基于切比雪夫-跡迭代的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)軟輸出信號檢測

景小榮 文晶晶 雷維嘉②

①(重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院 重慶 400065)

②(移動通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 重慶 400065)

1 引言

大規(guī)模多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output，MIMO)系統(tǒng)[1]由于基站端部署了大量的天線，給上行信號檢測算法設(shè)計(jì)帶來了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)。最大似然(Maximum Likelihood, ML)算法作為MIMO檢測算法中的最優(yōu)算法，其計(jì)算復(fù)雜度隨發(fā)送天線數(shù)和調(diào)制信號階數(shù)的增長呈指數(shù)規(guī)律上升，因此在實(shí)際系統(tǒng)中難以應(yīng)用。于是，似然上升搜索 (Likelihood Ascent Search, LAS)算法[2]和主動禁忌搜索(Reactive Tabu Search, RTS) 算法[3]被提出用于大規(guī)模MIMO信號檢測，然而，當(dāng)系統(tǒng)采用高階QAM調(diào)制時，兩者性能并不理想。文獻(xiàn)[4]提出一種改進(jìn)的BP算法。然而，這些研究通常假設(shè)基站天線數(shù) N 與用戶數(shù) K相等。在實(shí)用大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，受導(dǎo)頻污染制約，用戶數(shù)只能遠(yuǎn)小于基站天線數(shù)(假設(shè)用戶配置單天線)，即系統(tǒng)負(fù)荷系數(shù)K /N ?1。 而當(dāng)K /N ?1時，線性檢測算法，例如迫零(Zero-Forcing, ZF)[5]和最小均方誤差(Minimum Mean Square Error, MMSE)檢測算法，可取得接近ML算法的性能；然而這兩種算法涉及高維矩陣求逆運(yùn)算，其復(fù)雜度約為O (K3)。于是，文獻(xiàn)[6–9]則分別采用Neumann級數(shù)、牛頓迭代法和共軛梯度(Conjugate Gradient, CG)法和并行切比雪夫迭代(Parallelizable Chebyshev Iteration,PCI)方法來代替均衡矩陣求逆。

然而，隨著5G技術(shù)的推進(jìn)，未來無線通信要求提供更高的頻譜效率，因此，格雷編碼的具有正方形星座圖的高階正交幅度調(diào)制(Higher Quadrature Amplitude Modulation, HQAM)，比如256-QAM，因其同相和正交相具有對稱性，調(diào)制和解調(diào)相對簡單而被納入5G標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范。然而，HQAM由于調(diào)制星座圖上信號點(diǎn)距離的急劇縮小又給信息比特的恢復(fù)帶來嚴(yán)重的挑戰(zhàn)，因此通常借助信道編碼的軟輸出信息來獲得可接受的檢測性能。文獻(xiàn)[10]基于高斯-希爾德迭代(Gauss Seidel Iteration, GSI)，提出一種低復(fù)雜度軟輸出信號檢測算法；然而該算法采用較為低階的調(diào)制模式，同時Max-Log-MAP算法被用于計(jì)算編碼比特的對數(shù)似然比(Log-Likelihood Ratio, LLR)。對于HQAM, Max-Log-MAP算法將引起過高的計(jì)算復(fù)雜度。

在上述分析的基礎(chǔ)上，本文針對大規(guī)模MIMO上行鏈路，基于MMSE準(zhǔn)則，提出一種基于切比雪夫-跡迭代(Chebshev Trace Iteration, CTI)的低復(fù)雜度的軟輸出信號檢測算法。與文獻(xiàn)[9]方法不同，為了加快算法收斂速度，本文所提CTI算法是在跡迭代(Trace Iteration Method, TIM)算法[11]的基礎(chǔ)上，結(jié)合Chebyshev方法而形成的；同時，在軟信息計(jì)算方面，利用格雷編碼調(diào)制信號的比特翻轉(zhuǎn)特性，文中給出了一種新的LLR簡化計(jì)算方法。數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文所提軟輸出信號算法的有效性。

2 系統(tǒng)模型

考慮多用戶大規(guī)模MIMO系統(tǒng)上行鏈路。假設(shè)基站配置 N 根天線，為 K個單天線用戶同時提供服務(wù)，滿足N ?K 。 K個用戶待傳輸?shù)男畔⒈忍?，分別經(jīng)過各自的信道編碼器和格雷編碼的 22m-QAM調(diào)制器，形成 K×1 維發(fā)送符號矢量xc，滿足E(xcxcH)=IK。在接收端，基站接收到的N ×1維信號yc可表示為

3 問題提出

采用MMSE接收，發(fā)送信號矢量xc估計(jì)值

其中， Gc=Hc。令Uc=1Gc表示等效信道增益矩陣，則xc中第k 個符號的估計(jì)值

其中， μk表 示Uc中第( k,k)個 元素，即均衡后與xc,k對應(yīng)的等效信道增益，c,k表示MMSE均衡后c,k中所包含的噪聲加干擾項(xiàng)(Noise Plus Interference,NPI)，其對應(yīng)方差為

其中，Uzk和 Ekk分 別表示Uc中 第( z,k)個元素和矩陣Ec=1Gc1中第( k,k)個 元素，k ,z=1,2,···,K。根據(jù)Max-Log-MAP準(zhǔn)則，c,k中 的第b 個編碼比特的LLR為

其中，γk=/表示第k 個用戶的信干噪比(Signalto-Interference-plus-Noise Ratio, SINR),和分別表示第 b位為0 和1 的Q A M 調(diào)制符號集合，b=1,2,···,2m。

根據(jù)上述分析，求解MMSE均衡矩陣Fc和均衡后的等效信道增益矩陣 Uc及矩陣Ec均涉及1的計(jì)算，其計(jì)算復(fù)雜度高達(dá) O(K3)；同時，對采用22m-QAM的多用戶大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，采用Max-Log-MAP算法計(jì)算用于信道譯碼的LLR，將涉及高達(dá) O (K·2m·22m)的計(jì)算復(fù)雜度。為此，下面將給出一種低復(fù)雜度軟輸出信號檢測算法。

4 基于切比雪夫-跡迭代的低復(fù)雜度軟輸出信號檢測算法

本節(jié)首先給出基于CTI的大規(guī)模MIMO信號檢測過程；接著分析了Max-Log-MAP算法計(jì)算LLR存在的問題；進(jìn)而結(jié)合格雷編碼的調(diào)制符號的比特翻轉(zhuǎn)特性和二叉樹結(jié)構(gòu)，給出了一種融合三叉鏈表搜索的LLR簡化計(jì)算方法；最后，對算法復(fù)雜度進(jìn)行了分析。

4.1 CTI用于線性方程組求解

當(dāng)矩陣 A為對稱正定時，給定初始解向量，可利用CTI實(shí)現(xiàn)線性方程組 A x=b ≠0的迭代求解，而無需對矩陣 A進(jìn)行求逆操作。

其中，x =[ ?{xc} ?{xc} ]T( 其中元素為 2m-PAM符號)，? {·}和 ? {·}分別表示取實(shí)部和虛部。

確定初始解后，則采用CTI來迭代求解 x， 具體迭代過程如式(9)所示

其中，λt+1=2fCt(f)/Ct+1(f), Ct+1(f)=2fCt(f)?Ct?1(f)為 切比雪夫多項(xiàng)式，T r(W) 表示矩陣W 的跡， f=1/|1?w·ηmin/Tr(W)| , w=2Tr(W)/(ηmax+ηmin), ηmax和 ηmin分 別表示矩陣W 的最大特征值和最小特征值，具體定義見文獻(xiàn)[13]， t=1,2,···,T,T表示最大迭代次數(shù)。

觀察上述過程，利用CTI思想實(shí)現(xiàn)發(fā)送向量x 的迭代估計(jì)，而無需計(jì)算矩陣W 的逆。

4.2 基于傳統(tǒng)的Max-Log-MAP算法的LLR計(jì)算

由x=W?1，則在第t 次迭代結(jié)束后，存在收斂到x 時 ，也將對應(yīng)收斂于矩陣W?1。 由x(t)=則對應(yīng)地由式(10)迭代求解

4.3 LLR簡化計(jì)算方法

4.3.1 MMSE擴(kuò)展預(yù)處理

對信道矩陣 H 、接收信號矢量y 和噪聲矢量n進(jìn)行擴(kuò)展，即令

4.3.2 基于Max-Log-MAP算法的LLR簡化計(jì)算

Max-Log-MAP算法按照式(16)計(jì)算各用戶編碼比特的LLR所需計(jì)算量為 O (2K·m·2m)，對于采用HQAM的多用戶大規(guī)模MIMO系統(tǒng)來說，該計(jì)算量將構(gòu)成軟輸出信號檢測算法中的主要部分。于是，下面將給出一種LLR簡化計(jì)算方法。

引理1[15]由格雷編碼的比特矢量(bm,bm?1,···,b1)映射成P A M 信號，其第 l比特的翻轉(zhuǎn)次數(shù)為TC(l)=2m?l(不考慮最高位比特返回原始比特狀態(tài))，其中l(wèi) =1,2,··· ,m。

由引理1，根據(jù)br∈{0,1}的比特翻轉(zhuǎn)特性，格雷編碼的 2m-PAM的 2m符號被分割成2m?r+1個集合，每個集合由 2r?1個 符號組成，以來表示由比特br確 定的第Br個集合，其中r =1,2,···,m。圖1描繪了格雷編碼的16-PAM符號集合劃分過程，其中五角星代表，方形代表硬判決結(jié)果sML，三角形代表。

如果令由 2m個 2m-P A M 符號組成的集合+1表 示根結(jié)點(diǎn)，即第1結(jié)點(diǎn)層，Bm+1=0，則在第m ?r+2 結(jié)點(diǎn)層，2m?r+1個集合分別代表2m?r+1個 子結(jié)點(diǎn)，于是 2m-PAM符號集合的遞歸分割結(jié)果可用一滿二叉樹來表示(圖1中黑色虛線所示)，而對內(nèi)存需求非常小的三叉鏈表恰好可用來存儲二叉樹。根據(jù)二叉樹和三叉鏈表之間的對應(yīng)關(guān)系，文中用同樣也表示三叉鏈表中結(jié)點(diǎn)，只不過對于三叉鏈表中的結(jié)點(diǎn)， 其包含3個指針域和2個數(shù)據(jù)域，其中3個指針域分別為該結(jié)點(diǎn)的左孩子指針(Lchild)、該結(jié)點(diǎn)的右孩子指針(Rchild)和該結(jié)點(diǎn)的父指針(Parent)，而2個數(shù)據(jù)域分別為Br的數(shù)值及其奇偶性(Parity)，其中Br∈{0,1,··· ,2m?r+1?1}。三叉鏈表中結(jié)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)如圖2所示。特別說明，對于根結(jié)點(diǎn)+1，其數(shù)據(jù)域?yàn)榭占?，Parent為空指針，而對于葉子結(jié)點(diǎn)，Lchild和Rchild均為空指針。

圖2 三叉鏈表結(jié)點(diǎn)示意圖

由前述知：將信號模型從復(fù)數(shù)域轉(zhuǎn)化到實(shí)數(shù)域，等效于將 22m-QAM分解為兩路相互正交的同相和正交相 2m- PAM。對于 2m-PAM信號，其信號空間由 2m?1個 幅度閾值? (2m?2)d , ? (2m?4)d,···,(2m?4)d , ( 2m?2)d 劃分成 2m個間隔。因此，可采用二分法通過 m次比較就可確定所處的區(qū)間，進(jìn)而得到 sML及其在 2m-PAM符號集合中的下標(biāo) qML；同時，與sML對應(yīng)的格雷編碼比特向量b?=(?1···)也相應(yīng)地確定下來。

綜合4.1節(jié)和4.3節(jié)的分析，表1給出基于CTI的軟輸出信號檢測算法的步驟，其中式(1)—式(6)為基于CTI的信號檢測過程，式(7)—式(20)則為LLR簡化計(jì)算過程。

4.4 算法復(fù)雜度分析和對比

以浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)，對本文提出的基于CTI的軟輸出信號檢測算法(仿真圖中用CTI來標(biāo)識)的復(fù)雜度進(jìn)行分析，同時將其與基于Cholesky分解的軟輸出MMSE算法，基于Neumann級數(shù)展開的軟輸出MMSE檢測算法[6]、基于CG的軟輸出MMSE檢測算法[8]、基于GSI的MMSE軟輸出檢測算法[10]進(jìn)行對比(以Cholesky,Neumann,CG和GSI來標(biāo)識)。由于基于MMSE準(zhǔn)則的對比算法和本文所提基于CTI的軟輸出信號檢測算法都必須計(jì)算濾波矩陣W 和匹配濾波輸出信號，故該部分計(jì)算復(fù)雜度在分析中不予考慮。

表1 基于CTI的軟輸出檢測算法的步驟

基于CTI的軟輸出信號檢測算法的計(jì)算復(fù)雜度主要來源于以下3部分：

第1部分確定初始解 x(0)涉 及計(jì)算D?1、矩陣D?1與 向量的乘法，其所需浮點(diǎn)數(shù)為 4K；而確定x(1), T r(W), w , ηmax, ηmin及 f 所需浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)依次為12K2+4K+1, 2 K ?1, 3, 5, 5和4(計(jì)算x(1)采用類似于文獻(xiàn)[9]的方法，將矩陣與矩陣間的運(yùn)算調(diào)整為矩陣與矢量間的運(yùn)算，以減小計(jì)算復(fù)雜度，后面對x(t)的計(jì)算采用類似操作。)W x =。在第t 次迭代需要計(jì)算Ct+1(f), λt+1，進(jìn)

第2部分是采用CTI迭代求解線性方程組而計(jì)算x(t+1)， 因此，第t 次迭代共需8K2+8K+6次浮點(diǎn)運(yùn)算。

第3部分是LLR簡化計(jì)算。在迭代信號檢測完成后，計(jì)算各用戶編碼比特的LLR需確定 sML和sqr?，對于sML只需采用簡單的二分比較法就可確定，故不計(jì)入運(yùn)算量。對于 K個用戶所包含的2Km 編碼比特，確定sqr?所需浮點(diǎn)運(yùn)算數(shù)為4 Km；計(jì)算式(17)，還需1 0Km+5K次浮點(diǎn)運(yùn)算，因此，LLR 簡化計(jì)算所需浮點(diǎn)運(yùn)算量為1 4Km+5K。

由后續(xù)仿真可知，CTI算法在迭代次數(shù)T =3時趨于收斂，因此，圖3給出CTI, CG, GSI算法在T =3 , Neumann算法在Neumann序列級數(shù)TN=3的計(jì)算復(fù)雜度對比，圖3中同時也給出了Cholesky算法的復(fù)雜度。由圖3可知，本文所提CTI算法的計(jì)算復(fù)雜度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其它對比算法，這主要是本文提出的軟輸出信號檢測算法不但通過CTI避免了高維矩陣逆，而且還對LLR計(jì)算進(jìn)行了簡化，其中簡化LLR計(jì)算對于降低整個軟輸出信號檢測算法的計(jì)算復(fù)雜度起主要作用。

圖3 各種算法浮點(diǎn)運(yùn)算次數(shù)與用戶個數(shù)的關(guān)系(256-QAM)

5 仿真結(jié)果及分析

采用蒙特卡洛仿真來驗(yàn)證文中提出基于CTI的MMSE軟輸出信號檢測算法的性能。仿真中，信道編碼采用碼率為1/2，生成碼字為[ 133o177o]的標(biāo)準(zhǔn)卷積碼，調(diào)制模式為256-QAM，用戶平均發(fā)送功率設(shè)定為1。接收端基站采用軟輸入維特比譯碼方法進(jìn)行譯碼。

在N =128, K =16，圖4給出本文提出的基于CTI的軟輸出信號檢測算法的收斂性能圖。由圖可知，隨SNR遞增，CTI算法的BER明顯降低，但當(dāng)?shù)螖?shù) T ≥3時，其性能曲線基本趨于平穩(wěn)，即算法實(shí)現(xiàn)收斂，因此，在圖3和后續(xù)仿真中我們選擇迭代次數(shù)T =3。

在 N =128, K =16，圖5給出CTI算法與GSI,CG, Neumann, Cholesky算法的BER性能隨SNR變化的對比圖。由圖5中可知，隨SNR增加，各算法BER均逐漸減??；然而由于本文所提CTI算法采用了Chebshev加速，提升了整個算法的收斂速度，因此，在T =3下CTI算法相比于CG, GSI, Neumann 3種檢測算法，更加逼近Cholesky算法的性能。

圖4 收斂性能曲線圖

圖5 檢測性能隨SNR變化的曲線圖

當(dāng)SNR=16 dB, K =16，圖6給出CTI, GSI,CG, Neumann及Cholesky算法的BER性能隨基站天線數(shù) N 變化的曲線圖。受基站天線數(shù) N增加而引起大規(guī)模MIMO陣列增益的提升的影響，使CTI算法及其對比算法性能均得到不同程度的改善。然而，在基站天線數(shù)相對較少時，CTI算法性能，明顯優(yōu)于Neumann, CG和GSI算法；當(dāng)基站天線數(shù)大于128時，CTI算法可取得接近于Cholesky算法的性能。

圖6 檢測性能隨基站天線數(shù)變化的曲線圖

圖7在S NR=16 dB, N =128，給出CTI, GSI,CG, Neumann算法以及Cholesky算法BER性能隨用戶數(shù) K 變化的曲線圖。由圖7可知，隨 K增加，由于用戶間干擾逐漸增強(qiáng)，所有檢測算法的性能均出現(xiàn)下降。然而，本文所提CTI算法相比Neumann, CG和GSI算法，仍具有一定的性能優(yōu)勢。這說明本文所提算法更適宜用戶數(shù)相對較多的應(yīng)用場景。

圖7 各算法隨用戶數(shù)變化的性能對比

6 結(jié)束語

在大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中，MMSE算法可取得接近最優(yōu)的檢測性能。但MMSE檢測算法涉及高維矩陣求逆運(yùn)算。同時，當(dāng)采用HQAM調(diào)制時，傳統(tǒng)的硬判決檢測器很難取得良好的性能。因此，本文基于MMSE框架，提出一種適用于格雷編碼的HQAM的大規(guī)模MIMO 系統(tǒng)的軟輸出信號檢測算法。在該算法中，通過利用CTI，有效地規(guī)避了高維矩陣的求逆運(yùn)算；同時，利用格雷編碼的 22m-QAM信號轉(zhuǎn)化成實(shí)數(shù)域后的格雷編碼的 2m-PAM信號的比特翻轉(zhuǎn)特性，實(shí)現(xiàn)了LLR的簡化計(jì)算。仿真表明，該算法最多3次迭代就可取得接近MMSE算法的性能。然而，需要指出的是，本文所提軟輸出信號檢測算法假設(shè)用戶配備單根天線，當(dāng)用戶端配置多天線時，發(fā)送信號矢量與各用戶采取的傳輸模型(比如空分復(fù)用、發(fā)射分集等)密切相關(guān)，于是，基于CTI算法對信號進(jìn)行檢測時則需要進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整，針對這些新問題，將在后續(xù)研究中深入展開。