基于訂單生產(chǎn)的供應(yīng)鏈價格與承諾交貨時間決策和協(xié)調(diào)

謝祥添

（廣東金融學(xué)院 科技金融重點實驗室，廣東 廣州 510521）

0 引言

許多企業(yè)成功的關(guān)鍵在于具有時間競爭優(yōu)勢[1]。So和Song[2]提出企業(yè)以時間作為武器吸引顧客有三種策略：①快速服務(wù)；②提前預(yù)約；③承諾交貨時間。其中，訂單生產(chǎn)一般采用第三種策略。在需求受價格和承諾交貨時間影響的市場中，顧客傾向于購買價格低和承諾交貨時間短的產(chǎn)品[3]。然而，較低的價格導(dǎo)致收入減少，較短的交貨時間導(dǎo)致成本上升[4]。那么，企業(yè)如何決策才能使得利潤最大化成為學(xué)者關(guān)注的問題。

延期是影響訂單生產(chǎn)供應(yīng)鏈競爭力因素之一。延期不僅導(dǎo)致罰款（Slotnick 和Sobel[5]提及飛機零部件供應(yīng)商延期交貨賠償幾百萬美元的事例），還會影響企業(yè)聲譽，失去未來顧客。因為訂單生產(chǎn)過程隨機性較大（相對標(biāo)準(zhǔn)化生產(chǎn)），延期頻發(fā)，同時交貨往往可提前，不可推遲。為此，企業(yè)可承諾一個可靠性（在承諾交貨時間內(nèi)交貨的概率，部分文獻(xiàn)稱之為交貨時間服務(wù)水平[6]，簡稱服務(wù)水平）較高的交貨時間來減少延期的發(fā)生。

本研究內(nèi)容主要涉及供應(yīng)鏈價格與承諾交貨時間決策和協(xié)調(diào)研究，以下就這兩方面的文獻(xiàn)進(jìn)行簡要的論述。

關(guān)于供應(yīng)鏈價格與承諾交貨時間決策研究，較早的是Pekg，等[7]，他們研究了生產(chǎn)部門對交貨時間和銷售部門對價格分散決策問題，得出了相對集中決策，分散決策策略為采用較長的交貨時間和較低的價格，這與本研究的兩個企業(yè)分散決策策略相反。Pekg，等[8]將文獻(xiàn)[7]的問題拓展到兩個企業(yè)競爭的情況，研究表明：在激烈的價格競爭中，企業(yè)應(yīng)采用集中決策，在激烈的交貨時間競爭中，企業(yè)應(yīng)采用以銷售部門為領(lǐng)導(dǎo)者的分散決策。以上是一個企業(yè)兩部門分散決策，更多學(xué)者研究了兩個企業(yè)分散決策。兩個企業(yè)分散決策會產(chǎn)生雙重邊際化效應(yīng)，所以研究的焦點為如何降低雙重邊際化效應(yīng)。如，Liu，等[9]構(gòu)建了以生產(chǎn)商對交貨時間決策，以銷售商對價格決策的分散決策模型，并以集中決策為基準(zhǔn)分析分散決策效率不高的原因，提出柔性生產(chǎn)能有效地改善由于雙重邊際化導(dǎo)致分散決策低效問題。Zhu[10]從另一個角度研究了文獻(xiàn)[9]問題，構(gòu)建了以生產(chǎn)商對產(chǎn)能決策、以銷售商對價格和交貨時間決策的分散決策模型，證明了優(yōu)化產(chǎn)能能有效降低雙重邊際化效應(yīng)。趙曉敏和胡淑慧[11]針對B2C供應(yīng)鏈高退貨現(xiàn)象，研究了B2C供應(yīng)鏈決策和協(xié)調(diào)機制，提出只有當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量達(dá)到一定條件，供應(yīng)鏈才能實現(xiàn)協(xié)調(diào)，適當(dāng)延長交貨期可以使供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)相對容易實現(xiàn)，并且對于增加協(xié)調(diào)利潤也有一定的正向作用。從以上文獻(xiàn)可知，提高運營能力（柔性生產(chǎn)、優(yōu)化產(chǎn)能等）可以降低雙重邊際化效應(yīng)。本研究針對訂單生產(chǎn)延期現(xiàn)象，構(gòu)建以承諾交貨時間滿足一定的服務(wù)水平為條件的供應(yīng)鏈價格與交貨時間決策模型，研究發(fā)現(xiàn)提高服務(wù)水平也可以降低雙重邊際化效應(yīng)。

供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)常用的方式有數(shù)量折扣、回購和收益分享。Zhang，等[12]通過收益分享與回購等方式的對比，證明收益分享在供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)中具有一定的優(yōu)勢。此外，Panda[13]指出收益分享能有效協(xié)調(diào)需求受內(nèi)生變量影響的供應(yīng)鏈各個成員。本研究為需求受價格和承諾交貨時間內(nèi)生變量影響，所以采用了收益分享方式構(gòu)建供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)模型。

綜上所述，本研究的貢獻(xiàn)為：針對訂單生產(chǎn)需求受價格和承諾交貨時間影響以及延期現(xiàn)象，考慮服務(wù)水平，建立供應(yīng)鏈價格與交貨時間決策模型，得到了模型的最優(yōu)價格和最優(yōu)承諾交貨時間，據(jù)此分析它們與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系，得到了一些管理啟示。此外，采用收益分享方式構(gòu)建供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)模型，以集中決策為基準(zhǔn)設(shè)計一個協(xié)調(diào)方案，得出銷售商收益分享比例處于某一范圍內(nèi)才能實現(xiàn)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)。

1 模型假設(shè)和符號定義

1.1 模型假設(shè)

假設(shè)1：生產(chǎn)商為領(lǐng)導(dǎo)者，銷售商為追隨者，銷售商與生產(chǎn)商之間的博弈為Stackelberg博弈；

假設(shè)2：生產(chǎn)商與銷售商之間的需求信息是對稱的，即生產(chǎn)商和銷售商的需求相同；

假設(shè)3：訂單生產(chǎn)過程為M/M/1 排隊模型，即需求時間間隔和生產(chǎn)時間服從負(fù)指數(shù)分布，且采用先來先生產(chǎn)。

1.2 符號定義

p：銷售價；

w：批發(fā)價；

cs：銷售單位成本；

cm：生產(chǎn)單位成本；

u：產(chǎn)能；

cu：產(chǎn)能單位成本；

l：承諾交貨時間；

s：服務(wù)水平，s∈(0,1)；

λ：需求率（單位時間需求量），考慮顧客傾向于購買承諾交貨時間短、價格低以及服務(wù)水平高的產(chǎn)品，構(gòu)建需求率函數(shù)為：

其中，λ01為潛在需求，α 為需求關(guān)于價格敏感系數(shù)（簡稱價格敏感系數(shù)），α>0，β 為需求關(guān)于承諾交貨時間敏感系數(shù)（簡稱承諾交貨時間敏感系數(shù)），β>0，γ 為需求關(guān)于服務(wù)水平敏感系數(shù)，γ>0。為了表達(dá)簡便，設(shè)λ0=λ01+γs。

L：實際交貨時間；

P{L≤l}：實際交貨時間小于等于承諾交貨時間的概率。文獻(xiàn)[14-15]指出在M/M/1 排隊模型下實際交貨時間小于等于承諾交貨時間的尾概率分布近似服從負(fù)指數(shù)分布，即：1-P{L≤l}=e-l/γ，其中γ為均值。根據(jù)假設(shè)3，需求時間間隔服從1/λ的負(fù)指數(shù)分布，生產(chǎn)時間服從1/u 負(fù)指數(shù)分布，這時有γ=1/(u-λ)。所以，實際交貨時間小于等于承諾交貨時間的尾概率分布為：1-P{L≤l}=e-(u-λ)l。若考慮承諾交貨時間滿足一定的服務(wù)水平（實際交貨時間小于等于承諾交貨時間的概率大于等于某一服務(wù)水平），則有：

本研究采用上標(biāo)來區(qū)分不同模型。設(shè)上標(biāo)c，d和t分別表示集中決策模型、分散決策模型和協(xié)調(diào)模型，同時，上標(biāo)c，d和t也分別表示對應(yīng)每一個模型的變量取最優(yōu)值。下標(biāo)m 和s 分別表示生產(chǎn)商和銷售商。

2 分散決策模型與集中決策模型

2.1 分散決策模型

根據(jù)假設(shè)1，生產(chǎn)商作為領(lǐng)導(dǎo)者具有主動權(quán)，它會依據(jù)銷售商的反應(yīng)（銷售價決策）對批發(fā)價和承諾交貨時間作出決策，以獲得自身利潤最大化；銷售商作為追隨者則根據(jù)觀察到的批發(fā)價和承諾交貨時間對銷售價作出決策，以獲得自身利潤最大化。因此本研究從銷售商優(yōu)化開始，通過逆向歸納法得出博弈均衡。

建立以銷售價為決策變量、以銷售商單位時間最大利潤為目標(biāo)函數(shù)模型：

求解式（3）可得最優(yōu)銷售價為：

考慮承諾交貨時間滿足一定的服務(wù)水平，建立以承諾交貨時間和批發(fā)價為決策變量，以生產(chǎn)商單位時間最大利潤為目標(biāo)函數(shù)模型：

命題1：在分散決策模型中，存在最優(yōu)批發(fā)價和最優(yōu)承諾交貨時間，它們分別為：

其中λd為f(λ)=0的實根，f(λ)為：

其中，k=-ln(1-s)。

證明：把式（4）代入式（1）可得批發(fā)價為w=(λ0-αcs-βl-2λ)/α，所以式（5）可轉(zhuǎn)化為：

解式（9）的條件可得l≥-ln(1-s)/(u-λ)，設(shè)k=-ln(1-s)，則有l(wèi)≥k/(u-λ)。因為式（9）關(guān)于l 為單調(diào)減函數(shù)，所以l=k/(u-λ)時，式（9）關(guān)于l取最大值。因此，式（9）可轉(zhuǎn)化為只含λ為變量的優(yōu)化問題：

命題1結(jié)論：分散決策模型存在最優(yōu)承諾交貨時間和最優(yōu)批發(fā)價。其中l(wèi)d=k/(u-λd)表明最優(yōu)承諾交貨時間存在于式（5）條件邊界上，即最優(yōu)承諾交貨時間綁定在服務(wù)水平上。

把ld和wd=(λ0-αcs-βld-2λd)/α 代入式（4）可得最優(yōu)銷售價為：

2.2 集中決策模型

考慮承諾交貨時間滿足一定的服務(wù)水平，建立以銷售價和承諾交貨時間為決策變量，以單位時間最大利潤為目標(biāo)函數(shù)模型：

命題2：在集中決策模型中，存在最優(yōu)銷售價和最優(yōu)承諾交貨時間，它們分別為：

λc為h(λ)=0的實根，h(λ)為：

證明：根據(jù)式（1）得：p=(λ0-λ-βl)/α，把它代入式（11）有：

解式（15）的條件可得l≥k/(u-λ)，又因為式（15）關(guān)于l為單調(diào)遞減函數(shù)，所以l=k/(u-λ)時，式（15）關(guān)于l取最大值。因此，式（15）可轉(zhuǎn)化：

因為d2Πc(λ)/dλ2=[-2βku-2(u-λ)3]/[α(u-λ)3]<0，所以存在最優(yōu)利潤,其對應(yīng)最優(yōu)λc滿足Πc(λ)一階偏導(dǎo)數(shù)為 0:dΠc(λ)/dλ={[λ0-2λ-(cm+cs)α](u-λ)2-βku}/[α(uλ)2]=0，設(shè)h(λ)=[λ0-2λ-(cm+cs)α](u-λ)2-βku，所以λc需滿足h(λ)=0。與命題1證明f(0)>0和f(u)<0同理，可得h(0)>0，h(u)<0，所以h(λ)在(0,u)必存在一個實根，把λc代入l=k/(u-λ)可得最優(yōu)交貨時間為:lc=k/(u-λc),把λc和 lc代入 p=(λ0-λ-βl)/α 可得最優(yōu)銷售價為:pc=(λ0-βlc-λc)/α，至此證畢。

命題2結(jié)論：集中決策最優(yōu)決策變量表達(dá)式與分散決策相似，不同在于最優(yōu)需求率滿足方程中-λ(uλ)2的系數(shù)：集中決策為2，分散決策為4。

2.3 分散決策與集中決策比較

分散決策總利潤為銷售商利潤加生產(chǎn)商利潤，把最優(yōu)解代入式（3）和式（5）求和化簡可得分散決策最優(yōu)總利潤為：

根據(jù)命題2可得集中決策最優(yōu)利潤為：

命題3：Πc>Πd，λc>λd，lc>ld，pc

證明：因為式（16）與式（17）關(guān)于需求率具體相同的表達(dá)式，它們關(guān)于需求率二階導(dǎo)數(shù)小于0，所以式（16）與式（17）存在最大值，又因為λc滿足式（17）關(guān)于需求率一階導(dǎo)數(shù)為0，λd不滿足式（16）關(guān)于需求率一階導(dǎo)數(shù)為0，所以Πc>Πd。由式（8）和式（14）可得[λ0-(cm+cp)α-2λc](u-λc)2=[λ0-(cm+cp)α-4λd](u-λd)2，所以{2λc-[λ0-(cm+cp)α]}/{4λd-[λ0-(cm+cp)α]}=(u-λd)2/(uλc)2，因此λc>λd。因為lc=k/(u-λc)，ld=k/(u-λd)和λc>λd，所以 lc>ld。因為 pd=(λ0-βld-λd)/α，pc=(λ0-βlc-λc)/α，λc>λd和lc>ld，所以pc

命題3 結(jié)論：相對集中決策，分散決策采用較高的價格和較短的承諾交貨時間，其最優(yōu)利潤和最優(yōu)需求都較少。

3 協(xié)調(diào)模型

設(shè)θ1為銷售商的收益分享比例，θ1>0，θ2為生產(chǎn)商的收益分享比例，θ2≥0，且θ1+θ2≤1，特別地，當(dāng)θ2=0和θ1=1 為分散決策模型，那么銷售商單位時間最大利潤為：

生產(chǎn)商單位時間最大利潤為：

命題4：在協(xié)調(diào)模型中，存在最優(yōu)銷售價，最優(yōu)需求率和最優(yōu)承諾交貨時間，它們分別為：

其中w的范圍滿足不等式（23）：

證明：把式（1）代入式（18）后可求解出最優(yōu)銷售價為：

把式（24）代入式（1）可得最優(yōu)需求為：

把式（24）和（25）代入式（19）可得只含承諾交貨時間為變量的最大利潤：

根據(jù)式（26）的條件，設(shè)g(l)={u-[(λ0-βl)/2-(cs+w)α/(2θ1)]}l-k。g(l)=0 有兩個根，設(shè)它們分別是y1和y2，且y1≤y2。又因為g(0)=-k<0，所以l≥y2，其中y2為：

根據(jù)式（25）需求大于等于0可得l≤λ0/β-(cs+w)α/(θ1β)，設(shè)m=λ0/β-(cs+w)α/(θ1β)，因為Πtm(m) =-cuu<0,設(shè)Πtm(l)的兩個根為分別是x1和 x2，且 x1≤x2。因為 d2Πtm(l)/dl2=θ2β2/(2α)>0，開口向上，所以只有 y2

根據(jù)y2

至此證畢。

根據(jù)命題4 可知，要實現(xiàn)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)，還需要確定θ1，θ2和w，這些參數(shù)可通過生產(chǎn)商與銷售商之間的協(xié)商予以確定。本研究以集中決策為基準(zhǔn)設(shè)計一個協(xié)調(diào)方案，即推論1。

推論1：當(dāng)θ2=0，θ1=1和w=wt時，協(xié)調(diào)模型最優(yōu)決策與集中模型最優(yōu)決策相同，即pt=pc，lt=lc和Πtm+Πts=Πc。其中wt表達(dá)式為：

證明:設(shè)λ=λc和l=lc=k/(u-λc)，由式（1）和式（25）可得:λc=(λ0-βk/(u-λc)/2-α(cm+w)/(2θ1)，解 w 得：w=θ1[λ0-βk/(u-λc)-αcs-2λc]/α，因為θ1=1，所以得式（27）。又因為把wt代入式（22）可得lt=k/(u-λc)=lc，把w=wt和l=lt代入式（21）得λt=λc，把w=wt和l=lt代入式（20）得pt=[(λ0-λc)(u-λc)-βk]/[α(u-λc)]=[(λ0-λc)-βk/(u-λc)]/α=[(λ0-λc)-βlc]/α=pc，把 p=pc，λ=λc，l=lc以及θ2=0 和θ1=1代入式（18）和式（19）求和可得Πt m+Πt s=Πc。最后把θ2=0，θ1=1 代入式（23）可得(w-cm)α>0，表明wt范圍滿足不等式式（23）。至此證畢。

4 模型分析

（1）最優(yōu)決策變量與相關(guān)參數(shù)分析。對最優(yōu)承諾交貨時間與相關(guān)參數(shù)分析，可得它們與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系，見表1。

表1 最優(yōu)承諾交貨時間與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系

關(guān)于最優(yōu)價格與s，α，β的關(guān)系，本研究通過數(shù)值分析給出。設(shè)cs=0.8，cm=1.5，cu=0.2，u=10，λ01=21，γ=10，s=0.9，β=4，α=2 為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，作pc，pd與s，α，β 的關(guān)系，如圖2至圖4所示。

圖2 pc，pd與s的關(guān)系

圖3 pc，pd與α的關(guān)系

圖4 pc，pd與β的關(guān)系

（2）最優(yōu)利潤與相關(guān)參數(shù)分析。利用基礎(chǔ)數(shù)據(jù)作集中決策，分散決策和協(xié)調(diào)模型的最優(yōu)利潤與相關(guān)參數(shù)的關(guān)系，如圖5至圖7所示。

圖5 Πc，Πd與s的關(guān)系

圖6 Πc，Πd與β或α的關(guān)系(α=2或β=2)

從圖5可知，集中決策與分散決策的最優(yōu)利潤隨著服務(wù)水平的提高相差越來越小，這說明提高服務(wù)水平可以降低雙重邊際化效應(yīng)。

從圖6可知，集中決策與分散決策的最優(yōu)利潤隨著價格敏感系數(shù)和承諾交貨時間敏感系數(shù)的增加而減少，價格敏感系數(shù)比承諾交貨時間敏感系數(shù)更顯著。這說明價格的變化對利潤的影響大于承諾交貨時間。

從圖7可知，①協(xié)調(diào)模型銷售商最優(yōu)利潤和最優(yōu)總利潤隨著銷售商收益分享比例的增加而增加，協(xié)調(diào)模型生產(chǎn)商最優(yōu)利潤隨著銷售商收益分享比例的增加先增加后減少。當(dāng)銷售商收益分享比例等于1時，協(xié)調(diào)模型銷售商最優(yōu)利潤和生產(chǎn)商最優(yōu)利潤相交，這時協(xié)調(diào)模型最優(yōu)總利潤最大，它等于集中決策最優(yōu)利潤（見推論1）；②當(dāng)0<θ1<0.247 時，協(xié)調(diào)模型最優(yōu)總利潤小于分散決策最優(yōu)總利潤，這時協(xié)調(diào)模型是無效的；③當(dāng)0.247<θ1<0.611和0.808<θ1<1時，協(xié)調(diào)模型雖然有效（協(xié)調(diào)模型最優(yōu)總利潤大于分散決策最優(yōu)總利潤），但不穩(wěn)定（當(dāng)0.247<θ1<0.611 時，協(xié)調(diào)模型銷售商最優(yōu)利潤小于分散決策銷售商最優(yōu)利潤，當(dāng)0.808<θ1<1 時，協(xié)調(diào)模型生產(chǎn)商最優(yōu)利潤小于分散決策生產(chǎn)商最優(yōu)利潤）。④當(dāng)0.611<θ1<0.808時，協(xié)調(diào)模型生產(chǎn)商最優(yōu)利潤大于分散決策生產(chǎn)商最優(yōu)利潤，協(xié)調(diào)模型銷售商最優(yōu)利潤大于分散決策銷售商最優(yōu)利潤，即協(xié)調(diào)模型實現(xiàn)了帕累托改善。所以，銷售商收益分享比例處于某一范圍內(nèi)才能實現(xiàn)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)。

5 結(jié)語

在訂單生產(chǎn)下，延期頻發(fā)，本研究考慮服務(wù)水平，建立供應(yīng)鏈價格與承諾交貨時間決策和協(xié)調(diào)模型。研究表明：①最優(yōu)承諾交貨時間綁定在服務(wù)水平上，提高服務(wù)水平可以降低雙重邊際化效應(yīng)，但是過高服務(wù)水平會導(dǎo)致利潤下降；②相對集中決策模型，分散決策模型采用較高的價格和較短的承諾交貨時間，其最優(yōu)利潤和最優(yōu)需求較少；③銷售商收益分享比例處于某一范圍內(nèi)才能實現(xiàn)供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)。

本研究假設(shè)生產(chǎn)商與銷售商的需求信息是對稱的，實際上，需求信息多為不對稱，同時也有以銷售商為領(lǐng)導(dǎo)者，所以未來可研究需求信息非對稱下銷售商為領(lǐng)導(dǎo)者的供應(yīng)鏈決策和協(xié)調(diào)。