單擺測重力加速度實驗的改進

劉彧奇，譚雨莎，韋先濤，張 權(quán)，趙 偉，朱 玲

(1.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 地球和空間科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230026；2.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 物理學(xué)院，安徽 合肥 230026)

單擺實驗是一個非常經(jīng)典的物理實驗，根據(jù)擺的等時性原理制造的機械鐘將人類的計時精度提高了近100倍[1-2]. 在用單擺測量重力加速度實驗中，由于擺長不易準(zhǔn)確測得，導(dǎo)致重力加速度的測量精度無法做到很高，一般只能達到1%左右.

本實驗希望通過對實驗方法進行改進，將直接測量單擺擺長改進為測量擺長的改變量，提高長度的測量精度；通過擬合擺長改變量(ΔL)與單擺周期平方(T2)之間的線性關(guān)系，獲得重力加速度，并探討改進擺線材料、測量方法、計算方法，使實驗誤差進一步減小，實際的實驗誤差可控制在0.1%以內(nèi).

1 實驗部分

1.1 實驗器材

在傳統(tǒng)單擺實驗裝置的基礎(chǔ)上，添加了游標(biāo)卡尺和光電門，分別測量單擺擺長的改變量和單擺周期.同時考慮到實驗中需要改變擺線的長度、光電門的位置，本文設(shè)計了擺長調(diào)節(jié)裝置和配套的可移動光電門，用于追蹤擺球的移動. 實驗裝置如圖1所示. 擺線通過固定旋鈕后與游標(biāo)卡尺的游標(biāo)連接在一起.

圖1 改進后的單擺實驗裝置圖

實驗中發(fā)現(xiàn)采用不同材質(zhì)、直徑的擺線對實驗結(jié)果有較大影響，主要是由于擺線的質(zhì)量不可忽略，并且擺線并非完全無彈性，導(dǎo)致實驗過程中擺線的改變量并不完全等于兩次游標(biāo)卡尺的讀數(shù)之差. 因此本文對不同材質(zhì)、不同直徑的擺線進行了多次重復(fù)測量. 采用的擺線共有5種，如表1所示.

表1 擺線的材料和直徑D

1.2 長度測量

直接測量擺長時由于采用毫米刻度尺，且擺長的起止位置難以精確確定，其測量精度較低. 因此本實驗的測量方案改為用游標(biāo)卡尺精確測量每次擺長的改變量.

實驗中擺線長度的變化范圍在32 cm～62 cm.確定擺長范圍后，受擺球直徑和光電門尺寸的限制，每次實驗中，使振幅約為2.7 cm，這樣可以保證擺動的最大角度小于5°.

由于擺長固定時，連接處細線的靜摩擦力向上. 在改變擺長時，應(yīng)使連接處的滑動摩擦力也向上，和靜摩擦力保持同一方向，故采取逐步增大擺長的方式測量.

1.3 時間測量

實驗中用光電門測單擺擺動的時長和周期數(shù)，采用的數(shù)字計時器是4位數(shù)顯.實驗中發(fā)現(xiàn)，在不同擺長下測單擺擺動10個周期的時長時，擺長較短測得的時間不足10 s，因而光電門的測量數(shù)據(jù)可以精確到0.001 s；而擺長較長時測得的時間超過10 s，光電門的測量數(shù)據(jù)只能精確到0.01 s. 為了保證實驗的較高精度，應(yīng)使得在擺長較短或較長時光電門的測量數(shù)據(jù)都可以精確到0.001 s(時長小于10 s)，故單擺周期的選擇受到了一定限制. 進一步考慮到為了減小實驗數(shù)據(jù)的偶然性，實驗應(yīng)當(dāng)多次重復(fù)測量，單擺周期數(shù)選在4～8個周期內(nèi)可以滿足上述要求. 通過控制變量，對于每一個擺長分別取測量4、6、8個周期的時長，記為4T、6T和8T.擺動周期的平均值(nT)/n(n=4, 6, 8)如表2所示，其中L為游標(biāo)卡尺的讀數(shù). 綜合三組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)周期測量的偏差都小于0.1%，在后續(xù)的實驗中都統(tǒng)一測量6個周期的時長.

表2 在同一擺長處取不同周期數(shù)時的平均擺動周期

2 計算方法

從單擺測重力加速度的實驗原理出發(fā)，擺球的運動方程為

(1)

得到單擺周期為[3-5]

(2)

(3)

在本實驗中，通過多次改變擺長測量重力加速度g. 設(shè)單擺初始擺長為L0，擺長改變量為ΔL

(4)

(5)

推出

(6)

多次改變ΔL的大小，測出對應(yīng)的T. 如對ΔL(或L0+ΔL)和T2做直線擬合可得到斜率k，則可得重力加速度g為

g=4π2k

(7)

3 結(jié)果與討論

3.1 兩種改變擺長方式的對比分析

用同一種魚線分別采取擺長逐漸增大和逐漸減小的方式，對重力加速度進行測量，每個擺長下重復(fù)測量周期5次，測量得到的實驗數(shù)據(jù)(游標(biāo)卡尺讀數(shù)L及6個擺動周期的時長6T)分別記錄在表3和表4中. 通過對數(shù)據(jù)擬合處理，可以得到重力加速度g.

表3 擺長逐漸增大的實驗數(shù)據(jù)

表4 擺長逐漸減小的實驗數(shù)據(jù)

從魚線測量的數(shù)據(jù)可以看出，擺長逐漸增大比擺長逐漸減小時測得的重力加速度值更加接近公認(rèn)值，誤差更小. 此實驗結(jié)果驗證了先前在長度測量部分的設(shè)想，即在改變擺長時應(yīng)使連接處的滑動摩擦力也向上，和擺長不變時的靜摩擦力保持同一方向. 因而采取擺長逐漸增大的方式測量.

3.2 不同直徑、不同材質(zhì)的擺線的比較

實驗中選取了不同直徑不同材質(zhì)的線共5種，分別將其作為擺線，進行多次測量，每一種線測量5次，得到重力加速度g值，比較擺線的質(zhì)量和彈性對實驗結(jié)果的影響.

這5種線分別為：直徑0.20 mm 魚線、直徑0.25 mm魚線、直徑0.30 mm魚線、直徑0.25 mm尼龍線、直徑0.30 mm尼龍線.

以直徑0.30 mm尼龍線的一組實驗數(shù)據(jù)為例，表5是實驗中測得的原始數(shù)據(jù). 對ΔL和T2線性擬合，所得結(jié)果如圖2所示，得到斜率k=249.8 mm/s2，置信概率為0.95時的誤差uk=0.5 mm/s2，則重力加速度g=9.862 m/s2，測量誤差ug=0.020 m/s2，相對誤差ug/g=0.0020. 查得合肥地區(qū)的重力加速度為9.7947 m/s2，因此可算得測量結(jié)果與公認(rèn)值之間的相對偏差ur為6.9×10-3. 表6列出了直徑分別為0.25 mm、0.30 mm的尼龍線的實驗測量結(jié)果、測量的相對誤差以及測量值與公認(rèn)值之間的相對偏差. 圖3是直徑分別為0.25 mm、0.30 mm的尼龍線的實驗測量結(jié)果分布圖.

表5 直徑0.30 mm尼龍線的實驗數(shù)據(jù)

圖2 直徑0.30 mm尼龍線的實驗數(shù)據(jù)擬合圖

表6 不同直徑(D)尼龍線的實驗測量結(jié)果、測量的相對誤差ug/g，以及測量值與公認(rèn)值之間的相對偏差ur

圖3 直徑分別為0.25 mm、0.30 mm的尼龍線的實驗結(jié)果(圖中實心三角形、空心正方形分別對應(yīng)直徑0.25 mm尼龍線、直徑0.30 mm尼龍線的實驗結(jié)果，長虛線是理論重力加速度值，兩條短虛線是理論重力加速度值的千分之一誤差的上下限)

表7列出了直徑分別為0.20 mm、0.25 mm、0.30 mm的魚線的實驗測量結(jié)果、測量的相對誤差以及測量值與公認(rèn)值之間的相對偏差，圖4為直徑分別為0.20 mm、0.25 mm、0.30 mm的魚線的實驗測量結(jié)果分布圖.

表7 不同直徑(D)魚線的實驗測量結(jié)果、測量的相對誤差ug/g以及測量值與公認(rèn)值之間的相對偏差ur

圖4 直徑分別為0.20 mm、0.25 mm、0.30 mm的魚線的實驗結(jié)果(圖中空心正方形、實心圓圈、實心三角形分別對應(yīng)直徑0.25 mm魚線、直徑0.30 mm魚線、直徑0.20 mm魚線的實驗結(jié)果，三條虛線的物理含義同圖3)

在兩種不同直徑的尼龍線中，直徑0.30 mm的尼龍線測得的重力加速度g值更接近準(zhǔn)確值. 在三種不同直徑的魚線中，直徑0.20 mm的魚線測得的重力加速度g值最接近準(zhǔn)確值，直徑0.30 mm的魚線次之，直徑0.25 mm的魚線測得的重力加速度g值誤差最大. 其中以直徑0.20 mm的魚線為擺線所測得的重力加速度g與公認(rèn)值之間的偏差都在0.1%左右，其中80%測量值的偏差在0.1%以內(nèi)，獲得了較高的測量精度.

表8列出了直徑同為0.25 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結(jié)果、測量的相對誤差以及測量值與公認(rèn)值之間的相對偏差，圖5為直徑同為0.25 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結(jié)果分布圖.

表8 直徑為0.25 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結(jié)果、測量的相對誤差ug/g以及測量值與公認(rèn)值之間的相對偏差ur

圖5 直徑為0.25 mm的尼龍線和魚線的實驗結(jié)果(圖中實心三角形、空心正方形分別對應(yīng)直徑0.25 mm尼龍線、直徑0.25 mm魚線的實驗結(jié)果，三條虛線的物理含義同圖3)

表9列出了直徑同為0.30 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結(jié)果、測量的相對誤差以及測量值與公認(rèn)值之間的相對偏差，圖6為直徑同為0.30 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結(jié)果分布圖.

表9 直徑為0.30 mm的尼龍線和魚線的實驗測量結(jié)果、測量的相對誤差ug/g以及測量值與公認(rèn)值之間的相對偏差ur

圖6 直徑為0.30 mm的尼龍線和魚線的實驗結(jié)果(圖中實心圓圈、實心三角形分別對應(yīng)直徑0.30 mm尼龍線、直徑0.30 mm魚線的實驗結(jié)果，三條虛線的物理含義同圖3)

在兩種不同材質(zhì)的擺線中，無論直徑為0.25 mm還是0.30 mm，采用魚線測得的重力加速度g值均優(yōu)于采用尼龍線測量的結(jié)果.

通過以上幾組數(shù)據(jù)的分析可以發(fā)現(xiàn)：

1) 直徑相同時，魚線的測量結(jié)果明顯優(yōu)于尼龍線. 由于尼龍線是由三股細線繞制而成，實驗時擺線的旋轉(zhuǎn)不可避免，尼龍線越收越緊，擺線長度的實際變化量與測量值偏差較大，并且尼龍線質(zhì)量相對較大，因此實驗誤差相對較大.

2) 不同直徑的擺線對測量值的影響并不與直徑呈線性相關(guān). 擺線直徑增大時，其質(zhì)量增大，會增大實驗誤差，但根據(jù)楊氏模量E的定義公式E=FL/SL. 對于材料相同、直徑不同的擺線，在擺線長度L和擺線受力F相同的情況下，擺線直徑增大時，即橫截面積S增大時，擺線因受力產(chǎn)生的形變量ΔL減小，因擺線伸長而帶來的實驗誤差減小.因此對于材料相同、直徑不同的擺線，不同直徑導(dǎo)致以上兩方面的差異都會對實驗結(jié)果造成影響.

3.3 考慮單擺周期公式的一階小量后對實驗結(jié)果的影響

由單擺周期公式(2)，當(dāng)θ很小時，近似得到公式(3). 在考慮單擺周期公式中的一階小量之后，近似為

對直徑0.25 mm的魚線數(shù)據(jù)進行一階小量的修正，結(jié)果如圖7.

圖7 直徑0.25 mm魚線，考慮單擺周期公式的一階小量前后的實驗結(jié)果(圖中空心正方形、實心三角形分別對應(yīng)直徑0.25 mm魚線考慮一階小量修正前后的實驗結(jié)果，三條虛線的物理含義同圖3)

考慮單擺周期公式的一階小量修正后的結(jié)果比未修正前(即忽略一階及以上小量)的結(jié)果更接近真實值(實驗編號5的數(shù)據(jù)可認(rèn)為是實驗的偶然性).但是否考慮單擺周期公式的一階小量對實驗結(jié)果的影響遠小于擺線的直徑和材質(zhì)對實驗結(jié)果的影響.

4 結(jié)論

通過將直接測量單擺擺長改進為測量擺長的改變量，可以提高重力加速度的測量精度，最佳實驗條件下重力加速度的測量精度可達到0.1%. 在實驗測量過程中，改變擺長時應(yīng)使擺長逐漸增大.

在本文選取的5種不同的線中，直徑0.20 mm的魚線測量結(jié)果最優(yōu). 考慮單擺周期公式的一階小量后使得實驗結(jié)果更接近準(zhǔn)確值. 但是否考慮單擺周期公式的一階小量對實驗結(jié)果的影響遠小于擺線的直徑和材質(zhì)對實驗結(jié)果的影響.