含焊接殘余應(yīng)力薄圓板結(jié)構(gòu)自由振動近似解

陳爐云，易 宏

(上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，海洋智能裝備與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

圓板結(jié)構(gòu)作為結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)部件，廣泛應(yīng)用于航空航天、船舶工程等工程，其振動問題一直受到人們關(guān)注。Wu等[1-2]推導(dǎo)徑向變厚度圓板結(jié)構(gòu)自由振動方程，并結(jié)合特定邊界條件進(jìn)行求解。Yalcin等[3]采用微分變換法推導(dǎo)圓板結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程，對比邊界條件對固有頻率影響。Bauer等[4]探討組合邊界(固支、簡支和自由邊界的組合)對薄圓板結(jié)構(gòu)固有頻率影響。侯朝勝等[5]基于達(dá)芬方程對比阻尼、外激振力、內(nèi)外半徑比及邊界條件對薄圓板結(jié)構(gòu)振動的影響。郝君宇等[6]計(jì)算空氣和水對薄圓板結(jié)構(gòu)固有頻率影響。在結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)分析中，解析法具有理論清晰、直觀的特點(diǎn)，但求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)的解析解有一定難度，而變分法求解具有一定優(yōu)勢。鮑四元等[7]基于Rayleigh-Ritz法獲得多種邊界條件下薄板的頻率與振型方程。齊紅元等[8]采用Rayleigh-Ritz法建立含集中質(zhì)量載荷薄板振動能量方程及模態(tài)方程。石先杰等[9]將板結(jié)構(gòu)的橫向位移展開為三角級數(shù)，采用Rayleigh-Ritz法解決振動特征值問題。李秋紅等[10-11]基于Rayleigh-Ritz法建立圓板振動方程，分析圓板結(jié)構(gòu)頻率和振型特性。

結(jié)構(gòu)在承受外載荷前常存在著預(yù)應(yīng)力。Chen等[12]在結(jié)構(gòu)應(yīng)變方程加入預(yù)應(yīng)力項(xiàng)，建立非線性方程組并獲得解析解，分析預(yù)應(yīng)力對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響。Yang等[13]基于應(yīng)變-應(yīng)力協(xié)調(diào)方程推導(dǎo)含預(yù)應(yīng)力薄板結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程，對比預(yù)應(yīng)力幅值及分布區(qū)域?qū)Y(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)的影響。陳爐云等[14]基于變分原理討論局部分布預(yù)應(yīng)力對圓柱殼結(jié)構(gòu)聲輻射功率及聲指向性的影響。在焊接結(jié)構(gòu)中，焊縫周圍存在采用常規(guī)方法難以完全消除的焊接殘余應(yīng)力，是典型的非均勻分布預(yù)應(yīng)力。羌凱等[15]對比焊接殘余應(yīng)力幅值、焊縫類型及應(yīng)力方向?qū)A柱殼結(jié)構(gòu)固有頻率的影響。高永毅等[16]分析焊接殘余應(yīng)力對矩形薄板固有頻率的影響。陳章蘭等[17]推導(dǎo)焊接殘余應(yīng)力影響剛度矩陣，表明焊接殘余應(yīng)力將改變結(jié)構(gòu)固有頻率。對于含焊接殘余應(yīng)力的圓板結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)問題，目前研究成果較少。

文中針對含焊接殘余應(yīng)力薄圓板結(jié)構(gòu)自由振動問題，建立含預(yù)應(yīng)力薄圓板結(jié)構(gòu)振動微分方程?；赗ayleigh-Ritz法構(gòu)造薄圓板結(jié)構(gòu)能量泛函，實(shí)現(xiàn)對傅里葉級數(shù)中未知系數(shù)的求解。

1 薄圓板預(yù)應(yīng)力模型

1.1 預(yù)應(yīng)力概述

等厚度薄圓板半徑為R、厚度為h，并滿足h/R?1。以薄圓板結(jié)構(gòu)中性面中心為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)系Orθz，如圖1所示。

圖1 薄圓板坐標(biāo)系Fig.1 Schematic of the system for thin circular plate

圖1中，r和θ分別為極坐標(biāo)系下徑向方向和周向方向，z方向?yàn)榘搴穹较?。D1和D2為預(yù)應(yīng)力分布區(qū)。在結(jié)構(gòu)振動過程中，結(jié)構(gòu)應(yīng)力σ包含動應(yīng)力和預(yù)應(yīng)力兩部分，并假設(shè)滿足線性疊加

σ=σ0+σf

(1)

式中:σ=[σr,σθ,σz,τrθ,τrz,τθz]T為結(jié)構(gòu)應(yīng)力;σf=[σf,r,σf,θ,σf,z,τf,rθ,τf,rz,τf,θz]T為動載荷應(yīng)力;σ0=[σ0,r,σ0,θ,σ0,z,τ0,rθ,τ0,rz,τ0,θz]T為預(yù)應(yīng)力。基于Kicrhhoff薄板理論，忽略剪切預(yù)應(yīng)力，預(yù)應(yīng)力寫成σ0=[σ0,r,σ0,θ,0,0,0,0]T，σ0,r和σ0,θ分別為徑向預(yù)應(yīng)力和周向預(yù)應(yīng)力。

1.2 預(yù)應(yīng)力分布模型

設(shè)徑向預(yù)應(yīng)力σ0,r和周向預(yù)應(yīng)力σ0,θ是薄圓板矢徑r的函數(shù)。根據(jù)薄圓板結(jié)構(gòu)位移函數(shù)，將徑向預(yù)應(yīng)力和環(huán)向預(yù)應(yīng)力用三角函數(shù)級數(shù)展開

(2)

式中:σr,g(g=1,2,…,G)和σθ,j(j=1,2,…,J)分別為徑向預(yù)應(yīng)力幅值和環(huán)向預(yù)應(yīng)力幅值;G和J分別為對應(yīng)的擬合級數(shù)截?cái)囗?xiàng)數(shù)。

2 含預(yù)應(yīng)力薄圓板結(jié)構(gòu)運(yùn)動方程

2.1 微元體受力分析

在薄圓板結(jié)構(gòu)中截取大小為dr和rdθ的微元體，微元體上剪力和彎矩如圖2所示。

圖2 振動引起的截面力和彎矩Fig.2 Section force and moment caused by vibration

微元體上力和力矩由兩部分組成：振動位移引起的力和力矩；振動位移與預(yù)應(yīng)力之間的耦合力。大小可寫成

(3)

2.2 截面力分析

如結(jié)構(gòu)在彈性范圍內(nèi)作小振幅振動，則認(rèn)為預(yù)應(yīng)力的大小和方向在振動過程中保持不變。預(yù)應(yīng)力σ0沿微元體的r、θ方向形成單位長度截面力N0,r和N0,θ。當(dāng)薄圓板處于平衡位置時(shí)，截面力N0,r和N0,θ平行于r軸和θ軸，且在其它方向無分量

(4)

2.3 耦合力分析

圖3 微元體轉(zhuǎn)角Fig.3 Element angle

由于微元體存在轉(zhuǎn)角，截面力N0,r和N0,θ在z方向存在分量ΔN0,r,z和ΔN0,θ,z

(5)

式中，ΔN0,r,z和ΔN0,θ,z是預(yù)應(yīng)力與振動位移的耦合力。預(yù)應(yīng)力始終與微元體截面保持垂直，在r和θ方向均無耦合力，不產(chǎn)生新的耦合彎矩和扭矩。

2.4 平衡方程

微元體在r和θ方向上滿足力平衡條件。在z方向，除剪力Qr和Qθ外，存在預(yù)應(yīng)力與振動位移間的耦合力ΔN0,r,z和ΔN0,θ,z，如圖4所示。

圖4 微元體耦合力Fig.4 Element body coupling force

基于薄板小撓度彎曲理論，忽略r和θ方向上體積力，在r和θ方向力矩平衡方程為

(6)

在z方向，力平衡方程可寫成

(7)

式中:ρ為板材料密度;h為板厚。

聯(lián)立式(4)和式(5)，得如下方程

2.5 運(yùn)動方程

將式(5)、式(6)代入式(8)，可得含預(yù)應(yīng)力薄圓板結(jié)構(gòu)振動微分方程

(9)

(10)

3 基于Rayleigh-Ritz的振動近似解

建立薄圓板結(jié)構(gòu)能量方程，通過對未知級數(shù)系數(shù)求極值，獲得結(jié)構(gòu)固有頻率和模態(tài)振型。

3.1 位移試函數(shù)

對于各向同性材料薄圓板結(jié)構(gòu)，設(shè)預(yù)應(yīng)力和振動位移為軸對稱，幅值僅沿r方向變化且沿θ方向不變。薄圓板結(jié)構(gòu)位移方程w(r,θ,t)滿足

(11)

式中:wn(r,θ,t)為結(jié)構(gòu)振動位移試函數(shù);Cn為傅里葉級數(shù)系數(shù);η為截?cái)囗?xiàng)數(shù)。

(12)

式中:ω為圓頻率;α=π/R，R為薄圓板半徑。

3.2 含預(yù)應(yīng)力薄圓板結(jié)構(gòu)動能和變形能

基于Lagrange理論，含預(yù)應(yīng)力圓板結(jié)構(gòu)能量泛函

L=U-T

(13)

式中:U為結(jié)構(gòu)應(yīng)變能;T為結(jié)構(gòu)動能。其中U=U1+U2，U1為結(jié)動力撓度所產(chǎn)生的應(yīng)變能，U2為預(yù)應(yīng)力引起的附加應(yīng)變能。

軸對稱彎曲薄圓板結(jié)構(gòu)動能和變形能分別為

(14)

(15)

(16)

式中，w(r,θ,t)為薄圓板結(jié)構(gòu)位移試函數(shù)。

將式(12)代入式(14)、(15)和(16)中，得到含預(yù)應(yīng)力薄圓板結(jié)構(gòu)能量泛函方程

L=U-T=

(17)

式中，截?cái)囗?xiàng)數(shù)G由式(2)確定。

3.3 Lagrange 泛函方程

對傅里葉級數(shù)求極值，可得

(18)

式(18)將自由振動問題轉(zhuǎn)化成求特征值問題，N為截?cái)囗?xiàng)數(shù)。對于由系數(shù)Cn組成的線性方程組，其矩陣表達(dá)式為

(K-ω2M)C=0

(19)

式中：K為剛度矩陣，M為質(zhì)量矩陣，C為傅里葉級數(shù)系數(shù)向量。求解式(19)可得薄圓板固有頻率和模態(tài)振型。

4 數(shù)值計(jì)算

4.1 模型概述

以周邊簡支薄圓板結(jié)構(gòu)為例，對比焊接殘余應(yīng)力分布形式對振動特性的影響，如圖5所示。

薄圓板結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：圓板半徑R=250 mm、板厚h=6 mm。在圓板R=200 mm處存在一條環(huán)向焊縫，焊接應(yīng)力區(qū)寬度約為40 mm。焊接殘余應(yīng)力具有自平衡性：垂直焊縫的徑向焊接殘余應(yīng)力σ0,r和沿焊縫的環(huán)向焊接殘余應(yīng)力σ0,θ。

結(jié)構(gòu)材料為鋼，力學(xué)特性如下：彈性模量E=2.1×1011N/m3、密度ρ=7 850 kg/m3、泊松比μ=0.3。

圖5 焊接殘余應(yīng)力分布Fig.5 Distribution of welding residual stress

4.2 焊接殘余應(yīng)力分布模型

對于焊接殘余應(yīng)力，除實(shí)驗(yàn)測試外，可用熱彈塑性有限元軟件Marc對焊接過程進(jìn)行模擬計(jì)算。對焊接殘余應(yīng)力分布作如下假設(shè)：忽略焊接殘余應(yīng)力在板厚方向的變化；在同一半徑處焊接殘余應(yīng)力沿環(huán)向方向保持不變。

對比3種不同焊接工藝下的焊接殘余應(yīng)力，環(huán)向焊接殘余應(yīng)力最大值約為 150 MPa、徑向焊接殘余應(yīng)力最大值約為 250 MPa。圖6所示為三種工況下的環(huán)向焊接殘余應(yīng)力和徑向焊接殘余應(yīng)力的擬合圖，擬合函數(shù)為三角函數(shù)。圖中，正值為拉應(yīng)力，負(fù)值為壓應(yīng)力。

(a) 環(huán)向焊接殘余應(yīng)力(b) 徑向焊接殘余應(yīng)力圖6 薄圓板焊接殘余應(yīng)力Fig.6 Welding residual stress of circular plate

4.3 固有頻率對比

將擬合后焊接殘余應(yīng)力代入式(17)中，應(yīng)用MATLAB R2013進(jìn)行結(jié)構(gòu)固有頻率計(jì)算。定義截?cái)囗?xiàng)數(shù)N取值為20，當(dāng)N大于20時(shí)薄圓板結(jié)構(gòu)固有頻率趨于穩(wěn)定，認(rèn)為已達(dá)到收斂。

結(jié)構(gòu)前十階的固有頻率如表1所示。

表1 焊接殘余應(yīng)力對固有頻率影響

由表1可知，焊接殘余應(yīng)力使薄圓板結(jié)構(gòu)固有頻率值發(fā)生改變：① 總體來看，焊接殘余應(yīng)力使結(jié)構(gòu)固有頻率降低；② 從固有頻率變化趨勢來看，第1階影響最明顯，隨著階次增加焊接殘余應(yīng)力的影響相對變??；③ 在同一階次，隨著焊接殘余應(yīng)力的增加，對固有頻率的影響增加。由于焊接殘余應(yīng)力存在，在徑向方向形成壓力，使該區(qū)域剛度變小，使結(jié)構(gòu)總體剛度降低。

4.4 模態(tài)計(jì)算

分析不同分布形式的焊接殘余應(yīng)力對薄圓板結(jié)構(gòu)模態(tài)的影響，并對典型階次進(jìn)行對比。圖7所示分別為第1～6階的結(jié)構(gòu)振型對比。從左到右各圖依次為無焊接殘余應(yīng)力、工況1、工況2和工況3下的結(jié)構(gòu)振型。

對比圖7可知，焊接殘余應(yīng)力使薄圓板結(jié)構(gòu)振型改變:① 在第1階振型中，焊接殘余應(yīng)力使振型不再具有軸對稱性；② 在第1階和第6階振型中，從中心往外的振型不再連續(xù)，在焊接殘余應(yīng)力分布區(qū)出現(xiàn)振型突變；③ 在第2階到第5階振型中，盡管薄圓板中心距離焊縫線比較遠(yuǎn)，但該處出現(xiàn)振型突變；④ 在第4階和第5階振型中，在焊縫區(qū)域的振型突起出現(xiàn)周期性的交替；⑤ 隨著焊接殘余應(yīng)力幅值的增加，對結(jié)構(gòu)局部模態(tài)的影響增加，振型變化更為明顯。振型改變的原因是焊接殘余應(yīng)力改變了結(jié)構(gòu)局部剛度，使薄圓板結(jié)構(gòu)振型和頻率發(fā)生變化。

第1階振型

第2階振型

第3階振型

第4階振型

第5階振型

第6階振型圖7 薄圓板振型示意圖Fig.7 Mode shapes of the circular thin plate

5 結(jié) 論

文章以薄圓板結(jié)構(gòu)為研究對象，推導(dǎo)含預(yù)應(yīng)力薄圓板結(jié)構(gòu)的振動方程?；赗ayleigh-Ritz 法，應(yīng)用能量法將薄圓板結(jié)構(gòu)自由振動問題轉(zhuǎn)化為求特征值的問題，獲得自由振動近似解。計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了焊接殘余應(yīng)力對結(jié)構(gòu)的影響程度，為分析焊接殘余應(yīng)力對結(jié)構(gòu)聲振特性影響提供了參考，拓展了預(yù)應(yīng)力研究領(lǐng)域。

附錄A