橢圓曲線 y2=x3+33x±74的整數(shù)點

冉銀霞

（隴南師范高等專科學校 數(shù)信學院，甘肅 隴南 742500）

1987 年，Zagier 在文獻[1]中詢問橢圓曲線y2=x3+27x- 62的最大整數(shù)點是否為（28844402，154914585540），由于這是一類典型的秩等于1 且有大整數(shù)點的一種橢圓曲線，所以該問題對于討論橢圓曲線的算術(shù)性質(zhì)有著重要的意義. 因此，橢圓曲線整點問題對于在不同情況下構(gòu)造合適的橢圓曲線函數(shù)具有重要的理論意義及應用前景. 然而尋找其較大正整數(shù)解非常困難，其耗費的時間可以用正整數(shù)的指數(shù)冪來計算. 因此，針對不同的橢圓曲線解決的方法也有待探討與提高.

針對橢圓曲線y2=(x+a)(x2-ax+p)的整數(shù)點，研究結(jié)果主要集中在：

1）當a=- 2時，已經(jīng)找到對應橢圓曲線所有整點的p值如下[2-7]：p= 7,15,18,23,31,43,139；

2）當a= 2時，已經(jīng)找到對應橢圓曲線所有整點的p值如下[8-12]：p= 7,15,23,27,31,43；

3）當a=±2時，已經(jīng)找到了當p= 36s2- 5，s為正奇數(shù)，且 6s2- 1， 12s2+ 1均為素數(shù)[13-14]時的全部整數(shù)點；

4）當a=- 6時，已經(jīng)找到對應橢圓曲線所有整點的p值如下[15-16]：p= 15,19；

5）當a= 6時，已經(jīng)找到對應橢圓曲線所有整點的p值如下[17-18]：p= 15,19.

針對橢圓曲線y2=（x+a）（x2-ax+p），本文將討論a=±2,p= 37的情況，得到了如下結(jié)論：

定理橢圓曲線y2=x3+33x±74僅有整數(shù)點（x,y）=（-2 ,0）與（2,0 ）.

1 主要引理

引理1[19]25設(shè)是方程的某結(jié)合類k的基本解是的基本解，則有

引理2[19]26設(shè)是方程的某結(jié)合類k的基本解，是的基本解，則有

引理3[19]27設(shè)D＞ 0，N＞ 0，D不是平方數(shù)，不定方程u2-Dv2=N或u2-Dv2=-N的解僅有有限個結(jié)合類. 所有結(jié)合類的基本解可由引理1、引理2 經(jīng)有限步求出. 設(shè)是類k的基本解，則類k的全部解可經(jīng)表出，其中是的基本解，n為整數(shù).

2 定理的證明

設(shè)橢圓曲線

的整數(shù)點為（x,y），顯然，（x,y）=（-2 ,0）與（x,y）=（2,0）是（1）的解. 下面討論方程（1）的非平凡解.設(shè)則因此d=1,3,5,9,15或45.

1）當d=1 時，可令于是即但上面兩個方程都無整數(shù)解.因此，當d= 1時，橢圓曲線y2=x3+33x±74均無正整數(shù)點.

2）當d= 3時，可令易得：b2-則有設(shè)是x2- 3y2= 1的基本解，則有（x0,y0）=（2,1）. 由引理2 知經(jīng)計算方程u2- 3v2= 12無整數(shù)解. 因此，當d= 3時，橢圓曲線y2=x3+33x±74均無正整數(shù)點.

3）當d=5 時，可令易得5b2=- 36. 令則有u2- 5v2=-36. 設(shè)是x2- 5y2= 1的基本解，則有（x0,y0）=（9,4 ）. 由引理2 知：經(jīng)計算（u0,v0）=(±3 ,3),（±12,6）滿足方程u2- 3v2=-12. 那么由引理3 知，方程u2- 3v2=- 12的整數(shù)解有4 個結(jié)合類，且由其中是Pell 方程的基本解，可以得到解的遞歸序列及序列性質(zhì)如下：

當n≡ 3 （mod4）時，令n= 4m+ 3，則而所以此時也無整數(shù)解.綜上，均無整數(shù)解.

4）當d= 9時，可令易得：無整數(shù)解. 因此，當d= 9時，橢圓曲線均無正整數(shù)點.

5）當d= 15時，可令易得則有設(shè)是的基本解，則有（x0,y0）=（4,1）. 由引理2 知經(jīng)計算，方程無整數(shù)解.因此，當d=15時，橢圓曲線均無正整數(shù)點.

6）當d= 45時，可令易得則有設(shè)是的基本解，則有由引理2 知：經(jīng)計算，滿足方程那么由引理3 知，方程的整數(shù)解有6 個結(jié)合類，且由其中是Pell 方程的基本解，可以得到解的遞歸序列及序列性質(zhì)如下：

因此，橢圓曲線y2=x3+33x±74均無正整數(shù)點.

3 結(jié)論

文中根據(jù)不同的情況，綜合應用多種方法，主要通過構(gòu)造二元四次方程，利于其解結(jié)構(gòu)序列的遞歸性質(zhì)及模序列的周期性，分別巧妙地解決了在不同的方程中遇到的高次丟番圖方程的求解問題，從而成功地解決了y2=（x+a）（x2+ 2x+p）,a= ±2,p= 37這兩條橢圓曲線的整點問題，得到的結(jié)論填充了這類橢圓曲線研究成果的空白. 其求解方法可應用于其他類似方程的研究.