一類退化加性噪聲驅(qū)動的隨機(jī)偏微分方程的振幅方程

雷 婷， 陳光淦

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院可視化計算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗室，四川成都610068）

隨機(jī)偏微分方程在物理、化學(xué)等應(yīng)用學(xué)科中具有重要的意義.例如，確定性的Cahn-Hilliard方程描述了材料科學(xué)中某些重要的定性特征［1-2］，隨機(jī)增長模型［3-4］模擬了粗糙非晶體曲面，以及隨機(jī)Kuramoto-Sivashinsky模型［5-6］刻畫了地表侵蝕問題.這些模型都滿足本文研究的抽象形式.

本文關(guān)心一類含退化噪聲的隨機(jī)偏微分方程

其中算子A、L、B以及擾動參數(shù)ε和噪聲W的定義詳見第一節(jié).

對于方程（1），不同的噪聲強(qiáng)度和擾動強(qiáng)度影響著系統(tǒng)最終有效行為.Bl?mker等研究了隨機(jī)偏微分方程在擾動強(qiáng)度為0，噪聲強(qiáng)度為ε-1［7］；擾動強(qiáng)度為0，噪聲強(qiáng)度為情形下的有效行為.本文主要目的是推導(dǎo)出方程（1）的有效逼近系統(tǒng)——振幅方程，給出振幅方程的具體形式以及解逼近的收斂刻畫.

1 預(yù)備知識

讓H表示Hilbert空間，其內(nèi)積和范數(shù)可表示為＜·，·＞和‖·‖.

假設(shè)1設(shè)A是H空間上自伴隨的非正算子，其特征值的相反數(shù)滿足0≤λ1≤λ2≤…≤λk≤…，并且對所有足夠大的k，有λk≥Ckm成立.是特征向量對應(yīng)的完備正交系，并且Aek＝-λkek.

令N：＝kerA，T：＝N⊥是N在空間H的正交補(bǔ)集，并且Pc：H→N，Ps：＝I-Pc.Ps和Pc與算子A可交換.假設(shè)N的維數(shù)為n，基為｛e1，e2，…，en｝.任給α∈R，則為H空間上的完備正交基.算子Dα為Dαek＝kαek，所以有‖u‖α＝‖Dαu‖成立.

注記2由假設(shè)1定義的算子A生成解析半群｛etA｝t≥0，進(jìn)一步

引理3［9］在假設(shè)1條件下，存在常數(shù)M＞0和K＞0，對任意的t＞0，β≤α和任意的u∈Hβ，滿足

假設(shè)4（算子L） 固定α∈R，當(dāng)β∈［0，m），則L：Hα→Hα-β為連續(xù)線性映射.一般而言，算子L不與Ps和Pc交換.

假設(shè)5（雙線性算子B） 設(shè)α、β是假設(shè)4中的參數(shù)，B是從Hα×Hα到Hα-β的有界雙線性映射，滿足B（u，v）＝B（v，u），并且對任意的u∈N，滿足PcB（u，u）＝0.簡記符號Bs＝PsB，Bc＝PcB，其中Ps、Pc如前面定義.

為使符號簡潔，令F：N→N，對任意的u∈N，有

則F是對稱映射F：N3→N，特別地F（u）＝F（u，u，u）.

根據(jù)假設(shè)，可推出F是三線性的連續(xù)算子.因此，F(xiàn)也是有界算子.

引理6［9］非線性算子F滿足

進(jìn)一步，存在δ＞0，滿足

和

設(shè)W是抽象完備概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的柱狀Wiener過程.W的有界協(xié)方差算子為Q：H→H，其中｛αk｝k是一組有界實(shí)序列，｛f k｝k∈N是H空間上的一組正交基.

假設(shè)7假設(shè)

定義8定義隨機(jī)卷積為

定義9（停時） 對于N×T-值隨機(jī)過程（a，和時間T0＞0，定義停時

定義10對于實(shí)值隨機(jī)過程構(gòu)成的集合｛Xε（t）｝t≥0，若對任意的p≥1，存在常數(shù)Cp，滿足

則記Xε＝O（fε），這里fε為無窮小量ε的冪函數(shù)，如

本文除特別說明外，C表示所有正的常數(shù).

2 振幅方程

將方程（1）的解u分解為

其中a∈N，ψ∈T，時間尺度變換T＝ε2t，則

和

其中?W（T）：＝εW（ε-2T）是時間尺度變化后的Wiener過程.

對Bc（a，A-1sψ）運(yùn)用It?公式，結(jié)合（11）和無窮小量ε，得到

令b：［0，T0］→N是方程

的解，則稱方程（14）為方程（1）的振幅方程.當(dāng)ε充分小時，它將收斂到方程（1）的解.最后將證明方程（1）的解為

若令余項R為

則可得到帶余項的振幅方程

3 主要結(jié)論和證明

對任意的ε∈（0，1），T≤τ*，

證明考慮方程（12）則T

因此可得到

利用引理3，當(dāng)0≤β＜m時，對任意的T≤τ*，滿足

其中利用了τ*的定義和假設(shè)4.類似的，對任意的T≤τ*，有

結(jié)合4項的結(jié)果得到（18）式.

引理12［9］在假設(shè)1和7的條件下，‖z（0）‖α＝O（1）.對任意的κ0＞0，p＞1和T＞0，存在常數(shù)C＞0，滿足

引理13在假設(shè)1和5的條件下，利用停時τ*的定義，對任意的ε∈（0，1），則

這套叢書項目由姚安縣民族宗教局主持，列入云南省民族宗教委和楚雄州民族宗教委的“民族文化精品工程”。主編郭曉煒具體負(fù)責(zé)采訪、收集、整理和翻譯。這項工作從性質(zhì)上講，跟老版《梅葛》都屬于政府的民族文化工程，但做法上則有很大不同。表現(xiàn)在以下幾方面：

證明利用引理3和假設(shè)5，當(dāng)T＜τ*時有進(jìn)而（20）式得證.

引理14設(shè)引理11、12和13成立.對任意的p≥1，存在常數(shù)C＞0，滿足

證明由（18）式，運(yùn)用三角不等式和假設(shè)5，得到

利用引理12和13，（21）式得證.

推論15在引理14的條件下，對任意的p＞1，存在一個常數(shù)C＞0，滿足

證明由切比雪夫不等式

運(yùn)用（21）式，完成證明.

引理16若假設(shè)1、4、5和7成立，對任意的p＞1，存在常數(shù)C＞0滿足

證明對于R的有界性，通過證明（15）式中右端12項各項的有界來說明.這個證明過程依賴假設(shè)5和對任意的γ∈R，δ≥0，滿足‖ψ‖γ≤C‖ψ‖γ+δ.同時，因為Bc（a（τ），A-1sψ（τ））∈N和A-1s是T?Hα空間上的有界線性算子，所以從0到停時τ*的范圍內(nèi)有運(yùn)用停時τ*的定義，得到

則有

由Burkholder-Davis-Gundy不等式得到

其中｛gk｝k∈N是H空間上的任意正交基，Dα由定義1給出.HS是空間H上的Hilbert-Schmidt算子空間，空間上范數(shù)為‖Ψ‖HS＝Tr［ΨΨ*］.因此，

其中

整合R中的12項，又因為在停時的定義中所以可得到結(jié)論（23）.

引理17假設(shè)1、4、5和7成立.N空間上的隨機(jī)過程b（T）其初始條件是E‖b（0）‖≤C，t

對T0＞0，存在常數(shù)C＞O，滿足

證明方程（27）解的存在唯一性是成立的.下面驗證（28）式，

在公式（29）等號兩邊做內(nèi)積＜·，b＞，得到利用Young不等式、Cauchy-Schwarz不等式和假設(shè)6，得到

忽略4次項，在［0，T］上積分，兩邊同取次，再取期望，從而得證（28）式.

定義18設(shè)空間Ω*?Ω，且滿足

注記19集合Ω*的概率近似于1，因為

運(yùn)用Chebycher不等式和引理14、16和17，當(dāng)q充分大時，滿足

引理20假設(shè)1、4、5、6和7成立.b為（27）式的解.a由（16）式給出定義，在空間Ω*上有若初始條件滿足a（0）＝b（0），對上有

和

證明定義φ（T）為

由（18）式得到義h（T）為定

從（35）式中減去（27）式，得到

參見文獻(xiàn)［9］引理28，得到在空間Ω*上

運(yùn)用（31）和（36）式，得到第一部分的結(jié)論

對于定理的第二部分，考慮

運(yùn)用第一部分結(jié)論和（32）式，得出結(jié)論（34）.

定理21（逼近定理） 在假設(shè)1、4、5和7的條件下，由公式（10）定義的u為方程（1）的解，其初值條件為其中a（0）和b（0）階數(shù)為1.設(shè)b為振幅方程（16）的解.對任意的p＞1和T0＞0，存在常數(shù)C＞0，滿足

證明對于停時，注意到

對于逼近結(jié)論，運(yùn)用（11）式和三角不等式，得到

由（30）和（33）式，在空間Ω*上有