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    2-范數(shù)線(xiàn)性空間的嚴(yán)格凸與一致凸性

    2021-03-14 12:18:04李珊珊崔云安
    關(guān)鍵詞:不動(dòng)點(diǎn)同理范數(shù)

    李珊珊 崔云安

    摘 要:2-范數(shù)線(xiàn)性空間是賦范線(xiàn)性空間的推廣,它定義了更為廣泛地范數(shù)。首先證明了2-范數(shù)線(xiàn)性空間中的壓縮映像原理是成立的,以及嚴(yán)格凸的2-范數(shù)線(xiàn)性空間中的非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)集是凸集;得到了有限維嚴(yán)格凸的2-范數(shù)線(xiàn)性空間是一致凸的,并證明了由向量積誘導(dǎo)的2-范數(shù)線(xiàn)性空間是一致凸的。

    關(guān)鍵詞:2-范數(shù)線(xiàn)性空間;壓縮映像原理;不動(dòng)點(diǎn);嚴(yán)格凸;一致凸

    DOI:10.15938/j.jhust.2021.06.021

    中圖分類(lèi)號(hào): O177.3

    文獻(xiàn)標(biāo)志碼: A

    文章編號(hào): 1007-2683(2021)06-0153-04

    Strict Convexity and Uniform Convexity in Linear 2-normed Spaces

    LI Shan-shan, CUI Yun-an

    (School of Sciences, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China)

    Abstract:Linear 2-normed space is a generalization of linear normed space, which defines a more extensive norm. In this paper, we get contraction mapping theorem in linear 2-normed space holds, and the set of fixed points for nonexpansive mapping is convex when linear 2-normed space is strictly convex. We obtain that the strictly convex linear 2-normed space with finite dimension is uniformly convex. Thus we get the corollary that the linear 2-normed space induced by the vector product is uniformly convex.

    Keywords:linear 2-normed space; contraction mapping theorem; fixed point; strict convexity; uniform convexity

    0 引 言

    1965年,蓋勒(Gahler)引入了2-范數(shù)線(xiàn)性空間,這是賦范線(xiàn)性空間的推廣,從那時(shí)起,許多學(xué)者就對(duì)其進(jìn)行了深入地研究和探討。1974年Charles Diminnie,Siegfried Gahler和Albert White給出了2-范數(shù)線(xiàn)性空間嚴(yán)格凸的定義,并給出了2-范數(shù)線(xiàn)性空間嚴(yán)格凸的4個(gè)充要條件。本文驗(yàn)證了2-范數(shù)線(xiàn)性空間中的壓縮映像原理是成立的,以及嚴(yán)格凸的2-范數(shù)線(xiàn)性空間中的非擴(kuò)張映射的不動(dòng)點(diǎn)集是凸集;討論了有限維嚴(yán)格凸的2-范數(shù)線(xiàn)性空間的一致凸性,證明了由向量積定義的2-范數(shù)空間是一致凸的。

    1 預(yù)備知識(shí)

    定義1[1] 設(shè)X是一個(gè)維數(shù)大于1的線(xiàn)性空間,稱(chēng)‖·,·‖:X×X→R+為2-范數(shù),如果滿(mǎn)足以下條件:

    ①‖x,y‖=0x,y是線(xiàn)性相關(guān)的(x,y∈X);

    ②‖x,y‖=‖y,x‖(x,y∈X);

    ③‖αx,y‖=|α|‖x,y‖(x,y∈X,α∈R);

    ④‖x+y,z‖≤‖x,z‖+‖y,z‖(x,y,z∈X),

    此時(shí)稱(chēng)(X×X,‖·,·‖)為一個(gè)2-范數(shù)線(xiàn)性空間。

    定義2[2] 稱(chēng){xn}X收斂于x∈X是指

    limn→SymboleB@‖xn-x,y‖=0 (y∈X)。

    定義3[3] 稱(chēng)2-范數(shù)線(xiàn)性空間(X×X,‖·,·‖)是嚴(yán)格凸的,若任意的x,y∈X,zV(x,y),

    ‖x,z‖=‖y,z‖=x+y2,z=1,有x=y。

    定義4[4] 稱(chēng)2-范數(shù)線(xiàn)性空間(X×X,‖·,·‖)是一致凸的,若{xn}X,{yn}X,z≠0∈X,使得‖xn,z‖→1,‖yn,z‖→1,zV(xn,yn),xn+yn2,z→1,有‖xn-yn,z‖→0。

    其等價(jià)于下述定義:若對(duì)ε∈(0,2],任意的x,y∈X,z≠0∈X,δ>0使得‖x,z‖≤1,‖y,z‖≤1,zV(x,y),且x+y2,z>1-δ,有‖x-y,z‖<ε。

    定義5[5] 設(shè)(X×X,‖·,·‖)是一個(gè)2-范數(shù)線(xiàn)性空間,T∶X→X是一個(gè)線(xiàn)性算子,稱(chēng)x是T關(guān)于z的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),若滿(mǎn)足:

    ‖(Tx,z)-(x,z)‖=0。

    定義6[6] 設(shè)(X×X,‖·,·‖)是一個(gè)2-范數(shù)線(xiàn)性空間,T∶X→X是一個(gè)線(xiàn)性算子,{xn}X,x0∈X,稱(chēng)T關(guān)于z是連續(xù)的,若

    limxn→x0‖(Txn,z)-(Tx0,z)‖=0。

    2 主要結(jié)果及證明

    定理1 設(shè)(X×X,‖·,·‖)是一個(gè)2-范數(shù)線(xiàn)性空間,z∈X,C是X的一個(gè)閉子空間且C∩{z}=,設(shè)T∶C→C滿(mǎn)足:對(duì)x,y∈C,有

    ‖(Tx,z)-(Ty,z)‖≤α‖(x,z)-(y,z)‖,

    其中α∈(0,1),則T在C上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。

    證明:設(shè)x0∈C,(x1,z)=(Tx0,z),(x2,z)=(Tx1,z),…,(xn,z)=(Txn-1,z),

    則(xn,z)=(Tnx0,z)。

    設(shè)m,n>0且m>n,取m=n+p,

    從而

    ‖(xn,z)-(xm,z)‖=

    ‖(xn,z)-(xn+p,z)‖=

    ‖(xn,z)-(xn+1,z)+(xn+1,z)-(xn+2,z)+

    (xn+2,z)+…+(xn+p-1,z)-(xn+p,z)‖≤

    ‖(xn,z)-(xn+1,z)‖+‖(xn+1,z)-(xn+2,z)‖ +…+

    ‖(xn+p-1,z)-(xn+p,z)‖=

    ‖(Tnx0,z)-(Tnx1,z)‖+

    ‖(Tn+1x0,z)-(Tn+1x1,z)‖+…+

    ‖(Tn+p-1x0,z)-(Tn+p-1x1,z)‖≤

    αn-1‖(Tx0,z)-(Tx1,z)‖ +

    αn‖(Tx0,z)-(Tx1,z)‖+…+

    αn+p-2‖(Tx0,z)-(Tx1,z)‖=

    αn-1(1-αp)1-α‖(Tx0,z)-(Tx1,z)‖≤

    αn-11-α‖(Tx0,z)-(Tx1,z)‖≤

    αn1-α‖(x0,z)-(x1,z)‖

    ‖(xn,z)-(xm,z)‖≤αn1-α‖(x0,z)-(x1,z)‖,

    從而

    ‖(xn,z)-(xm,z)‖→0,

    故{(xn,z)}是柯西列,因此

    (xn,z)→(x0,z)∈C×{z}。

    又因?yàn)門(mén)是連續(xù)的,

    所以

    ‖(Tx0,z)-(x0,z)‖=

    ‖limn→SymboleB@(Txn,z)-(x0,z)‖=

    ‖limn→SymboleB@(xn+1,z)-(x0,z)‖=

    ‖(x0,z)-(x0,z)‖=0。

    下證不動(dòng)點(diǎn)是唯一的。

    設(shè)x′∈C且x′≠x0,

    但 ‖(Tx′,z)-(x′,z)‖=0。

    由于C是X的一個(gè)閉子空間,所以x′-x0∈C,且x′-x0≠0。因此由2-范數(shù)的定義有‖x′-x0,z‖≠0。

    又因?yàn)?/p>

    ‖(x′,z)-(x0,z)‖=

    ‖(Tx′,z)-(Tx0,z)‖≤

    α‖(x′,z)-(x0,z)‖。

    但α∈(0,1),產(chǎn)生矛盾,從而有x′=x0,即不動(dòng)點(diǎn)是唯一的。

    定理2 設(shè)(X×X,‖·,·‖)是一個(gè)嚴(yán)格凸的2-范數(shù)線(xiàn)性空間,z∈X,C是X的一個(gè)凸子集且C∩{z}=,設(shè)T∶C→C滿(mǎn)足:對(duì)x,y∈C,有

    ‖(Tx,z)-(Ty,z)‖≤‖(x,z)-(y,z)‖,

    則T關(guān)于z的不動(dòng)點(diǎn)集F(T)為凸集。

    證明:顯然F(T)是空集結(jié)論成立。

    設(shè)F(T)≠,要證

    (x1,z),(x2,z)∈F(T),x2≠x1,對(duì)t∈(0,1),(tx1+(1-t)x2,z)仍是T的不動(dòng)點(diǎn),即

    ‖(T(tx1+(1-t)x2),z)-(tx1+(1-t)x2,z)‖=0,

    由題意得

    ‖(T(tx1+(1-t)x2),z)-(x1,z)‖ =‖(T(tx1+(1-t)x2),z)-(Tx1,z)‖≤

    ‖(tx1+(1-t)x2,z)-(x1,z)‖ =

    ‖tx1+(1-t)x2-x1,z‖=

    ‖(1-t)(x2-x1),z‖=

    (1-t)‖(x2,z)-(x1,z)‖。

    同理有

    ‖(T(tx1+(1-t)x2),z)-(x2,z)‖≤

    t‖(x2,z)-(x1,z)‖,

    記 u1=(T(tx1+(1-t)x2),z)-(x1,z),

    u2=(-T(tx1+(1-t)x2),z)+(x2,z),

    ‖u1‖≤(1-t)‖(x2,z)-(x1,z)‖,

    ‖u2‖≤t‖(x2,z)-(x1,z)‖,

    從而

    ‖(x2,z)-(x1,z)‖=

    ‖u2+u1‖≤

    ‖u2‖+‖u1‖≤

    t‖(x2,z)-(x1,z)‖ +(1-t)‖(x2,z)-(x1,z)‖=

    ‖(x2,z)-(x1,z)‖,

    從而

    ‖u1‖=(1-t)‖(x2,z)-(x1,z)‖,

    ‖u2‖=t‖(x2,z)-(x1,z)‖,

    進(jìn)而

    ‖u1+u2‖=‖u1‖+‖u2‖,

    因此

    1=‖u1+u2‖‖u1‖+‖u2‖=

    ‖u1‖‖u1‖+‖u2‖u1‖u1‖+‖u2‖‖u1‖+‖u2‖u2‖u2‖,

    又因?yàn)椋╔×X,‖·,·‖)是嚴(yán)格凸的,有

    u1‖u1‖=1,u2‖u2‖=1,

    u1‖u1‖=u2‖u2‖,

    進(jìn)而u1‖u1‖-u2‖u2‖=0,即

    (T(tx1+(1-t)x2),z)-(x1,z)(1-t)‖(x2,z)-(x1,z)‖-

    (x2,z)-(T(tx1+(1-t)x2),z)t‖(x2,z)-(x1,z)‖=0

    ‖t(T(tx1+(1-t)x2),z)-t(x1,z)-(1-t)(x2,z)+

    (1-t)(T(tx1+(1-t)x2),z)‖=0

    ‖(T(tx1+(1-t)x2),z)-(tx1+(1-t)x2,z)‖=0,

    從而T關(guān)于z的不動(dòng)點(diǎn)集F(T)為凸集。

    定理3 設(shè)(X×X,‖·,·‖)是有限維的嚴(yán)格凸的2-范數(shù)線(xiàn)性空間,則它是一致凸的。

    證明:設(shè){xn}X,{yn}X,z∈X,使得

    ‖xn,z‖→1,‖yn,z‖→1,xn+yn2,z→1,

    往證‖xn-yn,z‖→0。

    若不成立,則ε0>0,使得‖xn-yn,z‖≥ε0。

    因?yàn)椋╔×X,‖·,·‖)是有限維的,所以存在{xni}{xn}及x∈X,使得

    ‖(xni,z)-(x,z)‖→0,

    同理,{yni}也是有界的,所以存在{yni}的子列{yn′i}{yn}及y∈X,使得

    ‖(yn′i,z)-(y,z)‖→0,

    由于

    {xn′i}{xni},‖(xni,z)-(x,z)‖→0,

    所以‖(xn′i,z)-(x,z)‖→0,從而

    xn′i+yn′i2,z-x+y2,z→0。

    xn′i+yn′i2,z→1,

    所以

    x+y2,z→1。

    因?yàn)椤瑇n,z‖→1,所以‖xni,z‖→1,進(jìn)而‖x,z‖=1。

    同理‖y,z‖=1。

    因?yàn)椋╔×X,‖·,·‖)是嚴(yán)格凸的,所以x=y,但是

    ε0≤‖xn′i-yn′i,z‖→‖x-y,z‖=0,

    產(chǎn)生矛盾,從而(X×X,‖·,·‖)是一致凸的。

    定理4 設(shè)X為一個(gè)n維歐式空間,若定義

    ‖x,y‖=|x×y|,

    其中(x,y)∈X×X,x×y表示向量x與y的向量積,則(X×X,‖·,·‖)是嚴(yán)格凸的,也是一致凸的。

    證明:首先證明‖x,y‖=|x×y|是一個(gè)2-范數(shù)。

    ‖x,y‖=0x,y是線(xiàn)性相關(guān)的,顯然成立,這是由于

    ‖x,y‖=0sin〈x,y〉=0。

    對(duì)稱(chēng)性:

    ‖x,y‖=‖y,x‖=|x×y|。

    正齊次性:

    ‖αx,y‖=|αx×y|=|α||x×y|=|α|‖x,y‖。

    三角不等式:

    ‖x+y,z‖=|(x+y)×z|=|x×z+y×z|≤

    |x×z|+|y×z|=‖x,z‖+‖y,z‖。

    下證(X×X,‖·,·‖)是嚴(yán)格凸的。

    對(duì)于任意的x,y∈X,zV(x,y),有

    〈x,z〉=〈y,z〉=〈x+y,z〉=〈x-y,z〉

    (即z與值x,y生成的空間中每個(gè)元素的夾角相同)。

    又可知

    ‖x+y,z‖2=‖x+y‖2‖z‖2sin2〈x+y,z〉=

    ‖x+y‖2‖z‖2sin2〈x,z〉

    ‖x-y,z‖2=‖x-y‖2‖z‖2sin2〈x-y,z〉=

    ‖x-y‖2‖z‖2sin2〈x,z〉

    所以

    ‖x+y‖2‖z‖2+‖x-y‖2‖z‖2=

    (‖x+y‖2‖z‖2+‖x-y‖2‖z‖2)sin2〈x,z〉=

    (‖x+y‖2+‖x-y‖2)‖z‖2sin2〈x,z〉=

    2(‖x‖2+‖y‖2)‖z‖2sin2〈x,z〉=

    2(‖x‖2‖z‖2sin2〈x,z〉+‖y‖2‖z‖2sin2〈y,z〉)=

    2(‖x,z‖2+‖y,z‖2)(1)

    由于x≠y,zV(x,y),則x-y2,z>0,從而由式(1),x+y2,z<1,即(X×X,‖·,·‖)是嚴(yán)格凸的。

    由定理3,知(X×X,‖·,·‖)是一致凸的。

    參 考 文 獻(xiàn):

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    (編輯:溫澤宇)

    收稿日期: 2020-09-23

    基金項(xiàng)目: 國(guó)家自然科學(xué)基金(11871181).

    作者簡(jiǎn)介:

    李珊珊(1997—),女,碩士研究生.

    通訊作者:

    崔云安(1961—),男,博士,教授,博士研究生導(dǎo)師,E-mail: cuiya@hrbust.edu.cn.

    3340501908214

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