基于分圓類構造卷積壓縮感知測量矩陣

李玉博 張景景 韓承桓 彭秀平

(燕山大學信息科學與工程學院 秦皇島 066004)

1 引言

壓縮感知[1,2]是近些年來興起的一種新的信號處理技術，可以應用在壓縮成像和遠場診斷等眾多領域[3,4]。該理論采用非自適應線性投影來保持原始信號的結構，然后以遠低于奈奎斯特頻率的采樣頻率對信號進行采樣，最后通過數(shù)值優(yōu)化問題準確重構出原始信號。測量矩陣設計是壓縮感知理論的核心問題之一，測量矩陣分為隨機測量矩陣和確定性測量矩陣。已有研究表明，隨機測量矩陣是一類性能優(yōu)良的測量矩陣，可以很大概率地恢復信號。然而隨機測量矩陣在實際應用時所需存儲量巨大，硬件難以實現(xiàn)，并且隨機測量矩陣不能保證每次生成的矩陣都具備較好的性能。為解決這些實際問題，學者提出了確定性測量矩陣。目前國內外學者提出了許多構造確定性測量矩陣的方法，如文獻[5]基于有限域得到一個基矩陣，通過嵌入矩陣得到一類稀疏測量矩陣；文獻[6]基于Kasami碼提出一種構造測量矩陣的方法；文獻[7]利用有限域多項式的相關性構造確定性測量矩陣；文獻[8]使用平衡不完全塊設計測量矩陣。然而這些確定性測量矩陣維度較為固定，構造具有更加靈活維度的測量矩陣成為研究的難題。

卷積壓縮感知是近年來提出的一類新型壓縮感知技術。卷積壓縮感知測量矩陣由于是從一個確定性測量矩陣中隨機抽取若干行構成的，因此具有矩陣維度靈活的優(yōu)點，這類矩陣也稱為半確定性測量矩陣。目前卷積壓縮感知測量矩陣的相關成果并不多，文獻[9]通過抽取Legendre序列提出一種卷積壓縮感知測量矩陣的構造方法；文獻[10]提出一種基于抽樣Sidelnikov序列的卷積壓縮感知測量矩陣構造方法；Li等人[11]通過擴展Frank-Zadoff-Chu(FZC)序列以及擴展Golay序列構造卷積壓縮感知測量矩陣，但其相關性參數(shù)較大。為解決這一問題，進一步優(yōu)化卷積壓縮感知測量矩陣，本文將分圓類理論引入壓縮感知測量矩陣設計中，構造的測量矩陣相關性比文獻[11]低。仿真實驗表明本文得到的矩陣不僅可以用于重構1維信號，而且可以用于重構2維圖像以及信道估計。

2 基本概念

2.1 卷積壓縮感知

自然界存在的信號一般不是絕對稀疏的，信號x通過變換域成為具有稀疏性的信號，壓縮感知中信號的壓縮采樣過程可以表述為

x ∈RN是長度為 N 的原始信號， Φ 是大小為M ×N的測量矩陣， Ψ是大小為N ×N 的稀疏基，y ∈RM為壓縮采樣后得到的信號。

卷積壓縮感知的核心思想是對信號進行卷積和濾波，然后對輸出的信號進行2次采樣，最終完成信息的獲取。Tropp[12]最早提出了卷積壓縮感知的思想。卷積壓縮感知理論經(jīng)過眾多研究者的研究與實驗證明，提出了一種使用N-tap隨機濾波的循環(huán)卷積理論[13]，可以用式(2)表示部分循環(huán)矩陣

R?是 一個采樣算子，N ×N 的方陣 A通 過a=[a0a1····aN?1]T循環(huán)移位構成。矩陣 A可以利用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)進行對角化，如式(3)所示

一般來說，對于傅里葉光學以及編碼孔徑成像等領域要求其測量矩陣是全實數(shù)矩陣[11]。為了使矩陣 A 是一個全實數(shù)矩陣，對角線序列σ 需要滿足共軛對稱性條件[14]：σk=?k, 1 ≤k ≤N ?1, “( ·)H”表示序列的共軛對稱性；同時為保證測量矩陣的良好性質，序列a 需 要滿足條件：

2.2 限制等距性

在壓縮感知理論中，限制等距性(Restricted Isometry Property, RIP)[15]是判斷測量矩陣性能優(yōu)劣的重要指標。為了重構稀疏信號，Candes等人[15]證明了測量矩陣 Φ必須滿足限制等距性條件。

定義1對于給定的測量矩陣 Φ 和 所有k 稀疏信號x，找到最小的常數(shù)δk使之滿足如果所有 k 階稀疏信號x 均滿足式(5)的最小常數(shù)δk，那么稱測量矩陣 Φ 具備k 階RIP性質，稱δk為k 階限制等距常量。

定義2[11]對于 M ×N 的矩陣 A , Ai,j(0 ≤i ≤M ?1, 0 ≤j ≤N ?1 ) 代表矩陣 A 的第i 行和第j列元素。對于N ×N 的矩陣 A, A的最大相關性參數(shù)μ (A)定義為

文獻[16]推導出RIP性質與相關性之間的關系為：δk≤(k ?1)μ(A)，因此可知當矩陣相關性足夠小時，矩陣滿足限制等距常數(shù)的RIP性質。一般來說，測定一個測量矩陣的RIP特性是非常困難的，測量矩陣通常采用容易計算的相關性作為理論支撐?？梢酝ㄟ^構造具有較低相關性的測量矩陣進而保證其良好的RIP，因此相關性成為確定性測量矩陣優(yōu)劣的主要評判標準。

2.3 分圓類

定義3[17]設 p =ef +1, p 為奇素數(shù)，e 為正整數(shù)， Fp為p 階有限域，F(xiàn)p?=Fp{0}。 設α 為Fp的本原元，則={α0,α1,····,αp?2}。定義子集

相應的 e階分圓數(shù)定義為( λ,j) = |(Dλ+ 1)∩Dj|,0 ≤λ,j ≤e ?1。

3 卷積壓縮感知測量矩陣的構造

本節(jié)利用分圓類構造卷積壓縮感知測量矩陣，所得到的測量矩陣元素均為實數(shù)，適用于2維圖像的重構。與文獻[10]和文獻[11]的方法相比，本節(jié)得到的矩陣具有更優(yōu)的RIP特性。仿真實驗表明，新矩陣可以應用于重構1維信號、2維圖像以及信道估計。

3.1 構造方法

3.1.1 基于2階分圓類的測量矩陣

設p=2f +1, f為偶數(shù)?；?階分圓類構造序列s=[s0s1···sp?1], st(0 ≤t ≤p ?1)為

定理1構造的序列s 滿足共軛對稱性和低相關性，即(1) st=sp?t, 1 ≤t ≤p ?1 ; (2) ||≤1+,表示序列 s 的p 點傅里葉逆變換。

證明相關性： p =2f+1=4r+1 ≡1mod4, 2階分圓數(shù)為

s=[s0s1···sN?1], N =p=2f +1 , s? 表示序列s 的N點IFFT，即

(1) 當k =0時，有

(2) 當k ≠0時 ，令st=1?2bt， 即st=(?1)bt，則有

根據(jù)定理1和定義2可以得到定理2。

定理2將序列s 作為對角向量σ ，按照式(4)得到向量 a， 對a 進 行循環(huán)移位得到矩陣 A ， 則 A的相

3.1.2 基于e (e>2)階分圓類的測量矩陣

設p=ef +1, e和 f 均為偶數(shù)，p 為奇素數(shù)?；趀階 分 圓 類 構 造 序 列s =[s0s1···sp?1] , st(0 ≤t ≤p ?1)為

定理3構造的序列s 滿足共軛對稱性和低相關性，即：(1)st=sp?t, 1 ≤t ≤p ?1; (2)| s?t|≤2 , s ?表示序列s 的 p 點IFFT。

當 e>2時，求解所得的卷積壓縮感知測量矩陣的相關性較為困難，然而通過計算機分析發(fā)現(xiàn)，測量矩陣的相關性滿足低相關性條件。圖1給出基于e 階分圓類構造矩陣的相關性μ (A)的分布圖。

圖1分別給出了基于2階、4階、6階、8階分圓類構造矩陣的相關性μ (A)的 分布圖，截取長度 N為1 ≤N ≤1600，從圖中可以看出基于分圓類構造矩陣的相關性參數(shù)μ (A)≤2。 證畢

根據(jù)定理3和定義2可以得到定理4。

定理4將序列s 作為對角向量σ ，按照式(4)得到向量 a， 對a 進 行循環(huán)移位得到矩陣 A ， 則 A的相關性參數(shù)為μ (A)≤2。

圖1 相關性分布圖

表1列舉了已有序列構造測量矩陣的不同方法，并對其進行了對比。本文基于 e階分圓類構造的測量矩陣比已有序列構造的矩陣相關性參數(shù)更加接近理論值，因此具有更好的RIP性質。

在土方開挖施工時，施工管理部門要制定好科學有效的計劃安排和組織管理，充分利用好施工現(xiàn)場的有利條件，嚴格控制施工成本、施工進度以及施工安全。很多情況下，基坑土方開挖的面積較大，在開挖過程中不僅要求配合錨桿和土釘?shù)氖┕みM行分步開挖，而且為了增加日出土量，都會選擇盆式開挖，也就是每邊給錨桿和土釘留有約10m的作業(yè)面，中間部分就以每步3～3.5m的速率開挖，其土方開挖允許的偏差如表1所示[3]。

3.2 仿真實驗分析

3.2.1 1維信號仿真

在模擬中使用的 k 稀疏信號的非零坐標位服從高斯分布，本文模擬在無噪聲條件和有噪聲條件下信號x 的恢復性能，使用正交匹配跟蹤(Orthogonal Matching Pursuit, OMP)算法[18]作為恢復算法，若//?x//2<10?6，則認為原始信號恢復成功。1維重構信號估計值 x?的平方誤差相當小，即滿足信號的仿真結果如圖2、圖3、圖4、圖5所示。

圖2和圖4中e =2,f =128, R?=32，生成大小為32×257的測量矩陣，圖3和圖5中e=4, f=130,R?=64，生成大小為64×521的測量矩陣。圖2和圖3在無噪聲條件下基于本文提出的測量矩陣恢復信號的性能優(yōu)于隨機高斯矩陣以及文獻[11]構造的測量矩陣；圖4和圖5在被采樣信號的信噪比(Signal-to-Noise, SNR)為30 d B的條件下給出了不同稀疏度下的輸出信噪比。仿真結果表明，信號在有噪聲的情況下，本文提出的測量矩陣恢復信號的性能優(yōu)于同等條件下隨機高斯矩陣以及文獻[11]構造的測量矩陣。

3.2.2 2維圖像仿真

本文以大小為256×256的Lena圖像作為原始的2維圖像信號，以小波變換基對信號進行稀疏變換，使用Tvl1-l2[19]算法作為恢復算法?；謴蛨D像質量的標準采用峰值信噪比(Peak Signal to NoiseRatio, PSNR)來進行評價。2維圖像的仿真結果如圖6所示。

表1 與已有序列構造的矩陣相關性比較

圖2 不同稀疏度下的重構百分比

圖3 不同稀疏度下的重構百分比

圖4 不同稀疏度下的輸出信噪比

圖5 不同稀疏度下的輸出信噪比

圖6中e =2, f=260, R?=256，隨機抽取256列生成大小為256×256的測量矩陣，圖中顯示不同測量矩陣對應的PSNR分別為：(a)原始圖像；(b)隨機高斯測量矩陣：13.0 dB；(c)擴展Golay序列構造的測量矩陣：13.0 dB；(d)基于分圓類構造的測量矩陣：13.1 dB。由實驗結果可知，使用同一種重構算法與稀疏基的情況下，針對同一個2維圖像信號，基于分圓類構造的測量矩陣恢復圖像的效果優(yōu)于文獻[11]提出的擴展Golay序列構造的測量矩陣恢復圖像的效果。

3.2.3 信道估計

考慮一般MIMO系統(tǒng)中的信道估計，其中導頻序列從t 個發(fā)射機傳輸并由r 個接收機觀察。由于每個接收機的信道估計方案都是相同的，因此可以假設系統(tǒng)中有一個接收機，而不會喪失通用性。假設每個發(fā)射機發(fā)射一個導頻序列?i=[?i(1)?i(2)···?i(M)]T其中 1 ≤i ≤t 。從第i個發(fā)射機到接收機的信道脈沖響應(Channel Impulse Response, CIR)定義為hi=[hi(1)hi(2)···hi(L)]T，其中 L是所有信道脈沖響應上的最大信道長度。假設M ≥L，如果只激活第i 個發(fā)射機，接收機觀察導頻序列和相應信道脈沖之間的線性卷積為=?i?hi?hi，當考慮所有t 個發(fā)射機時，接收機的總體觀測值可以表示為

y ∈CM, w 代表采樣的AWGN噪聲，Φ ∈CM×N,h ∈CN是組合信道脈沖響應。

模擬一個長度為M =257,N =257的多輸入多輸出系統(tǒng)，同時估計發(fā)射機t =2和一個接收機之間的信道，并進行測量SNR從10 dB 到20 d B。在每個SNR處，將組合多路徑的數(shù)目從60改變到140，對應于每個信道的平均多路徑數(shù)目從6增加到14。使用FPC-AS算法[20]作為恢復算法，在每次模擬中進行500次實驗，實驗結果如圖7、圖8所示。

圖7顯示了在SNR為30 d B的情況下，單個信道脈沖響應的實值及其估計，仿真結果表明，基于分圓類構造的測量矩陣應用在信道估計中估計值與實值完美重合。圖8描述在不同SNR情況下均方誤差(Mean Squared Error, MSE)性能與組合多路徑數(shù)的關系，從圖中可以看出，SNR將對均方誤差性能產生影響，SNR越大，MSE越小，對信道估計的估計值更加精確；對應同一個SNR，基于分圓類構造的測量矩陣的MSE接近文獻[11]中基于擴展FZC序列以及擴展Golay序列構造的測量矩陣的均方誤差。

4 結束語

圖6 不同測量矩陣重構2維圖像

圖7 信道脈沖響應的實值及其估計

圖8 均方誤差性能與組合多路徑數(shù)

本文基于分圓類構造了一類卷積壓縮感知測量矩陣，序列的相關性從理論上確保了測量矩陣的恢復性能。實驗仿真結果表明，本文構造的全實數(shù)系數(shù)矩陣不僅在1維信號的恢復中效果優(yōu)于隨機高斯矩陣以及已有序列構造的測量矩陣，還可以用于2維圖像的重構以及信道估計。因此本文構造的測量矩陣在壓縮感知以及無線通信方向具有廣泛的應用前景。