熱過程，介質(zhì)的絕熱系數(shù)為γ(約為7.15)。由于活塞是加速運(yùn)動(dòng)，則流體質(zhì)點(diǎn)位置會(huì)出現(xiàn)差異，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)速度增大到不再滿足小擾動(dòng)條件時(shí)，即會(huì)出現(xiàn)間斷，從而產(chǎn)生沖擊波。采用特征線分析的方法，可以得到產(chǎn)生間斷的時(shí)刻和位置，如式(1)所示[13]。當(dāng)t>tv時(shí)，沖擊波波前將以相對(duì)未擾動(dòng)介質(zhì)超聲速的速度傳播。

(1)

由于沖擊波波后的擾動(dòng)相對(duì)沖擊波波前的傳播速度D是超聲速的，因此波后的任何擾動(dòng)，包括沖擊波和稀疏波，都將趕上并疊加到前方的沖擊波波前上，形成陡峭的沖擊波波前。

圖1 沖擊波波前的形成過程Fig.1 Formation process of shock wave front

1.2 波尾的形成

沖擊波波陣面形成以后，前沿壓力大，以超聲速傳播，沖擊波尾部壓力接近介質(zhì)靜壓，其傳播速度接近聲速，因此沖擊波不斷被拉寬，由于被擾動(dòng)的介質(zhì)質(zhì)量逐漸增大，因此單位質(zhì)量介質(zhì)的能量逐漸減小，沖擊波壓力逐漸減弱。

假設(shè)活塞初始速度為vp，做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在t=tR時(shí)刻，活塞停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)活塞運(yùn)動(dòng)距離為xp=vptR，沖擊波波尾的形成過程如式(2)所示。根據(jù)文獻(xiàn)[14]的研究結(jié)果，波前的位移xS可由式(2)表示，其中γ為介質(zhì)絕熱系數(shù)，tl為稀疏波追該上波前的時(shí)間。

(2)

當(dāng)時(shí)間t足夠大時(shí)，xS滿足下式

xS=xp+c0{(t-tR)+4k((tl-tR)(t-tR))1/2-

4k2(tl-tR)}

(3)

稀疏波的波尾的位移xT可用下式表示

xT=xp+c0(t-tR)

(4)

則沖擊波的脈沖寬度w(t)可表示為

w(t)=xS-xT=c0{4k((tl-tR)(t-tR))1/2-

4k2(tl-tR)}

(5)

可見隨著傳播距離時(shí)間增長(zhǎng)，沖擊波波尾的持續(xù)時(shí)間是逐漸變大的，沖擊波波尾逐漸展寬，當(dāng)時(shí)間足t夠大時(shí)，沖擊波脈沖寬度將于(t-tR)1/2成正比。

沖擊波壓力在某點(diǎn)上隨時(shí)間的衰減特性可由式(6)表示，p0為未擾動(dòng)水的靜壓。

(6)

式(6)給出了做勻速直線運(yùn)動(dòng)的活塞突然靜止后沖擊波波尾壓力隨時(shí)間的變化規(guī)律，實(shí)際這樣的條件是無法實(shí)現(xiàn)的。對(duì)于本文研究的水中脈沖放電產(chǎn)生沖擊波的物理過程而言，如圖2(c)中所示，放電通道的運(yùn)動(dòng)為先加速后減速，最終也沒有完全靜止，因此，采用式(6)反映實(shí)際中沖擊波波尾的壓力衰減誤差可能存在較大誤差。

(a) t=tR(c) t=tl

(b) tR

2 沖擊波波形重建方法

2.1 沖擊波衰減模型

對(duì)于水下爆炸過程，很多學(xué)者根據(jù)實(shí)測(cè)波形的特征，給出了沖擊波壓力隨時(shí)間衰減的經(jīng)驗(yàn)公式[15]，p(t)為沖擊波壓力；pm為沖擊波峰值壓力；tp為正壓作用時(shí)間；τ為衰減系數(shù)。

(7)

2.2 波形重建方法

壓電式的沖擊波壓力傳感器在低頻段一般都具備平坦的頻率響應(yīng)曲線，在高頻段線性度變差。PCB138傳感器的諧振頻率為>1 MHz，保守估計(jì)，該傳感器頻率小于100 kHz的頻段具有平坦的頻響特性[16]。若傳感器在低頻段頻率響應(yīng)曲線平坦，則在該頻段，傳感器輸出信號(hào)是對(duì)真實(shí)信號(hào)的線性反映。若頻響曲線未知或不平坦，則傳感器輸出信號(hào)會(huì)失真，基于失真波形重建的曲線也難言準(zhǔn)確。

帕塞瓦爾(Parseval)理論在數(shù)學(xué)上描述為：函數(shù)平方和等于其傅里葉式的平方和，物理上描述為：信號(hào)所含有的能量恒等于此信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量能量之和，即信號(hào)在時(shí)域中的能量和在頻域中的能量是一致的。

基于此，利用快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)和多尺度小波分解等頻域分析手段，可對(duì)波形進(jìn)行恢復(fù)。波形重建標(biāo)準(zhǔn)如下：

(1) 在頻響曲線平坦的頻段內(nèi)，對(duì)于某特定頻率f0，重建波形在此處的頻率響應(yīng)幅值應(yīng)與傳感器實(shí)測(cè)信號(hào)的頻率響應(yīng)幅值相等；

(2) 在某頻段內(nèi)，重建信號(hào)的頻域能量應(yīng)與傳感器實(shí)測(cè)信號(hào)的頻域能量相等。

以上重建標(biāo)準(zhǔn)可用式(8)表示。

(8)

理論上，根據(jù)式(8)，Prec應(yīng)當(dāng)嚴(yán)格等于Pm，Erec應(yīng)嚴(yán)格等于Em，但實(shí)際計(jì)算中存在多種誤差，導(dǎo)致該關(guān)系式并非嚴(yán)格成立。例如，記錄信號(hào)時(shí)采樣長(zhǎng)度是有限的，因此在在傅里葉變換時(shí)會(huì)出現(xiàn)頻譜泄露問題；沖擊波傳感器測(cè)量的信號(hào)也并非完全精確，因此若采用式(8)進(jìn)行波形重建可能無法得到理想的波形。因此，本文提出了基于相對(duì)誤差控制的波形重建標(biāo)準(zhǔn)，分別計(jì)算了頻域下的幅值相對(duì)誤差和能量相對(duì)誤差，當(dāng)二者均小于設(shè)定的誤差上限時(shí)，所得波形即為目標(biāo)重建波形，新的重建標(biāo)準(zhǔn)如下：

(9)

波形重建標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)參數(shù)如表1所示，表1中幅值誤差上限和能量誤差上限的確定主要依據(jù)大量的試驗(yàn)結(jié)果分析。采用本文提出的重建方法，若誤差上限值設(shè)置過大，會(huì)得到多組相近的重建結(jié)果，在承認(rèn)測(cè)量誤差和重建誤差的前提下，可認(rèn)為所有重建波形均是正確的。本文基于大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和重建波形分析，提出的誤差上限值，盡可能的提高了重建精度。

表1 波形重建標(biāo)準(zhǔn)選取的參數(shù)

2.3 波形重建過程

沖擊波壓力波形重建流程如圖3所示，具體過程如下：

(1) 根據(jù)水中脈沖放電產(chǎn)生沖擊波的特點(diǎn)，給出峰值壓力Ppeak和衰減時(shí)間常數(shù)τ矩陣，以上兩參數(shù)的范圍應(yīng)遠(yuǎn)大于實(shí)測(cè)信號(hào)；

(2) 將峰值壓力Ppeak和衰減時(shí)間常數(shù)τ兩參數(shù)進(jìn)行組合，得出不同的沖擊波波形，并對(duì)其進(jìn)行傅里葉變換和多尺度小波分解，根據(jù)式(9)，分別計(jì)算幅值誤差ErrorP和能量誤差ErrorE；

(3) 根據(jù)預(yù)設(shè)的幅值和能量誤差上限閾值，提取重建的沖擊波波形的參數(shù)，進(jìn)而得到重建的沖擊波波形。

圖3 波形重建過程Fig.3 Waveform reconstruction process

3 重建方法驗(yàn)證

3.1 沖擊波源

基于水中金屬絲電爆炸的沖擊波產(chǎn)生與測(cè)量系統(tǒng)如圖4所示。脈沖電容器C通過同軸場(chǎng)畸變觸發(fā)開關(guān)S，經(jīng)高壓電纜向負(fù)載放電。Rc和Lc分別為回路電阻和回路電感。放電電流和負(fù)載電壓分別由羅氏線圈和電容分壓器測(cè)量；水中沖擊波采用PCB138A11壓力傳感器和Müller-plate傳感器測(cè)量，測(cè)點(diǎn)位置距離金屬絲距離為300 mm，入水深度超過300 mm，消除了水面反射波的影響。

圖4 沖擊波產(chǎn)生與測(cè)量系統(tǒng)Fig.4 Shock wave generation and measurement system

電容器充電電壓為-19.8 kV，金屬絲為直徑280 μm、長(zhǎng)50 mm銅絲時(shí)，典型放電電流和負(fù)載阻性電壓如圖5所示。

3.2 典型重建結(jié)果

在之前的研究中，提出了基于快速傅里葉變換(fast Fourier transform，F(xiàn)FT)的頻域能量計(jì)算方法，但由于該方法頻率分辨率恒定為采樣長(zhǎng)度的倒數(shù)，低頻段的頻率分辨率很低，導(dǎo)致波形重建結(jié)果容易出現(xiàn)誤差。因此，本文提出了基于多尺度小波分解的頻域能量計(jì)算方法，使得計(jì)算誤差大大減小，波形重建的穩(wěn)定性大大提高，且對(duì)所分析信號(hào)截取長(zhǎng)度不敏感，能夠使該方法真正應(yīng)用于實(shí)際分析當(dāng)中。

圖5 典型回路電流與負(fù)載阻性電壓波形Fig.5 Typical waveforms of current and resistive voltage

圖6給出了典型的沖擊波波形重建結(jié)果，通過對(duì)比PCB138A11傳感器和Müller-plate傳感器測(cè)得信號(hào)可知，PCB138A11傳感器所得信號(hào)脈沖寬度受帶寬的限制，波形出現(xiàn)了明顯畸變，脈沖寬度被展寬了，前沿上升時(shí)間顯著偏大，峰值壓力值也小于Müller-plate傳感器測(cè)得的結(jié)果，經(jīng)過重建后的沖擊波波形更加貼近真實(shí)信號(hào)?；贔FT算法，在滿足誤差要求時(shí)，得到了多組重建波形，且相互之間差異明顯，表明該算法穩(wěn)定性較差；基于多尺度小波分解算法得到的重建波形，滿足誤差要求時(shí)，只有唯一解，且波形的峰值壓力、脈沖寬度與Müller-plate傳感器測(cè)得信號(hào)吻合度很高，波形恢復(fù)效果更好。

圖6 典型沖擊波波形重建結(jié)果Fig.6 Typical reconstruction waveforms of shock wave signal

3.3 重建結(jié)果的誤差分析

對(duì)不同放電參數(shù)下水中金屬絲電爆炸產(chǎn)生的多組沖擊波壓力波形進(jìn)行截取，并進(jìn)行波形重建，對(duì)實(shí)測(cè)與重建波形的峰值壓力和能量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，根據(jù)式(10)和(11)計(jì)算沖擊波能量和峰值壓力的相對(duì)偏差，所得結(jié)果如圖7所示。

ErrorEsw=(Erec-ESW)/ESW×100%

(10)

ErrorPpeak=(prec-pSW)/pSW×100%

(11)

式中:ErrorPpeak為重建波形峰值壓力的相對(duì)偏差，ErrorEsw重建波形能量的相對(duì)偏差；Erec為重建信號(hào)的能量，Esw為實(shí)測(cè)信號(hào)的能量，能量的計(jì)算方法參考式(8)；prec為重建信號(hào)的峰值壓力，psw為實(shí)測(cè)信號(hào)的峰值壓力。

分析圖7(a)，重建信號(hào)的峰值壓力較實(shí)測(cè)信號(hào)總體偏大，相對(duì)誤差的平均偏差為2.35%，標(biāo)準(zhǔn)差為1.6%，重建信號(hào)具有較好的線性度。由于受到有限帶寬的限制，PCB138A11傳感器測(cè)得沖擊波的峰值壓力一定程度上被削弱了。圖7(b)所示為實(shí)測(cè)信號(hào)與重建信號(hào)的能量，與峰值壓力的規(guī)律有所不同，重建信號(hào)的能量總體較實(shí)測(cè)信號(hào)偏小，且相對(duì)偏差比較大，平均值可達(dá)17.2%，標(biāo)準(zhǔn)差為4.5%。根據(jù)圖6出的典型實(shí)測(cè)波形和重建波形，實(shí)測(cè)波形在波尾上疊加了一定的振蕩信號(hào)，由于產(chǎn)生沖擊波的金屬絲周圍存在金屬柱體或其他結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致沖擊波發(fā)生了未知的反射，產(chǎn)生了額外的壓力波疊加。根據(jù)式(8)和(9)給出的重建標(biāo)準(zhǔn)，僅能保證在[fl,fh]頻段內(nèi)實(shí)測(cè)信號(hào)與重建信號(hào)能量的相等，在此頻段之外的能量并不納入計(jì)算范圍，由此導(dǎo)致了實(shí)測(cè)信號(hào)的能量大于重建信號(hào)。重建信號(hào)能夠更加準(zhǔn)確的反應(yīng)沖擊波的特征，后文關(guān)于沖擊波能量和峰值壓力的分析均基于重建信號(hào)。

(a) 沖擊波壓力誤差分析

(b) 沖擊波能量誤差分析圖7 重建信號(hào)的偏差分析Fig.7 Deviation analysis of reconstruction signal

4 結(jié) 論

針對(duì)水中金屬絲電爆炸產(chǎn)生的沖擊波前沿陡、脈寬窄、峰值壓力高，采用探頭式壓力傳感器對(duì)其進(jìn)行精確測(cè)量困難的問題，給出了一種沖擊波壓力波形重建方法。分析了沖擊波波頭、波尾的形成過程和波形特征；依據(jù)帕塞瓦爾時(shí)頻域能量守恒定律，采用多尺度小波分解方法，以相對(duì)誤差控制為重建結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)PCB138A11實(shí)測(cè)沖擊波信號(hào)進(jìn)行了重構(gòu)，并與Müller-plate傳感器測(cè)得信號(hào)進(jìn)行了比對(duì)。結(jié)果表明，經(jīng)過重建后的沖擊波波形更加貼近真實(shí)信號(hào)。基于多尺度小波分解的波形重建算法，較基于FFT的重建算法，穩(wěn)定性和可靠性更好。該方法也為其他類型信號(hào)的重建方法提供了思路。

提出了基于帕塞瓦爾時(shí)頻域能量守恒定律的沖擊波重建方法，利用傅里葉變換和小波分解的方法，以峰值壓力和能量誤差為控制手段，實(shí)現(xiàn)了畸變的實(shí)測(cè)沖擊波波形的重建，給出了典型的波形重建結(jié)果，以及不同沖擊波波形重建后的峰值壓力和能量誤差。結(jié)果表明，重建后沖擊波峰值壓力偏差的平均值為2.35%，標(biāo)準(zhǔn)差為1.6%；沖擊波能量偏差的平均值約為17.2%，標(biāo)準(zhǔn)差為4.5%。重建波形的能量顯著小于實(shí)測(cè)波形，這是由于實(shí)測(cè)波形發(fā)生了畸變，波尾振蕩嚴(yán)重，使計(jì)算能量偏大。重建信號(hào)能夠更加準(zhǔn)確的反應(yīng)沖擊波的特征。