聚焦空間觀念 培養(yǎng)核心素養(yǎng)
——以蘇科版數(shù)學(xué)“豐富的圖形世界”教學(xué)為例

■孫凱

“豐富的圖形世界”是蘇科版初中數(shù)學(xué)教材“圖形與幾何”領(lǐng)域的起始課。本節(jié)課是讓學(xué)生在基本平面圖形和常見立體圖形的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，認(rèn)識(shí)棱、錐兩種幾何體的下位概念（棱柱、棱錐）。大部分教師對(duì)這節(jié)課的認(rèn)知僅僅停留在幾何概念教學(xué)上，認(rèn)為教學(xué)重點(diǎn)是數(shù)學(xué)概念——棱柱、棱錐。近期，筆者準(zhǔn)備在蘇州市初中數(shù)學(xué)課改活動(dòng)中展示課例“豐富的圖形世界”，在第一次磨課后的研討交流中，有教師認(rèn)為這節(jié)課的重點(diǎn)應(yīng)放在棱柱和棱錐兩個(gè)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)上，而筆者并不認(rèn)同?；趯?duì)課程標(biāo)準(zhǔn)的理解，研讀蘇科版、北師大版和人教版教材同一教學(xué)內(nèi)容的編寫意圖，筆者認(rèn)為蘇科版“豐富的圖形世界”作為初中學(xué)段“圖形與幾何”領(lǐng)域的起始課，教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)聚焦在學(xué)生空間觀念的培育上。課堂教學(xué)重心應(yīng)放在讓學(xué)生經(jīng)歷從觀察生活實(shí)物到觀察幾何模型，由幾何模型抽象出幾何圖形，再對(duì)幾何圖形進(jìn)行表達(dá)和思考上，即經(jīng)歷圖形抽象、表達(dá)、思考的完整過(guò)程，明確“圖形與幾何”領(lǐng)域的研究?jī)?nèi)容、構(gòu)成元素（基本圖形）、研究路徑等，在同化中獲得數(shù)學(xué)概念，培育學(xué)生的空間觀念。

一、空間觀念的內(nèi)涵

2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化；依據(jù)語(yǔ)言的描述畫出圖形等。良好的空間觀念體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：由簡(jiǎn)單的實(shí)物抽象出幾何圖形；由幾何圖形想象出實(shí)物；從復(fù)雜圖形中分解出簡(jiǎn)單的、基本的圖形；從基本的圖形中獲得基本元素及其關(guān)系；由文字或符號(hào)信息畫出圖形。2017年版《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出了數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，直觀想象就是其中之一。那么，直觀想象與空間觀念之間有什么關(guān)系呢？所謂直觀想象，是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。從能力維度來(lái)看，直觀想象包含兩個(gè)二級(jí)指標(biāo)，即空間觀念和幾何直觀。

顯然，空間觀念形成于學(xué)生的觀察、想象、比較、綜合、抽象、分析等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，貫穿于“圖形與幾何”學(xué)習(xí)的全過(guò)程。由物體抽象出幾何圖形或由幾何圖形聯(lián)想物體，其本質(zhì)是三維圖形（立體圖形）與二維圖形（平面圖形）的相互轉(zhuǎn)換的過(guò)程。學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上，運(yùn)用空間想象認(rèn)識(shí)事物，將獲取的信息在頭腦中加工，把表象抽象后并描述出來(lái)，使得空間觀念水平不斷提高。

二、教材分析與教學(xué)立意

“豐富的圖形世界”是學(xué)生進(jìn)入初中以來(lái)，從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向“圖形與幾何”領(lǐng)域的探索，由關(guān)注“數(shù)”的世界到關(guān)注“形”的世界。蘇科版數(shù)學(xué)教材在本課時(shí)的情境創(chuàng)設(shè)環(huán)節(jié)提供了以建筑為主要背景的圖片素材，內(nèi)容稍顯單一。結(jié)合人教版、北師大版教材的研讀，為凸顯“豐富的圖形世界”的主題，教師應(yīng)在課上展現(xiàn)豐富的生活圖片，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察并獲得基本的幾何體模型：柱體、錐體和球體。學(xué)生在觀察、想象、抽象、表達(dá)等活動(dòng)中明確幾何研究?jī)?nèi)容是物體的形狀、大小和位置關(guān)系。就本節(jié)課而言，整節(jié)課偏重于物體的形狀探索，以熟悉的長(zhǎng)方體模型為例，喚醒學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，明確點(diǎn)、線、面是幾何圖形的基本圖形，幾何圖形是由點(diǎn)、線、面組成的。以此為基礎(chǔ)，再由實(shí)物模型抽象出棱柱、棱錐的幾何圖形，引出新概念。這樣的設(shè)計(jì)遵循了奧蘇貝爾的“先行組織者”教學(xué)理論，有助于促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)遷移，建立新舊知識(shí)間的聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)知識(shí)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。在引入新概念后，通過(guò)做、思、說(shuō)等活動(dòng)，學(xué)生能更深刻地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，學(xué)會(huì)從基本圖形的視角，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述物體特征、用數(shù)學(xué)的思維思考圖形特征，傳遞幾何圖形研究的“套路”。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

1.情境創(chuàng)設(shè)。

千姿百態(tài)的圖形美化了我們的生活，也給我們帶來(lái)很多問(wèn)題。怎樣畫一個(gè)五角星？怎樣設(shè)計(jì)一個(gè)產(chǎn)品的包裝盒？怎樣繪制學(xué)校的局部平面圖？不同的圖形有什么特征和性質(zhì)？這些都需要我們了解更多的圖形知識(shí)。

活動(dòng)1欣賞圖片、觀察生活。

問(wèn)題1觀察圖1，說(shuō)說(shuō)你看到了什么，想到了什么。

圖1

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生欣賞圖片并描述觀察到的物體。比如學(xué)生說(shuō)出高樓大廈、上海東方明珠電視塔等信息，教師適時(shí)地把這些信息歸納為生活眼光下的觀察；又如學(xué)生說(shuō)出球、圓柱、高低、左右等信息，此時(shí)應(yīng)肯定他們能用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，并分別歸納為物體的形狀、大小和位置關(guān)系，指明這些是我們幾何研究的主要內(nèi)容。

問(wèn)題2在圖2中，你能找到哪些常見的幾何體？

圖2

問(wèn)題3如何從常見幾何體中抽象出幾何圖形？

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)物圖片，分別抽象出長(zhǎng)方體、正方體、圓柱、圓錐、球等熟悉的幾何圖形，感受圖形世界的多姿多彩。生活中存在多種多樣的幾何體，豐富的圖形美化了我們的生活。通過(guò)觀察獲得三個(gè)常見的幾何體模型：柱體、錐體、球體，獲得本課數(shù)學(xué)概念的上位概念。

2.探索圖形。

活動(dòng)2觀察長(zhǎng)方體模型（如圖3），認(rèn)識(shí)圖形。

問(wèn)題4說(shuō)一說(shuō)你對(duì)長(zhǎng)方體有哪些認(rèn)識(shí)。

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過(guò)長(zhǎng)方體實(shí)物模型，激活已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在介紹熟悉的幾何圖形（長(zhǎng)方體）的過(guò)程中，喚醒幾何圖形的相關(guān)知識(shí)，從點(diǎn)、線、面等元素角度描述這些常見的幾何體，為棱錐、棱柱的學(xué)習(xí)作鋪墊。

圖3

活動(dòng)3探索新圖形。

圖4

問(wèn)題5（1）想一想，從圖4的物體中能抽象出怎樣的幾何圖形？

（2）請(qǐng)大家根據(jù)蘇科版數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)七年級(jí)上冊(cè)附錄2、附錄3制作幾何體。你有什么發(fā)現(xiàn)？

（3）描述圖5中幾何體的特征。

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過(guò)對(duì)實(shí)物的觀察、交流，先想象，再抽象出幾何圖形，生成數(shù)學(xué)研究對(duì)象。學(xué)生使用蘇科版數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)手冊(cè)上的材料動(dòng)手制作棱柱、棱錐，以達(dá)到認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐的特征，經(jīng)歷研究幾何圖形的一般路徑，感悟平面圖形與立體圖形的關(guān)系的目的。

在此環(huán)節(jié)，教師給出底面、側(cè)面、棱、側(cè)棱、頂點(diǎn)等數(shù)學(xué)概念，然后引導(dǎo)學(xué)生描述幾何圖形的特征，使學(xué)生學(xué)會(huì)從面、線、點(diǎn)的視角用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，并借助實(shí)物幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。

練一練1（1）圍成下列幾何體的各個(gè)面中（如圖6），哪些面是平的？哪些面是曲的？

（2）將下列幾何體分類，并說(shuō)明理由。

2.判斷下列說(shuō)法是否正確。

（1）圓柱和圓錐的底面都是圓；

（2）正方體的各條棱長(zhǎng)都相等；

（3）棱柱的各條棱都相等；

（4）棱柱的上、下兩個(gè)底面形狀相同、大小相等；

（5）棱柱的側(cè)面可以是三角形；

（6）直棱柱的側(cè)面都是長(zhǎng)方形；

（7）正方體、長(zhǎng)方體也是棱柱。

3.觀察、抽象、表達(dá)圖7中的幾何圖形。

圖7

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生通過(guò)分類、辨析、觀察、表達(dá)，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用，結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境，發(fā)展空間觀念。

3.描述圖形。

活動(dòng)4用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述物體，交流互動(dòng)。

（1）用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)物的特征：

一名學(xué)生雙手在紙箱內(nèi)摸幾何體并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述其特征，其他學(xué)生根據(jù)他的描述說(shuō)出幾何體的名稱。描述的人不能說(shuō)出幾何體的名稱，只能從點(diǎn)、線、面三個(gè)方面分別描述三個(gè)特點(diǎn)。

（2）用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述幾何圖形：

一名學(xué)生面朝黑板，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述指定的幾何圖形特征，另一名學(xué)生背向黑板說(shuō)出幾何體名稱。

活動(dòng)5利用今天所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，介紹虎丘塔（如圖8）。

圖8

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生經(jīng)歷想一想——辨一辨——看一看的過(guò)程，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界。

4.思考展望。

問(wèn)題6我們后續(xù)將研究圖形的哪些知識(shí)？怎樣研究？

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生思考和猜想后續(xù)研究的內(nèi)容及方法，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界。

四、教學(xué)思考

1.明晰圖形研究“三要素”。

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)明晰圖形研究的“三要素”：研究?jī)?nèi)容、構(gòu)成元素（基本圖形）、研究路徑。幾何圖形的研究?jī)?nèi)容是圖形的形狀、大小、位置關(guān)系。幾何圖形是由點(diǎn)、線、面等元素構(gòu)成的，這就決定了研究幾何圖形的切入點(diǎn)是基本圖形（點(diǎn)、線、面）。比如在研究幾何圖形的位置關(guān)系時(shí)，應(yīng)從基本圖形的視角研究點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與線、線與面甚至面與面的位置關(guān)系，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)位置關(guān)系中必然蘊(yùn)含著數(shù)量關(guān)系。就本節(jié)課而言，研究?jī)?nèi)容和研究路徑是：實(shí)物幾何圖形推理。這也為學(xué)生后續(xù)研究幾何圖形提供了基本范式。

2.傳遞圖形研究“套路”。

理解教材、理解學(xué)生、找準(zhǔn)教學(xué)起點(diǎn)、明確教學(xué)終點(diǎn)是有效教學(xué)的基礎(chǔ)，依據(jù)奧蘇貝爾的“先行組織者”策略和逐漸分化原則，選擇先整體后局部、先上位后下位的教學(xué)路徑，以實(shí)現(xiàn)從教學(xué)起點(diǎn)到達(dá)教學(xué)終點(diǎn)的目的。章建躍博士指出，在“開篇”教學(xué)中，應(yīng)發(fā)揮“先行組織者”的作用，要充分重視構(gòu)建整章基本研究思路的教學(xué)，為整章學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。筆者對(duì)本節(jié)課的各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行了統(tǒng)領(lǐng)設(shè)置，加強(qiáng)前后教學(xué)活動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)，既有知識(shí)體系上的前后一致，又有研究方法上的“基本套路”的強(qiáng)化。在生活圖形的呈現(xiàn)順序上采用先整體后局部的方式；在知識(shí)體系上遵循了先上位后下位的教學(xué)原則，比如先認(rèn)識(shí)錐，再認(rèn)識(shí)圓錐、棱錐；在研究方法上，遵循逐漸分化原則，從圖形的構(gòu)成元素（基本圖形）上進(jìn)行分析表達(dá)，最后在教學(xué)中潛移默化地向?qū)W生傳遞幾何圖形研究“套路”。比如幾何圖形教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象→定義→分類→性質(zhì)→特例→應(yīng)用的研究過(guò)程，滲透研究幾何圖形的一般觀念，為后續(xù)幾何圖形的研究提供范式。

3.培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)以大量豐富的生活圖片為起點(diǎn)，讓學(xué)生充分體悟豐富的圖形世界，經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)世界到圖形世界的抽象過(guò)程，先經(jīng)歷從生活實(shí)物到幾何模型的第一次抽象，再經(jīng)歷從幾何模型到幾何圖形的第二次抽象，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。通過(guò)對(duì)幾何圖形（主要指立體圖形）基本組成元素的分析，感悟點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，或者建立發(fā)展空間觀念。結(jié)合具體幾何圖形（棱錐、棱柱）的結(jié)構(gòu)分析，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)圖形特征，發(fā)展數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)。整節(jié)課學(xué)生經(jīng)歷了用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界的完整過(guò)程，促進(jìn)了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。