一類臨界的擬線性薛定諤方程組基態(tài)解的存在性

董 楠 王麗麗

(吉林省通化師范學(xué)院 134001)

本文主要在R3中研究耦合的擬線性薛定諤方程組

基態(tài)解的存在性，其中p,q≥2,4

擬線性薛定諤方程有著深厚的物理背景，具體可參考文獻(xiàn)[1]-[3].近年來關(guān)于擬線性薛定諤方程組的研究有很多,本文參考文獻(xiàn)[4]-[6].定義希爾伯特空間

假設(shè)以下條件成立，其中i=1,2：

(V1)Vi∈C(R3)且存在常數(shù)b>0，使得m{x∈R3:Vi(x)

(V2)0=Vi(0)≤Vi(x)≤maxVi.

(K)0

定理1.1 假設(shè)(V1)-(V2)，(K)成立.那么對(duì)?σ>0，?τσ>0，使得當(dāng)ε≤τσ時(shí)，方程組(1)至少有一個(gè)正解uε∈(uε,vε).

一、等價(jià)變分問題

令λ=ε-2，則對(duì)于λ→+，方程組(1)等價(jià)于

因此，對(duì)于?λ>0，范數(shù)||·||等價(jià)于如下范數(shù)

方程組(2)對(duì)應(yīng)的能量泛函為

利用變量替換u:=f-1(u1)，v:=f-1(v1)，其中f為如下定義

且f(t)=-f(-t),t∈(-,0].

函數(shù)f的性質(zhì)參看文獻(xiàn)[7].變量變化后的能量泛函為

根據(jù)假設(shè)(V1)和(K)知Φλ為C1的且在E上有意義.

二、(P.S.)c序列

引理3.1 假設(shè)(V1)-(V2)和(K)成立.設(shè)(un)是泛函Φλ的(P.S.)c序列,則c≥0，且(un)在E中有界.

證明設(shè)(un)是一個(gè)(P.S.)c序列：

根據(jù)(K)及4

(3)

又由(K)和(V2)及函數(shù)f的性質(zhì)可得

從而有

引理3.2假設(shè)(un)是引理3.1中定義的.則

因此，我們得到

三、山路幾何結(jié)構(gòu)

引理4.1存在ρ,α>0,使得當(dāng)||u||λ=ρ時(shí),有

引理4.2 對(duì)于上述ρ，存在一個(gè)常數(shù)β>0，使得inf||u||λ=ρΦλ(u)≥β.

顯然，對(duì)于任意的ε>0，存在Cε>0，使得