“電動(dòng)力學(xué)”中的矢量及矢量微分運(yùn)算淺析

胡響明

(華中師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430079)

電磁場(chǎng)強(qiáng)度是在空間具有分布的矢量場(chǎng)，產(chǎn)生電磁場(chǎng)的電荷電流也是在空間具有分布或者運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)源.顯然，為了描述電磁場(chǎng)與電荷電流之間的相互作用，通常我們不得不使用矢量張量及其矢量微分運(yùn)算[1-6].首先，矢量張量是描述電磁場(chǎng)必不可少的數(shù)學(xué)工具，要讓初學(xué)者自覺(jué)自愿理解和接受并非易事.盡管物理規(guī)律確實(shí)并不依賴坐標(biāo)系，但是在定量研究物理規(guī)律時(shí)又不得不利用物理量在一定坐標(biāo)系中的分量，這是一對(duì)矛盾.正是為了解決這一對(duì)矛盾，人們引入了矢量張量的概念.解決矛盾的辦法，就是在某一坐標(biāo)系中給出矢量張量分量的同時(shí)，還要規(guī)定它隨坐標(biāo)系變換而變換的規(guī)律[7].顯然，矢量張量的分量總是依賴坐標(biāo)系的.不過(guò)，只要有了矢量張量在任意一個(gè)坐標(biāo)系中的分量，就可根據(jù)變換規(guī)律獲得任何其它坐標(biāo)系的客觀物理量.平常所說(shuō)“客觀物理規(guī)律不依賴坐標(biāo)系”的含義，并不是指一個(gè)物理量在不同坐標(biāo)系中都取一樣的值，而是在很多情形都會(huì)取不同的值(標(biāo)量除外)，只是在物理量取不同值的同時(shí)仍然保持相同的規(guī)律.然而，只要知道了這個(gè)物理量在某一坐標(biāo)系中的取值，由坐標(biāo)變換關(guān)系就確定了它在任何其它坐標(biāo)系中的取值.由此可見(jiàn)，坐標(biāo)系及其變換關(guān)系對(duì)矢量張量的定義本身是多么重要.

在我們可能還沒(méi)有使初學(xué)者足夠充分理解這種變換規(guī)律的必要性和緊迫性時(shí)，這里不妨舉個(gè)例子，或許會(huì)引起初學(xué)者的好奇心，初學(xué)者可能會(huì)有一定的認(rèn)識(shí).在一個(gè)慣性參考系中一個(gè)靜止點(diǎn)電荷只有標(biāo)勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度(φ≠0,E≠0)，沒(méi)有矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度(A=0,B=0).當(dāng)我們轉(zhuǎn)換到另一個(gè)慣性參考系時(shí)，電荷是勻速運(yùn)動(dòng)的，有電流形成，電流就會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，此時(shí)我們既有電場(chǎng)也有磁場(chǎng)(A≠0,B≠0).同一個(gè)點(diǎn)電荷，僅僅因?yàn)閼T性參考系不同，對(duì)磁場(chǎng)的描述似乎截然相反，哪個(gè)是正確的呢? 顯然兩者都是正確的，只是因?yàn)閰⒖枷挡煌煌?原來(lái)，標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)分別是電磁場(chǎng)四維矢量(φ/c,A)的分量，其中真空中光速c是為統(tǒng)一量綱所用.相應(yīng)地，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度的各分量是電磁場(chǎng)四維二階張量的分量.作為矢量張量的分量，必然會(huì)隨坐標(biāo)系變換而變換.在某個(gè)慣性系中為零的分量在另一慣性系中很可能不為零[8].由此可見(jiàn)，使初學(xué)者充分理解和接受使用矢量張量的必要性和緊迫性并盡早予以加強(qiáng)，這本身就是“電動(dòng)力學(xué)”教學(xué)中一項(xiàng)非常重要的基礎(chǔ)內(nèi)容.

也許有一個(gè)看似有理的認(rèn)識(shí)，物理規(guī)律不必定依賴于數(shù)學(xué)公式也能表述.不少初學(xué)者可能覺(jué)得，只需要理解物理規(guī)律，不需要數(shù)學(xué)也能把“電動(dòng)力學(xué)”學(xué)好.畢竟，每個(gè)初學(xué)者或多或少都有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，若要明顯提升數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并非一日之功.這個(gè)認(rèn)識(shí)可能會(huì)使不少初學(xué)者低估或者忽視使用矢量張量的必要性和緊迫性.于是不少初學(xué)者可能沒(méi)有提前或者及時(shí)為本課程做好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的充分準(zhǔn)備.也許還有一個(gè)看似有理的邏輯，數(shù)學(xué)可以在需要之時(shí)再學(xué)，不少初學(xué)者覺(jué)得在“電動(dòng)力學(xué)”學(xué)習(xí)進(jìn)程中有時(shí)間再學(xué).然而，與之前接觸的普通物理“電磁學(xué)”課程不同的是，隨著課程的深入，初學(xué)者會(huì)感受到“電動(dòng)力學(xué)”自始至終無(wú)處不用矢量及其矢量微分運(yùn)算.不少初學(xué)者會(huì)感到越來(lái)越難適應(yīng)，甚至在中途就難以跟上既定的學(xué)習(xí)進(jìn)度.據(jù)本人多年教學(xué)經(jīng)歷了解到，當(dāng)前國(guó)內(nèi)本科階段“電動(dòng)力學(xué)”初學(xué)者受此限制的人不在少數(shù).正因?yàn)檫@樣，本文以此為題，與相關(guān)教師交流[9,10]，供初學(xué)者參考.

1 電磁作用基本方程

電磁作用基本方程是一組矢量微分方程.矢量張量及其矢量微分運(yùn)算隨坐標(biāo)系變換而變換是描述電荷與電磁場(chǎng)局域相互作用無(wú)法回避的問(wèn)題，這在相對(duì)論電動(dòng)力學(xué)中將得到充分體現(xiàn).我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的牛頓經(jīng)典力學(xué)可用一個(gè)基本方程就能描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化.這個(gè)方程可表述為: 物體動(dòng)量矢量對(duì)時(shí)間的變化率等于物體所受的作用力矢量.現(xiàn)在我們要學(xué)的“電動(dòng)力學(xué)”基本方程是一組矢量微分方程—麥克斯韋方程組，它包括四個(gè)相互耦合的矢量微分方程[1-6]：

(1)

其中E為電場(chǎng)強(qiáng)度，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，ρ為電荷密度，J為電流密度，ε0是真空電容率，μ0是真空磁導(dǎo)率.這組方程是經(jīng)麥克斯韋總結(jié)實(shí)驗(yàn)定律并提出位移電流假設(shè)而建立起來(lái)的.與牛頓方程相比，麥克斯韋方程組在數(shù)量和形式上復(fù)雜許多.初學(xué)者必定會(huì)問(wèn)，為什么基本方程就如此復(fù)雜? 如何求解? 方程及其解描述的物理本質(zhì)是什么? 復(fù)雜之處體現(xiàn)在兩個(gè)方面.一是研究對(duì)象包括兩個(gè)矢量場(chǎng)，一個(gè)是電場(chǎng)E，一個(gè)是磁場(chǎng)B，它們相互耦合；二是電磁場(chǎng)與電荷電流的作用不只是時(shí)間演化，同時(shí)表現(xiàn)為空間局域作用(散度·E,·B和旋度×E,×B)，時(shí)間微分項(xiàng)對(duì)旋度作貢獻(xiàn).事實(shí)上，最初的麥克斯韋方程組是用分量表達(dá)的，方程形式還要復(fù)雜很多.相對(duì)而言，現(xiàn)在的矢量形式已經(jīng)是非常簡(jiǎn)潔明晰了.為了體現(xiàn)局域作用，作為矢量微分運(yùn)算的散度和旋度就是必不可少的.然而，作為大學(xué)生，這還是第一次在物理專業(yè)基礎(chǔ)課程中接觸到如此復(fù)雜的矢量微分方程組.一個(gè)自然的事情就是，不少初學(xué)者可能由此感受到矢量及其矢量微分運(yùn)算帶來(lái)的巨大壓力.教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，通常初學(xué)者在學(xué)時(shí)有限的情況下面臨的困難或者困惑，并不必定只是矢量張量本身，更可能是對(duì)使用矢量張量的必要性和緊迫性的心理接受程度.只有自愿或者自主接受矢量張量及其微分運(yùn)算不可避免這一事實(shí)，初學(xué)者才會(huì)及時(shí)充分利用課余時(shí)間盡早加強(qiáng)矢量張量及其矢量微分運(yùn)算的基礎(chǔ).

建立微分方程組的必要性本質(zhì)上在于要研究電磁場(chǎng)與電荷電流之間的相互作用. 以靜電問(wèn)題為例來(lái)說(shuō)明.設(shè)電荷分布于區(qū)域V′內(nèi)x′點(diǎn)的電荷密度為ρ(x′),則空間x點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度E(x)由

(2)

給出, 其中dV′為x′處的體積元,R=|x-x′|是電荷源點(diǎn)到電場(chǎng)場(chǎng)點(diǎn)之間的距離. 初學(xué)者一般已經(jīng)熟悉上述公式和思想. 只要空間中所有電荷分布都給定, 無(wú)論這個(gè)分布多么復(fù)雜, 那么原則上電場(chǎng)E的分布就已經(jīng)確定了. 但是, 問(wèn)題的轉(zhuǎn)折點(diǎn)就在于: 電荷分布并不能事先完全給定. 只要有部分電荷沒(méi)有給定, 我們就無(wú)法從方程(2)直接計(jì)算電場(chǎng). 舉一個(gè)簡(jiǎn)單而又最具代表性的例子, 在一個(gè)導(dǎo)體球附近某處放置一個(gè)電荷, 導(dǎo)體表面上就會(huì)因?yàn)楦浇c(diǎn)電荷的存在而產(chǎn)生感應(yīng)電荷分布,感應(yīng)電荷分布并不能事先給定, 它依賴于所放置點(diǎn)電荷的大小和遠(yuǎn)近. 既然導(dǎo)體表面上的電荷分布是未知函數(shù), 那么無(wú)法簡(jiǎn)單地從方程(2)計(jì)算出空間中的電場(chǎng). 在上述例子中, 實(shí)際上包括了如下物理過(guò)程. 1)點(diǎn)電荷激發(fā)了電場(chǎng), 電場(chǎng)作用到導(dǎo)體自由電子上, 引起他們運(yùn)動(dòng), 使導(dǎo)體上的電荷重新分布. 2)點(diǎn)電荷和導(dǎo)體上感應(yīng)電荷共同給出總電場(chǎng), 即點(diǎn)電荷和導(dǎo)體上感應(yīng)電荷激發(fā)的電場(chǎng)疊加在一起. 3)導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷分布密度, 由上述總電場(chǎng)決定. 這3個(gè)方面表明, 電荷分布和電場(chǎng)分布是互相制約的, 一方面感應(yīng)電荷的出現(xiàn)是由電場(chǎng)引起的, 另一方面電場(chǎng)又包括感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn). 此時(shí)方程(2)雖然仍然能夠描述電荷分布和電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系, 但是兩邊都是未知的, 只是一個(gè)形式上的等式關(guān)系而已. 顯然方程(2)并不足以解決電荷分布未事先完全確定的靜電相互作用問(wèn)題. 因此我們要建立描述電荷與電場(chǎng)相互作用普遍規(guī)律的微分方程, 利用邊值問(wèn)題予以解決. 在目前這個(gè)階段認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題, 對(duì)初學(xué)者或許是相當(dāng)重要的起點(diǎn).

2 電磁勢(shì)矢量

電磁勢(shì)矢量是描述電磁作用不可替代的重要物理量.究其原因，有2方面.

1) 電磁勢(shì)描述電磁場(chǎng)給我們帶來(lái)實(shí)質(zhì)上的方便[1-6].電磁勢(shì)矢量是通過(guò)矢量微分從兩個(gè)麥克斯韋方程定義的.因?yàn)椤=0，可利用旋度定義矢勢(shì)A:

B=×A

(3)

(4)

將這兩個(gè)定義代入到電場(chǎng)散度和磁場(chǎng)旋度方程并考慮洛倫茨規(guī)范[6]:c2·A+?φ/?t=0(相對(duì)論協(xié)變性原理的要求，標(biāo)勢(shì)φ和矢勢(shì)A并不相互獨(dú)立,c2=1/μ0ε0)，得到電磁勢(shì)服從的達(dá)朗貝爾方程:

(5)

經(jīng)過(guò)冗長(zhǎng)但是直接的過(guò)程求得其解為[1-6]

(6)

其中t時(shí)刻x處的電磁場(chǎng)是較早時(shí)刻t′=t-R/c從源點(diǎn)x′處輻射傳播距離R=|x-x′|到達(dá)的.從表達(dá)式(6)看出, 電磁勢(shì)依賴于時(shí)空點(diǎn)(x′,t′)的電荷密度ρ(x′,t′)和電流密度J(x′,t′).對(duì)于恒定情形電磁勢(shì)則不依賴于時(shí)間, 經(jīng)過(guò)(3)和(4)的微分運(yùn)算后電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度呈現(xiàn)R-2依賴, 局限于電荷電流附近, 其中電場(chǎng)如方程(1)所示. 然而, 對(duì)于依賴時(shí)間的電磁輻射情形, 電磁場(chǎng)強(qiáng)度(E,B)還以t′=t-R/c時(shí)刻的電荷電流密度依賴于R. 對(duì)時(shí)空微分后, 電磁場(chǎng)會(huì)呈現(xiàn)R-1依賴的輻射場(chǎng)，傳播到無(wú)窮遠(yuǎn)處.

2) 電磁勢(shì)本身具有物理實(shí)在性，在近代物理領(lǐng)域具有重要地位[1-6].帶電量q的粒子與電磁場(chǎng)相互作用的能量和動(dòng)量分別為qφ和qA.磁場(chǎng)改變電子衍射條紋的效應(yīng)表明，局域化磁場(chǎng)引起電子衍射條紋的移動(dòng)，不能由局域磁感應(yīng)強(qiáng)度B描述其相位，而只能由磁場(chǎng)矢勢(shì)A描述.在涉及質(zhì)點(diǎn)高速運(yùn)動(dòng)時(shí)，在某參考系中，質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間t位于x處，時(shí)空不再能分離，而是統(tǒng)一在一起，成為一個(gè)整體矢量(ct,x).既然時(shí)空是統(tǒng)一的整體矢量，在坐標(biāo)系變換時(shí)就會(huì)發(fā)生相互的轉(zhuǎn)化，即矢量分量之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)化, 包括時(shí)間和空間之間的轉(zhuǎn)化.時(shí)空的統(tǒng)一，決定了標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)統(tǒng)一為四維電磁勢(shì)矢量(φ/c,A).標(biāo)勢(shì)和矢勢(shì)就會(huì)在坐標(biāo)系變化時(shí)發(fā)生相互轉(zhuǎn)化.帶電粒子在外加電磁場(chǎng)中的能量動(dòng)量四維矢量為Pα=q(φ/c,A), 依賴于電磁勢(shì).由此清楚可見(jiàn)電磁勢(shì)的物理實(shí)在意義.

3 四維矢量的構(gòu)建與微分運(yùn)算

四維矢量的構(gòu)建與矢量微分運(yùn)算是相對(duì)論電動(dòng)力學(xué)的重要內(nèi)容.根據(jù)相對(duì)論中的光速不變?cè)?，將時(shí)間t和空間矢量x統(tǒng)一到間隔概念之中.類似于三維空間的矢量模長(zhǎng)，推廣到時(shí)間與空間統(tǒng)一的四維空間來(lái)定義模長(zhǎng)，即間隔

s2=(ct)2-x2

(7)

其中時(shí)間ct以零時(shí)刻為起點(diǎn), 空間x以坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0,0)為起點(diǎn), 空間部分對(duì)間隔的貢獻(xiàn)為x2=x2+y2+z2.間隔可能取正值, 可能取負(fù)值, 也可能為零. 從此時(shí)間t和空間x=(x,y,z)不再相互獨(dú)立，它們隨坐標(biāo)變換發(fā)生相互之間的變換, 這對(duì)初學(xué)者而言是一個(gè)全新的時(shí)空觀念.以下三個(gè)方面表明四維矢量及其矢量微分運(yùn)算是相對(duì)論電動(dòng)力學(xué)的重要內(nèi)容.

1) 平面矢量推廣到非歸一時(shí)空平面，獲得洛倫茲變換.設(shè)平面標(biāo)系∑系(x,y)與∑′系(x′,y′)重合，然后∑′系繞坐標(biāo)原點(diǎn)相對(duì)于∑系旋轉(zhuǎn)θ角度，熟知的坐標(biāo)變換關(guān)系為[7]

x′=xcosθ+ysinθ，

y′=-xsinθ+ycosθ

(8)

這個(gè)坐標(biāo)系的基矢量具有正交歸一性.我們通過(guò)類比即相對(duì)簡(jiǎn)單地給出這里的相對(duì)論時(shí)空變換.現(xiàn)在我們需要認(rèn)識(shí)時(shí)空統(tǒng)一后不同慣性系之間的關(guān)系，它與時(shí)空分離的空間坐標(biāo)系平移直觀圖像并不相同.對(duì)于時(shí)空分離情形，時(shí)間視為分離的獨(dú)立參量，不在坐標(biāo)系中體現(xiàn)出來(lái)，人們可直觀見(jiàn)到空間坐標(biāo)系的平移.然而，對(duì)于時(shí)空統(tǒng)一之后的慣性系圖像，情況就很不相同，我們需要對(duì)此有明確的認(rèn)識(shí).設(shè)一空間坐標(biāo)系∑(Oxyz，坐標(biāo)原點(diǎn)為O)，另有一空間坐標(biāo)系∑′(O′x′y′z′，坐標(biāo)原點(diǎn)為O′).初始時(shí)刻兩個(gè)空間坐標(biāo)系∑和∑′完全重合，之后∑′系以速度v沿∑系的空間坐標(biāo)軸x正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所有空間坐標(biāo)軸保持平行.因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)只沿x軸方向，另外兩個(gè)空間分量y和z則保持不變，此時(shí)我們只需要考慮空間分量x與時(shí)間分量ct構(gòu)成二維平面坐標(biāo)系, 討論它們隨慣性系變化而變化的規(guī)律.

將時(shí)間和空間分量統(tǒng)一后，∑系和∑′系都變成包括一個(gè)時(shí)間軸和一個(gè)空間軸的二維平面坐標(biāo)系，如圖1所示.

圖1 洛倫茲變換的幾何圖

對(duì)于現(xiàn)在的時(shí)空坐標(biāo)系∑和∑′而言,O點(diǎn)既是空間的原點(diǎn)也是時(shí)間的原點(diǎn)，同一事件P在∑系表示為(ix,ct)，在∑′系表示為(ix′,ct′)，其中虛數(shù)單位i就是源于間隔中空間項(xiàng)為負(fù).空間坐標(biāo)系∑′中的O′點(diǎn)只代表空間坐標(biāo)原點(diǎn), 但不代表時(shí)間原點(diǎn). 以O(shè)′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)前后作為兩個(gè)事件來(lái)說(shuō)明兩個(gè)時(shí)空慣性系之間的變換關(guān)系. 作為第一事件, 初始時(shí)刻O(píng)′點(diǎn)與時(shí)空原點(diǎn)O重合, 在兩個(gè)慣性系的時(shí)空坐標(biāo)都為(0,0).作為第二事件,O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后, 在∑′系自身看來(lái)，在空間上并沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，位移保持為零，x′O′=0, 只是時(shí)間上經(jīng)歷了ct′O′(固有時(shí)), 時(shí)空坐標(biāo)為(0,ct′O′).注意，O′點(diǎn)只是代表坐標(biāo)系∑′的空間原點(diǎn)，并不代表時(shí)間原點(diǎn)，O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間由ct′軸上的取值ct′O′來(lái)度量.然而，在∑系看來(lái)，O′點(diǎn)不僅經(jīng)歷了時(shí)間AO′=ctO′，而且發(fā)生了位移OA=vtO′，時(shí)空坐標(biāo)變?yōu)?ivtO′,ctO′).根據(jù)O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)前后作為兩個(gè)事件在∑和∑′系中的間隔保持不變, 我們可以發(fā)現(xiàn)圖中三個(gè)時(shí)空線段OA、AO′和OO′構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理(ct′O′)2=(ctO′)2+(ivtO′)2.從幾何關(guān)系清楚地看出，時(shí)空慣性系∑相對(duì)于∑′旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度iζ，tan(iζ)=itanhζ=iv/c，其中虛數(shù)角度源于空間分量x的虛數(shù)單位.相對(duì)而言，∑′系相對(duì)于∑系旋轉(zhuǎn)了-iζ.以上分析表明，時(shí)間ct與空間分量x統(tǒng)一后的時(shí)空平面坐標(biāo)系變換在形式上與通常的空間平面坐標(biāo)系變換完全相同，都是繞原點(diǎn)O“旋轉(zhuǎn)”，只是原來(lái)的坐標(biāo)分量x變?yōu)閕x，y變?yōu)閏t，∑′系相對(duì)于∑系旋轉(zhuǎn)的角度θ變?yōu)?iζ.對(duì)任一事件P，作對(duì)應(yīng)替換(x,y)→(ix,ct)，(x′,y′)→(ix′,ct′)，θ→-iζ, 根據(jù)坐標(biāo)變換關(guān)系(8)，我們立即獲得從∑到∑′系的洛倫茲變換[6]

ct′=ctcoshζ-xsinhζ,

x′=xcoshζ-ctsinhζ

(9)

由于虛數(shù)單位的出現(xiàn)，式(8)中的三角函數(shù)現(xiàn)在變成了雙曲函數(shù)coshζ=γ,sinhζ=γβ，其中參數(shù)(β,γ)為

(10)

洛倫茲變換公式(9)正是光速不變?cè)淼慕Y(jié)果.上述變換可以做兩個(gè)推廣. 一是∑′系相對(duì)于∑系沿任一方向發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)(保持坐標(biāo)軸平行), 三個(gè)空間坐標(biāo)分量x=(x,y,z)都可參與變換. 二是∑′系相對(duì)于∑系以隨時(shí)間變化速度v=dx(t)/dt發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng), 此時(shí)時(shí)空變換變?yōu)槲⒎中问?

xα=(ct,x)或者xα=(ct,-x)

(11)

上標(biāo)代表逆變分量, 下標(biāo)代表協(xié)變分量. 不過(guò)這里的逆變矢量和協(xié)變矢量只是空間部分相差一個(gè)負(fù)號(hào), 它們之間通過(guò)一個(gè)度規(guī)張量gαβ=eα·eβ或gαβ=eα·eβ聯(lián)系,xα=gαβxβ,xα=gαβxβ, 度規(guī)張量的非零元素為g00=g00=1,gll=gll=-1(l=1,2,3). 以四維時(shí)空矢量為基礎(chǔ)可以構(gòu)建一系列四維矢量. 例如, 構(gòu)建的四維速度矢量Uα=dxα/dτ=γ(c,v)(其中,τ為固有時(shí),v可以沿任意方向并可隨時(shí)間變化)用來(lái)定義電流密度四維矢量Jα=ρ0Uα(ρ0為靜止電荷密度)和能量動(dòng)量四維矢量Pα=m0Uα(m0為靜止質(zhì)量). 再如,微分算符?α≡?/?xα=(?/?x0,-)及拉普拉斯算符□=?α?α用來(lái)表達(dá)物理量的時(shí)間演化和空間局域化定律.相對(duì)論協(xié)變性原理可以表示為

如果

Aα=Bα那么A′α=B′α

(12)

光速不變?cè)砜梢员硎緸?/p>

(13)

3) 構(gòu)建四維電磁勢(shì)矢量和電磁場(chǎng)張量，利用矢量微分表述并求解麥克斯韋方程.四維時(shí)空中的電磁勢(shì)定義為[6]

Aα=(φ/c,A)

(14)

它可用來(lái)構(gòu)建二階電磁場(chǎng)張量Fαβ=?αAβ-?βAα, 即

(15)

可見(jiàn)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度只是電磁場(chǎng)張量的分量.按照矢量張量的洛倫茲變換，我們就容易回答引言提出的問(wèn)題.顯然，作為矢量的電磁勢(shì)Aα與由電磁場(chǎng)強(qiáng)度構(gòu)成的二階張量Fαβ相比，求解前者有源微分方程的復(fù)雜程度要小很多.事實(shí)上，麥克斯韋方程的協(xié)變形式與電磁勢(shì)的達(dá)朗貝爾方程是等價(jià)的.加上對(duì)偶張量Gαβ=∈αβλτFλτ/2(∈αβλτ是四階完全反對(duì)稱逆變張量)，可將麥克斯韋方程寫(xiě)成協(xié)變形式[6]:

?αFαβ=μ0Jβ, ?αGαβ=0

(16)

其中第二個(gè)為齊次方程，本質(zhì)上決定電磁勢(shì)的引入，第一個(gè)為非齊次方程，代表電荷電流對(duì)電磁勢(shì)的貢獻(xiàn).非齊次方程在洛倫茨規(guī)范[6](?βAβ=0)下實(shí)質(zhì)上就是四維電磁勢(shì)矢量的達(dá)朗貝爾方程:

□Aα=μ0Jα

(17)

(18)

(19)

其中β=v(t′)/c是電荷在t″時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度與真空中光速之比,eR是電荷源點(diǎn)x′到場(chǎng)點(diǎn)x相對(duì)位置矢量R=x-x′的單位矢量.可見(jiàn)求得電磁勢(shì)并不復(fù)雜.然而, 對(duì)電磁勢(shì)矢量的時(shí)空統(tǒng)一微分運(yùn)算就不是那么簡(jiǎn)單，甚至?xí)容^復(fù)雜，好在運(yùn)算仍然是直接的.可求得電磁場(chǎng)強(qiáng)度為[6]

(20)

4 結(jié)論

總之，本文分析了矢量及其矢量微分運(yùn)算在“電動(dòng)力學(xué)”體系中的特殊基礎(chǔ)地位.既然“電動(dòng)力學(xué)”要同時(shí)研究電磁系統(tǒng)的時(shí)間演化和空間局域作用，那么這就決定了“電動(dòng)力學(xué)”自始至終需要使用矢量及其矢量微分運(yùn)算.基本方程形式與方程的求解、恒定場(chǎng)與電荷電流作用、電磁場(chǎng)的傳播與輻射等，各部分都離不開(kāi)使用矢量及其矢量微分運(yùn)算，相應(yīng)的物理規(guī)律表達(dá)形式和相關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程相對(duì)復(fù)雜很多.幸好，電磁勢(shì)不僅自身具有不可替代的物理意義，它能夠使得問(wèn)題的解決得到相對(duì)簡(jiǎn)化，為電磁規(guī)律的描述提供極大方便.初學(xué)者熟悉矢量(包括張量)及其矢量微分運(yùn)算必定會(huì)收到事半功倍的效果.教學(xué)過(guò)程中充分重視矢量及其矢量微分運(yùn)算的特殊地位，能夠顯著提升“電動(dòng)力學(xué)”的教學(xué)效果, 強(qiáng)化物理專業(yè)人才的專業(yè)基礎(chǔ).