基于混合卷積窗三譜線插值的諧波分析方法

王鶴蓉，關(guān)煥新，郭祎珅，楊 柏，吳 迪

（1.沈陽(yáng)工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110136；2.國(guó)網(wǎng)錦州供電公司，遼寧 錦州 121000；3.國(guó)網(wǎng)張掖供電公司，甘肅 張掖 734000；4.國(guó)網(wǎng)朝陽(yáng)供電公司，遼寧 朝陽(yáng) 122000）

0 引言

近年來(lái)，在電力電子技術(shù)的廣泛應(yīng)用下，非線性負(fù)載逐漸增多，隨之產(chǎn)生大量諧波，不僅影響智能變電站和換流站中某些設(shè)備運(yùn)行，更有可能危及電力系統(tǒng)的安全。為減少諧波產(chǎn)生的危害，提高諧波檢測(cè)中各項(xiàng)參數(shù)的準(zhǔn)確度成為重要的研究?jī)?nèi)容。目前，國(guó)內(nèi)外針對(duì)諧波檢測(cè)研究的方法有快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）［1］、瞬時(shí)無(wú)功功率［2］、小波變換［3］、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［4］等。其中，快速傅里葉變換（FFT）諧波檢測(cè)法被廣泛應(yīng)用，但信號(hào)一般很難做到同步采樣，采用此方法時(shí)會(huì)產(chǎn)生頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)，給諧波檢測(cè)造成誤差。通過(guò)對(duì)信號(hào)加窗函數(shù)的方法能改善頻譜泄漏造成的誤差，譜線插值算法能減少柵欄效應(yīng)產(chǎn)生的誤差［5］。常用的窗函數(shù)有矩形窗［6］、海明窗［7］、Hanning 窗［8］、Kaiser 窗［9］、Blackman 窗［10］、Nuttall 窗［11］等。不同窗函數(shù)的特性決定頻譜泄漏的改善效果。一般而言，主瓣窄而旁瓣衰減速率快的窗函數(shù)能夠有效地抑制頻譜泄漏的問(wèn)題，文獻(xiàn)［12］提出了用若干個(gè)卷積窗的卷積運(yùn)算構(gòu)造出一類新的窗函數(shù)并稱其為卷積窗，文獻(xiàn)［13］通過(guò)分析凱塞窗函數(shù)的主瓣與旁瓣衰減可自由選擇的特性，提出了凱塞窗插值FFT 方法。但就單一的窗函數(shù)來(lái)說(shuō)，主瓣較窄的窗函數(shù)往往旁瓣特性較差。文獻(xiàn)［14-16］分別提出了Hanning 自卷積窗算法、Nuttall 自卷積窗算法和Rife-Vincent 自卷積窗算法。雖然這些自卷積型的窗函數(shù)比經(jīng)典的單一窗函數(shù)抑制頻譜泄漏更好，但窗函數(shù)多階卷積運(yùn)算也會(huì)造成計(jì)算量大的問(wèn)題，影響了諧波檢測(cè)的精確度。為更好地抑制頻譜泄漏的問(wèn)題，文獻(xiàn)［17］提出用Hanning窗和Nuttall 窗進(jìn)行卷積，利用兩種窗函數(shù)的特性構(gòu)造一種新型窗函數(shù)稱為混合卷積窗，但其并未考慮選取特性較好的窗函數(shù)。文獻(xiàn)［18］提出一種由矩形窗和余弦窗的L階混合卷積窗，但選用了雙譜線插值算法，文獻(xiàn)［19］在文獻(xiàn)［17］的基礎(chǔ)上將混合卷積窗再進(jìn)行L階自卷積的雙譜線插值算法，并不能更好地抑制柵欄效應(yīng)的問(wèn)題。

考慮到Kaiser 窗能夠靈活自由地調(diào)節(jié)主瓣寬度與旁瓣衰減速率之間的比重，且不受旁瓣性能制約，Hanning 窗是最常用的一種主瓣寬度較窄的余弦窗，將二者進(jìn)行卷積運(yùn)算構(gòu)件一種頻譜特性優(yōu)良的混合卷積窗，并采用加三譜線插值算法，運(yùn)用多項(xiàng)式擬合得到修正公式。經(jīng)過(guò)經(jīng)典信號(hào)和復(fù)雜信號(hào)的仿真分析對(duì)比，驗(yàn)證了此混合卷積窗的有效性和諧波檢測(cè)的準(zhǔn)確性。

1 混合卷積窗

1.1 Hanning窗

Hanning 窗又稱升余弦窗，是一種常用窗函數(shù)，其時(shí)域表達(dá)式為

式中：N為總采樣點(diǎn)數(shù)；n為階數(shù)，n=1，2，…，N-1。

Hanning窗的頻域特性如圖1所示。

圖1 Hanning窗頻域特性

1.2 Kaiser窗

Kaiser 窗函數(shù)由零階Bessel 函數(shù)構(gòu)成，其特點(diǎn)是可以靈活自由地調(diào)節(jié)主瓣與旁瓣之間的比重，頻帶內(nèi)主要能量集中在主瓣中，其時(shí)域表達(dá)式為

式中：I0為 第1 類零階Bessel 函數(shù)；n的范圍為；β為Kaiser窗函數(shù)中可調(diào)的形狀參數(shù)，可自由調(diào)節(jié)主瓣與旁瓣之間的比重，由式（3）確定。

式中：α為Kaiser窗函數(shù)中主瓣與旁瓣的差值。

Kaiser窗的頻域表達(dá)式為

式中：w為表達(dá)式自變量。

若將式（4）中的頻域信號(hào)平移(N-1)∕2 個(gè)單位，使其滿足在［0，N-1］的范圍內(nèi)，則

由圖2可以看出，不同的β值所對(duì)應(yīng)的頻域特性曲線各不相同。當(dāng)β=0 時(shí)，Kaiser 窗變?yōu)槌Ｒ?guī)矩形窗，其旁瓣衰減速率為6 dB∕oct，旁瓣峰值為-13 dB；當(dāng)β=4 時(shí)，其旁瓣衰減速率為7 dB∕oct，旁瓣峰值為-30 dB；當(dāng)β=8 時(shí)，其旁瓣衰減速率為12 dB∕oct，旁瓣峰值為-58 dB；當(dāng)β=11 時(shí)，其旁瓣衰減速率為18 dB∕oct，旁瓣峰值為-82 dB。由此可見(jiàn)，隨著β值增大，旁瓣衰減速率不斷增加，但β過(guò)大會(huì)增加計(jì)算量，因此此處選擇β值為18。

圖2 Kaiser窗頻域特性

1.3 混合卷積窗—Hanning&Kaiser

所構(gòu)建的混合卷積窗Hanning &Kaiser 的諧波檢測(cè)方法是將Hanning 窗函數(shù)與Kaiser 窗函數(shù)運(yùn)用卷積運(yùn)算的方法，組成一個(gè)新的混合型卷積窗函數(shù)［20］?；旌暇矸e窗函數(shù)的表達(dá)式為

利用各個(gè)窗函數(shù)的表達(dá)式可在MATLAB 軟件中將各窗函數(shù)的幅頻特性圖表示出來(lái)并進(jìn)行比較?；旌暇矸e窗Hanning &Kaiser、Hanning 窗和Kaiser 窗的幅頻特性對(duì)比如圖3 所示，其中窗函數(shù)階數(shù)n=128，β=18。

圖3 三類窗函數(shù)頻譜特性對(duì)比

由圖3 可看出，從橫向角度上，混合卷積窗Hanning&Kaiser 的主瓣寬度比Hanning 窗和Kaiser 窗窄許多；從斜率角度上，混合卷積窗Hanning&Kaiser的旁瓣衰減速率要比單一的Hanning窗和Kaiser窗更快。

2 混合卷積窗的三譜線插值算法

對(duì)單一信號(hào)x(t)進(jìn)行采樣，其中采樣頻率為fs，基頻為f0，幅值為A，相角為φ，采樣后得到的離散信號(hào)x(n)進(jìn)行加窗后的離散傅里葉表達(dá)式為［21］

由于非同步采樣會(huì)產(chǎn)生柵欄效應(yīng)［22］，在實(shí)際的信號(hào)采樣中，導(dǎo)致kp不是整數(shù)［23］。為抑制此問(wèn)題的產(chǎn)生，選用三譜線插值法進(jìn)行修正。設(shè)目標(biāo)頻點(diǎn)kp附近的最大譜線為km，其左譜線和右譜線分別為km-1、km+1，則有β=k-km，其范圍為-0.5＜β＜0.5。

令X為x的離散信號(hào)，則3 條譜線的幅值分別為y1=|X(km-1)|、y2=|X(km)|、y3=|X(km+1)|，可得：

通過(guò)式（7）和式（8）得出

式中：γ=f(β)，其反函數(shù)為β=f-1(γ)，通過(guò)多項(xiàng)式擬合逼近的方法得到逼近式：

式中：a1，…，a2l-1和c0，…，c2l為常數(shù)。

運(yùn)用MATLABR2018a中的多項(xiàng)式擬合函數(shù)可求出β和h（β），即可得到頻率、幅值和相位的修正公式［17］。其中，混合卷加窗的插值修正公式為

3 仿真分析對(duì)比

3.1 經(jīng)典信號(hào)的仿真分析

為驗(yàn)證仿真的有效性，采用典型的包含21 次諧波的復(fù)雜信號(hào)模型［24-25］，如式（12）所示。

式中：基頻f0=50.1Hz；采樣頻率fs=5 120 Hz；截取信號(hào)的長(zhǎng)度為1 024、Ai、φi為第i次諧波的幅值和相角。具體參數(shù)如表1所示。

表1 選取信號(hào)參數(shù)值

分別用快速傅里葉變換加Hanning 窗三譜線插值、加Kaiser 窗三譜線插值以及混合卷積窗Hanning&Kaiser三譜線插值對(duì)復(fù)雜信號(hào)進(jìn)行仿真分析，得出3種方法仿真結(jié)果如圖4—圖6所示。

圖4 3種方法的幅值相對(duì)誤差對(duì)比

圖5 3種方法的頻率相對(duì)誤差對(duì)比

圖6 3種方法的相位相對(duì)誤差對(duì)比

通過(guò)對(duì)比3 種方法的幅值、相位、頻率的相對(duì)誤差，可得出Hanning&Kaiser 混合卷積窗三譜線插值方法精度較單一的窗函數(shù)三譜線插值法的精度高很多，與其他兩種方法的精度相差2～3個(gè)數(shù)量級(jí)。

3.2 混合卷積窗信號(hào)分析對(duì)比

針對(duì)混合卷積窗的諧波信號(hào)分析，以9 次諧波信號(hào)為研究對(duì)象進(jìn)行仿真，其模型如式（13）所示，具體仿真信號(hào)的參數(shù)見(jiàn)表2［26］。

式中：f0為50.1 Hz，fs為1 500 Hz。

表2 仿真信號(hào)諧波參數(shù)

選用Hanning&Blackman 混合卷積窗與混合卷積窗Hanning &Kaiser 的方法對(duì)上述信號(hào)進(jìn)行仿真分析?；旌暇矸e窗窗長(zhǎng)為256，均采用三譜線插值算法。仿真分析結(jié)果的相對(duì)誤差對(duì)比值見(jiàn)表3—表4。

對(duì)比Hanning&Kaiser 算法與Hann &Blackman混合卷積窗的幅值、相位的相對(duì)誤差結(jié)果，可知所構(gòu)建的混合卷積窗較Hanning&Blackman 混合卷積窗的精確度都有所提高。由此可進(jìn)一步地得出所構(gòu)建的Hanning &Kaiser 混合卷積的窗函數(shù)加三譜線插值算法能夠進(jìn)一步抑制頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的問(wèn)題，提高快速傅里葉變換諧波檢測(cè)方法的精確度。

表3 幅值相對(duì)誤差對(duì)比

表4 相位相對(duì)誤差對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

為抑制快速傅里葉變換產(chǎn)生的頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的問(wèn)題，根據(jù)不同窗函數(shù)的特點(diǎn)，將具有主瓣寬度較窄的Hanning 窗函數(shù)和能夠靈活調(diào)節(jié)主旁瓣之間比重的Kaiser 窗函數(shù)運(yùn)用卷積運(yùn)算的方法組成一種新的混合卷積窗函數(shù)來(lái)抑制頻譜泄漏，并采用三譜線插值算法，通過(guò)多項(xiàng)式擬合函數(shù)求出修正公式，防止柵欄效應(yīng)，并用于諧波檢測(cè)分析。

通過(guò)仿真結(jié)果對(duì)比分析，構(gòu)建的基于Hanning&Kaiser 窗的混合卷積窗三譜線插值快速傅里葉變換算法與單一的窗函數(shù)和其他混合卷積窗三譜線插值法相比，所得到的各次諧波的幅值、相位、頻率相對(duì)誤差較小，提高了諧波檢測(cè)的準(zhǔn)確性并驗(yàn)證了此方法的有效性。