一類(lèi)具有時(shí)滯的非線性物價(jià)模型的穩(wěn)定性與Hopf分支

廖茂新,鄧興穎,張露露

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,中國(guó) 衡陽(yáng) 421001)

0 引 言

在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，商品的供給、需求都與物價(jià)存在著一定關(guān)系。本文假設(shè)需求與價(jià)格的關(guān)系，不是線性的，當(dāng)價(jià)格不超過(guò)購(gòu)買(mǎi)力所能承受的最大值時(shí)，需求刺激物價(jià)上漲，物價(jià)與需求正相關(guān)，而當(dāng)物價(jià)上漲超過(guò)這個(gè)值時(shí)，隨價(jià)格的上升，購(gòu)買(mǎi)量會(huì)下降，兩者負(fù)相關(guān)。供給與價(jià)格的關(guān)系則是正相關(guān)的，但是價(jià)格對(duì)供給量的影響，不應(yīng)該是簡(jiǎn)單的隨著價(jià)格的上升供給無(wú)限制的上升，因此本文假設(shè)供給函數(shù)是價(jià)格的分式線性函數(shù)，并且存在時(shí)間的滯后。

1 模型的建立

為更準(zhǔn)確的反映物價(jià)變化的過(guò)程，王樹(shù)禾在《微分方程模型與混沌》(見(jiàn)文獻(xiàn)[1])一書(shū)中探討與線性方程相比其更能反映物價(jià)變化的一些深層次規(guī)律，通過(guò)設(shè)p(t)，Q(t)，S(t)，D(t)分別表示t時(shí)刻的價(jià)格、庫(kù)存、供給與需求，建立了如下關(guān)于物價(jià)的非線性微分方程模型：

(1)

(2)

S(t)=S0+α

(3)

(4)

(5)

考慮到價(jià)格對(duì)供給量的影響，不應(yīng)該是簡(jiǎn)單的隨著價(jià)格的上升供給無(wú)限制的上升，并且其中存在時(shí)滯，因此這里將供給函數(shù)(3)改成如下形式：

(6)

其中，τ>0是反應(yīng)時(shí)滯，則得到了關(guān)于物價(jià)的非線性微分方程模型：

(7)

下面將對(duì)模型(7)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行研究，利用泛函微分方程的穩(wěn)定性理論與Hopf分支理論討論了模型(7)的穩(wěn)定性與Hopf分支的存在性。

2 模型的動(dòng)力學(xué)分析

2.1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

(8)

(9)

系統(tǒng)(9)的特征方程為：

經(jīng)過(guò)計(jì)算可得到方程：

(10)

證明：當(dāng)τ=0時(shí)，方程(10)變?yōu)椋?/p>

(11)

特征根為：

當(dāng)且僅當(dāng)ap02+bp0+c<0時(shí)，方程(11)的所有根具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部。

2.2 模型Hopf分支的存在

下面將研究時(shí)滯τ對(duì)系統(tǒng)(8)動(dòng)力學(xué)行為影響。即對(duì)系統(tǒng)(8)的平衡點(diǎn)M的穩(wěn)定性和周期解存在性的影響。

引理2特征方程(10)有唯一一對(duì)純虛根±iω0。

證明：設(shè)iω(ω>0)是方程(10)的根。代入(10)并進(jìn)行實(shí)虛分離得：

(12)

兩邊平方相加得：

(13)

可得：

(14)

顯然，方程(14)僅有一個(gè)正實(shí)根

(15)

將ω0代入式(12)計(jì)算得

其中j=0,1,2

(16)

為了證明系統(tǒng)(8)Hopf分支的存在，下面證明橫截性條件。將方程(10)對(duì)τ求導(dǎo)數(shù)得

整理得

于是有

當(dāng)τ=τ0時(shí)

所以有

由引理1、2結(jié)合Hopf分支理論與文獻(xiàn)[5]可得到如下結(jié)論：

3 數(shù)值模擬

由定理1可知，當(dāng)選擇τ=11<τ0=12.3267時(shí)，對(duì)應(yīng)的波形和相位圖如圖1所示。當(dāng)τ=13>τ0時(shí),對(duì)應(yīng)的波形和相位圖如圖2所示。

圖1 當(dāng)τ=11<τ0時(shí)，系統(tǒng)(8)的零解是穩(wěn)定的Fig.1 when τ=11<τ0 , the zero solution of system (8) is stable

圖2 當(dāng)τ=13>τ0時(shí)，系統(tǒng)(8)在平衡點(diǎn)處喪失穩(wěn)定性、出現(xiàn)Hopf分支Fig.2 When τ=13>τ0, the system (8) loses stability at the equilibrium point, and the Hopf branch appears

由圖1可以看出，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。由圖2可知，系統(tǒng)(8)在平衡點(diǎn)經(jīng)歷Hopf分支。并且時(shí)滯對(duì)系統(tǒng)(8)的動(dòng)力學(xué)行為有顯著影響。