活用相似三角形中的對應(yīng)高

王小華

相似三角形是幾何中重要的模型之一，是全等三角形的推廣，是三角形知識體系中不可或缺的組成部分，在實際問題中的應(yīng)用也非常廣泛。下面老師結(jié)合例題，介紹相似三角形性質(zhì)之一“相似三角形對應(yīng)線段（對應(yīng)邊上高）的比等于相似比”的應(yīng)用，供大家參考。

類型一：A字型

例1 如圖1，AF是△ABC的高，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于點G。設(shè)DE=6，BC=10，GF=5，求點A到DE、BC的距離。

【分析】本題是相似三角形中典型的“A字型”圖形，易得△ADE-△ABC，利用相似三角形對應(yīng)線段（對應(yīng)邊上高）的比等于相似比，可得AG/AF=DE/BC

解：∵DE∥BC，∠AFB=90°，

得∠A GD=90°，即AG⊥DE。

∵DE∥BC，

∴△A DE-△ABC.

∴AG/AF=DE/BC

即AG/AG+5=3/5，

解得AG=7.5，則AF=A G+5=12.5，

即點A到DE、BC的距離分別為7.5、12.5。

【點評】在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解題時，同學(xué)們比較熟悉的性質(zhì)是對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例，而對相似三角形中“對應(yīng)高的比等于相似比”則不太熟悉。

例2 如圖2，在△ABC中，AD是高，矩形PQMN的頂點P、N分別在AB、AC上，QM在BC上，AD交PN于點E。設(shè)BC=48，AD=16，PQ：PN=5：9，求矩形PQMN的面積。

【分析】本題仍是相似三角形中典型的“A字型”圖形，易得△APN-△ABC，可得BC= AD，其中還滲透著方程思想。

解：設(shè)PQ=5x，則PN=9x，

根據(jù)題意，得PN/BC= AE/AD，

即9x=16 - 5x/16，

解得x=2，

∴PQ=10，PN=18，

∴矩形PQMN的面積=18x10=180。

答：矩形PQMN的面積為180。

【點評】在解決相似三角形內(nèi)接四邊形問題時，我們一定要注意相似三角形中對應(yīng)高的使用。

類型二：X字型

例3 如圖3為小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)注的尺寸，蠟燭AB在暗盒中所成像CD的高度是多少？

【分析】本題是相似三角形中典型的“X字型”圖形，易得△ABO-△CDO。

解：∵AB∥CD，

∴∠ABO=∠ODC，∠BAO=∠OCD，

∴△AOB-△COD.

∴AB/CD=12/2

解得CD=1。

答：CD的高度是lcm。

【點評】此題是物理知識在數(shù)學(xué)中使用的常規(guī)題，借助相似三角形對應(yīng)高的比與三角形的邊長比的關(guān)系，可快速得出答案。

實踐證明，相似三角形的應(yīng)用是同學(xué)們學(xué)習(xí)相似三角形整章的重點，更是難點。希望同學(xué)們通過上述幾個簡單基本模型，能領(lǐng)悟相似三角形的對應(yīng)邊上高的運用技巧，大膽去挑戰(zhàn)相似三角形與實際生活相結(jié)合的應(yīng)用性問題。

（作者單位：江蘇省常州市金壇區(qū)岸頭實驗學(xué)校）