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    水稻流行性病蟲害傳播系統(tǒng)的漸近解

    2021-03-15 03:48:04汪維剛汪維蓮汪方圓
    中州大學(xué)學(xué)報(bào) 2021年1期
    關(guān)鍵詞:感者流行性動(dòng)力學(xué)

    汪維剛,汪維蓮,汪方圓

    (1.安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,安徽 蕪湖 241003;2.蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院 應(yīng)用外語(yǔ)學(xué)院,安徽 蕪湖 241000;3.合肥幼兒師范高等專科學(xué)校 公共教學(xué)部,安徽 合肥 230011;4.云南大學(xué) 軟件學(xué)院, 云南 昆明,650091)

    0 引 言

    當(dāng)前農(nóng)藥濫用現(xiàn)象普遍,食品中毒、地表水污染、肺癌發(fā)病與死亡等變化率在上升,讓人感到可怕的是不少農(nóng)民竟然還沒有意識(shí)到其巨大危害性.為了在理論和實(shí)踐雙層面上解決農(nóng)藥適量使用問(wèn)題,極大可能地將農(nóng)藥對(duì)土壤、水稻等的毒副作用降低到最低程度,同時(shí)降低農(nóng)業(yè)生產(chǎn)成本,當(dāng)前迫在眉睫的任務(wù)是研究水稻流行性病蟲害傳播系統(tǒng)的漸近性。文獻(xiàn)[1-5]主要研究了針對(duì)病蟲害的不同類型在水稻生長(zhǎng)的不同階段所采用的不同方法,有物理防治方法、生物防治方法、農(nóng)業(yè)防治法和化學(xué)防治方法;文獻(xiàn)[6-7]研究了噴灑農(nóng)藥主要集中在水稻害蟲蟲卵的高發(fā)階段,并采取了循序漸進(jìn)的方式噴灑,而不是批量消滅害蟲,避免了病蟲卵產(chǎn)生抗藥體;文獻(xiàn)[8-40]研究了農(nóng)藥對(duì)不同類型的病蟲害使用策略及效用等;而且文獻(xiàn)[5-6,8-40]都不同程度地指出了過(guò)于依賴化學(xué)農(nóng)藥的投入,以及化學(xué)農(nóng)藥使用的不合理,都必將造成環(huán)境污染,破壞生態(tài)環(huán)境.

    1 水稻流行性病蟲害傳播系統(tǒng)

    1.1 流行性病蟲害傳播動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型

    考慮如下水稻流行性病蟲害傳播的生態(tài)動(dòng)力學(xué)的系統(tǒng)模型:

    (1.1)

    (1.2)

    (1.3)

    其中u(t)和v(t)分別表示在水稻流行性病蟲害傳播區(qū)域內(nèi)的感染者株數(shù)和易感者株數(shù),t為時(shí)間變量,d≥0表示易感者出生率,a,a1,b,b1,c,c1均為常數(shù).在生態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1.1),(1.2)中,auv表示由感染者與易感者因“交感”而造成的水稻被侵害增加速度,-buv2表示由采取防疫和治療措施后使得水稻被侵害減少的速度,af1(u)表示由于水稻死亡而引起的水稻被侵害減少速度,-a1uv項(xiàng)表示感染者與易感者“交感”易感者變?yōu)楦腥菊吆笫沟靡赘姓咚鶞p少的速度,-b1u2v項(xiàng)表示采取防疫和治療措施后使得易感者所減少的速度,c1u項(xiàng)表示感染者增多時(shí)易感者的增加速度,a1f2(v)表示其他因素的影響。系統(tǒng)(1.1),(1.2)是一個(gè)典型的在患區(qū)水稻的流行性病蟲害傳播的生態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型。由于(1.1),(1.2)是非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),它一般不能得到系統(tǒng)的初等函數(shù)的精確解,故求動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1.1),(1.2)解的漸近表達(dá)式,從將得到的表示式來(lái)定性地研究水稻流行性病蟲害的傳播形態(tài)和規(guī)律,其中N(t)為農(nóng)藥需求函數(shù),Nt=0=N0,Nm為水稻生長(zhǎng)環(huán)境對(duì)農(nóng)藥使用的最大容量,r為參數(shù),t為時(shí)間。

    1.2 變分迭代

    從Eqs.(1.1),(1.2)可構(gòu)建如下泛函:

    (1.4)

    (1.5)

    令δFi=0,i=1,2.得到

    因此,

    λ1=exp(β(t-τ)),β=bv2,λ2=1

    (1.6)

    從 Eqs.(1.6),(1.4) 和 (1.5),我們構(gòu)建下列泛函變分迭代式

    (1.7)

    (1.8)

    我們選取如下零次迭代解

    (1.9)

    (1.10)

    u0|t=0=u(0),v0|t=0=v(0)

    (1.11)

    其中u(0),v(0)是初始值 ,得到線性問(wèn)題 (1.9)-(1.11)的解

    u0(t)=u(0)exp(-βt)

    (1.12)

    (1.13)

    用零次近似解(1.12)和 (1.13) 替代廣義泛函變分迭代式(1.7)和(1.8),我們能得到此模型(1.1),(1.2)的一次近似解:

    0

    (1.14)

    (1.15)

    這里

    (1.16)

    (1.17)

    (1.18)

    0

    (1.19)

    (1.20)

    1.3 泛函分析同倫映射

    為了使用泛函映射方法得到水稻流行性病蟲害傳播的生態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的模型(1.1),(1.2)的漸近解,令

    (1.21)

    其中p∈[0,1]為人工參數(shù)[47,48].現(xiàn)引入一組泛函分析同倫映射Hi(u,v,p),R2×I→R,i=1,2:

    H1(u,v,p)=L1(u,v)-L1(u0,v0)+p[L1(u0,v0)-auv+buv2-af1(u)]

    (1.22)

    H2(u,v,p)=L2(u,v)-L2(u0,v0)+p[L2(u0,v0)+a1uv+b1u2v-c1u-a1f2(v)]

    (1.23)

    其中I=[0,1],R=(-∞,+∞),(u0,v0)為水稻流行性病蟲害傳播的生態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1.1),(1.2)的初始的函數(shù),線性算子 為

    (1.24)

    (1.25)

    顯然,由(1.22)-(1.25)式知,Hi(u,v,1)=0(i=1,2)是水稻流行性病蟲害傳播的生態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1.1),(1.2).故系統(tǒng)(1.1),(1.2)的解(u(t),v(t))就是系統(tǒng)Hi(u,v,p)=0的解當(dāng)p→1的極限.

    2 動(dòng)力學(xué)模型漸近解

    (1.26)

    (1.27)

    且由(1.26),(1.27)式,初始值為u(0)=A1,v(0)=A2的解,不難可得到:

    (1.28)

    (1.29)

    將(1.21)式代入(1.22),(1.23)式,展開非線性項(xiàng)關(guān)于p的冪級(jí)數(shù),比較等式兩邊p的同次冪項(xiàng)的系數(shù)。由p的零次冪的系數(shù)可得

    (1.30)

    U0(t)=u0(t)=A1exp(-ct)

    (1.31)

    (1.32)

    由動(dòng)力學(xué)模型(1.1),(1.2)解的零次近似(1.31),(1.32)及泛函分析同倫映射(1.22),(1.23)可得:

    (1.33)

    (1.34)

    其中u0,v0分別為(1.31),(1.32),不難看出,系統(tǒng)(1.33),(1.34)且在零初始條件(u1(0),v1(0))=(0,0)下的解為

    (1.35)

    (1.36)

    由(1.21),(1.31),(1.32),(1.35),(1.36)式知,令p=1,水稻流行性病蟲害傳播的生態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1.1),(1.2)的一次函數(shù)(U1,V1)是:

    (1.37)

    (1.38)

    由動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型(1.1),(1.2)解的零次近似(1.31),(1.32)及(1.35),(1.36)式和泛函分析同倫映射(1.22),(1.23)可得:

    (1.39)

    (1.40)

    其中ui,vi(i=1,2)分別為(1.31),(1.32),(1.35),(1.36).不難看出,動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1.39),(1.40)且在零初始條件(u2(0),v2(0))=(0,0)下的解為

    (1.41)

    (1.42)

    同樣可得水稻流行性病蟲害傳播的生態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(1.1),(1.2)解的n次函數(shù)(Un,Vn)(n=3,4,…)。

    3 結(jié)語(yǔ)

    在物理防治、生物防治、農(nóng)業(yè)防治等方法綜合使用的基礎(chǔ)上,研究了水稻流行性病蟲害傳播規(guī)律,使用藥量在多因素綜合影響下確保毒副作用小、水稻安全生產(chǎn)、生產(chǎn)成本小等目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn),在文獻(xiàn)[41-43]的啟發(fā)下建立了數(shù)學(xué)模型,并用變分迭代、同倫映射等方法求出了水稻流行性病蟲害傳播的生態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的漸近解,真正實(shí)現(xiàn)科學(xué)地使用農(nóng)藥,從而造福人類.

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