利用“K字型”模型求點(diǎn)坐標(biāo)

王春龍

一、“K字型”模型再認(rèn)識(shí)

如圖1，點(diǎn)B、E、C三點(diǎn)在同一條直線上，AB⊥BE，DC⊥CE，AE⊥ED，易證△ABE-△ECD。只要兩個(gè)三角形的相似比及其中一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)已知，就可求出三角形所有邊的長(zhǎng)。

若將此圖形置于平面直角坐標(biāo)系中，且點(diǎn)E坐標(biāo)已知（定點(diǎn)），那么通過相似求得EC、CD后，即可通過平移點(diǎn)E的坐標(biāo)求得點(diǎn)D的坐標(biāo)。

一般情況下，兩個(gè)三角形的相似比不會(huì)直接給出，如圖2，連接AD，若∠DAE是一個(gè)大小確定的角（定角），則根據(jù)tan∠DAE=DE/AE=k就可以確定△ECD和△ABE的相似比。如果AE和點(diǎn)E的坐標(biāo)也已知，那么類比圖1的方法也可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)。

因此，我們可以利用這個(gè)模型求點(diǎn)D的坐標(biāo)。如果題目只告訴我們∠DAE的大小和該角一邊上的點(diǎn)E的坐標(biāo)，那么我們需要構(gòu)造如圖2這樣的“K字型”解決問題。

模型建立：如圖3，當(dāng)一角確定（角度或該角的三角函數(shù)值確定）時(shí)，在該角的一邊（由兩個(gè)定點(diǎn)組成的邊）上找到一已知坐標(biāo)的點(diǎn)（除角的頂點(diǎn)外的另一個(gè)定點(diǎn)），過已知點(diǎn)作垂線與角的另一邊相交，可構(gòu)造直角三角形（這個(gè)直角三角形的形狀和大小是確定的），然后過直角頂點(diǎn)所在直線構(gòu)造“K字型”即可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)

二、利用“K字型”模型求點(diǎn)坐標(biāo)

例1 （2019·江蘇常州二模）已知，如圖4，二次函數(shù)y=-x2+2x+3的圖像與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為該拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E（2，3）是拋物線上一點(diǎn)，連接AD、AE。若在該拋物線上有一點(diǎn)M，使得∠DA E=∠MCB。（1）略;（2）略;（3）求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

【分析】由（1）（2）的求解可知tan ∠DA E=1/3;第（3）問因?yàn)椤螪A E=∠MCB，所以∠MCB是一個(gè)定角，又因?yàn)锽C是一條定邊，所以可套用模型，過定邊BC上的點(diǎn)B作BF⊥BC，交CM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，然后以直角頂點(diǎn)B所在直線構(gòu)造“K字型”求解。

【略解】分類討論：①若M在BC上方（如圖5）時(shí)，∠M1 CB=∠DAE，作BF⊥BC交CM1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥BG于點(diǎn)Go由△COB-△BGF得BG=FG=1。由B（3，0）平移得F（4，1），所以直線CF的表達(dá)式為y=- 1/2x+3，得交點(diǎn)M1（5/2，7/4）。②若M在BC下方（如圖6）時(shí)，∠M2CB=∠DAE，作BF⊥BC交CM2于點(diǎn)、F，作FH⊥BH，CQ⊥BQ，垂足為H、Q。同理可得M2（4，-5）。

【點(diǎn)評(píng)】過定角一邊上的定點(diǎn)作垂線構(gòu)造直角三角形是正確建立“K字型”模型的關(guān)鍵步驟。

例2 （2020·江蘇常州二模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+6的圖像開口向下（如圖7），與x軸交于點(diǎn)A（-6，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C。（1）略;（2）略;（3）如圖8，該函數(shù)圖像的頂點(diǎn)為D，在該函數(shù)圖像上是否存在點(diǎn)E，使得∠EAB=2∠DA C？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。

【分析】要使得∠EAB=2∠DAC，就要先確定∠EAB的大小?？梢酝ㄟ^作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)構(gòu)造2倍角，然后構(gòu)造Rt△DHA確定tan∠DAH的大小。當(dāng)∠EAB大小確定，在∠EAB的一邊AB上過定點(diǎn)B作垂線即可解決問題。

【略解】作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D'（如圖9），連接AD'，作DH⊥AD'于點(diǎn)H。計(jì)算發(fā)現(xiàn)△DAC是一個(gè)直角三角形，然后在Rt△DAH中可得tan ∠DAH=3/4。由于∠EAB=2∠DAC，∠DA H=2∠DAC，所以∠EAB=∠DAH。分類討論（如圖10）：①過點(diǎn)B作BF⊥AB交AE1于點(diǎn)F，易得F（2，6），直線AF的表達(dá)式為Y=3/4x+9/2，得交點(diǎn)E1（1/2，39/8）;②過點(diǎn)B作BG⊥AB交AE2于點(diǎn)G，同理可得E2（7/2，-57/8）。

【點(diǎn)評(píng)】由于定角的一邊在坐標(biāo)軸上，所以此題的“K字型”模型簡(jiǎn)化成了一個(gè)直角三角形。此題求解的關(guān)鍵是構(gòu)造得到2∠DAC的角，然后∠EAB才能符合模型中的定角原則。

例3 （2020·江蘇常州）如圖11，二次函數(shù)y=x2+bx+3的圖像與y軸交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)B，拋物線過點(diǎn)C（l，0），且頂點(diǎn)為D，連接AC、BC、BD、CD。（1）略;（2）點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)大于1，直線PC交直線BD于點(diǎn)Q，若∠CQD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo);（3）略。

【分析】此題確定tan ∠ACB=2的方法和例2相同，但定角∠CQD的兩邊都不是定邊，此時(shí)不符合模型所需的條件。因此我們可構(gòu)造平行線轉(zhuǎn)化角。如圖12，過點(diǎn)C作CE∥BD交AB于點(diǎn)E，得到∠ECQ=∠CQD，而∠ECQ的一邊CE是定邊，此時(shí)構(gòu)造模型解題。

【略解】①若Q在點(diǎn)D上方（如圖12），過點(diǎn)C作CE∥BD交AB于點(diǎn)E，易求得點(diǎn)E（ 2.5，3），然后利用“K字型”相似求得點(diǎn)F（ 8.5，0），發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F在x軸上，即點(diǎn)P是拋物線與x軸的交點(diǎn)，易得點(diǎn)P（3，O）;②若Q在點(diǎn)D下方（如圖13），過點(diǎn)C作CE∥BD交y軸于點(diǎn)E，同理可得點(diǎn)F（4，-4），所以直線CF的表達(dá)式為y=一4/3x+4/3，最后求得交點(diǎn)P（5/3，-8/9）。

【點(diǎn)評(píng)】解決此題的關(guān)鍵是通過平行轉(zhuǎn)化角，使得角的一邊滿足模型中的定邊這一條件。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)茅麓中學(xué)）