圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型及其仿真

王賀元, 梅鵬飛

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

混沌的歷史最早追溯到Poincare對(duì)三體問(wèn)題的研究[1]。1963年,氣象學(xué)家Lorenz[2]在研究局部區(qū)域小氣候的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象,從而開(kāi)啟了混沌研究的先河。Lorenz方程揭示的混沌現(xiàn)象引起了人們極大的研究興趣,進(jìn)而引發(fā)了探索熱潮[3-9]。人們?cè)谘芯縇orenz系統(tǒng)混沌行為的同時(shí),一直都在探索設(shè)計(jì)與Lorenz系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)裝置[9-13]。本文首先構(gòu)建圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)模型,其次探討數(shù)學(xué)模型的動(dòng)力學(xué)行為,進(jìn)而解釋和分析水輪的混沌旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象。

1 圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)裝置

圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)裝置由2個(gè)同軸等高的圓錐組成,圓錐間存在小的間隙,間隙之間加薄板,將公共頂點(diǎn)挖去,制作漏水的小孔,漏水率為k,注水器位于裝置的最高點(diǎn),注水率Q大小可以人工調(diào)節(jié),圓錐的公共軸制作成可調(diào)節(jié)摩擦的轉(zhuǎn)軸,整個(gè)裝置與水平面有非零夾角φ,保證注水后水輪可以旋轉(zhuǎn)。

2 圓錐型水輪的數(shù)學(xué)模型

2.1 建立質(zhì)量守恒方程、力矩平衡方程

取水腔內(nèi)控制體的體積為V,V內(nèi)流體質(zhì)量變化取決于頂部的注入、對(duì)流和底部的流出,在t時(shí)刻的變化為

(1)

(2)

(3)

下面對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(t)和重力矩L進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)和計(jì)算。以旋轉(zhuǎn)軸為軸建立如圖 1所示坐標(biāo)系。

圖1 坐標(biāo)系Fig.1 Coordinate syste

由于水腔微元水的質(zhì)量分布密度為P(θ,t),設(shè)整個(gè)水輪間隙區(qū)域?yàn)棣?取如圖2中薄圓臺(tái)型的一小段為水微元dv,則水腔內(nèi)水微元質(zhì)量為P(θ,t)dv,水輪中水的高度為z,變化范圍為[0,h],在水微元形成的圓環(huán)形液面中小圓半徑為r0,大圓半徑為R0,水輪中水的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

圖2 水微元示意圖Fig.2 Water micro element diagram

令A(yù)=(cot4β-cot4α)h5,則

(4)

小微元體所受到的重力為P(θ,t)dv·g,這里g為重力加速度垂直于旋轉(zhuǎn)軸的分量。根據(jù)力矩公式,可得微元的重力矩為P(θ,t)dv·g·rsinθ。水輪裝置間隙區(qū)域Ω內(nèi)水的重力矩為

令B=(cot3β-cot3α)h4,則重力矩:

因而力矩平衡方程(3)化為如下方程:

(5)

方程(2)和方程(5)即為圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型。

2.2 數(shù)學(xué)模型的簡(jiǎn)化

由于圓錐型水輪的數(shù)學(xué)模型(2)和模型(5)是連續(xù)的,下面通過(guò)傅里葉展開(kāi)簡(jiǎn)化模型(2)和模型(5),以便進(jìn)行理論分析和數(shù)值仿真。對(duì)水質(zhì)量分布密度P(θ,t)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù):

(6)

由于圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)時(shí)的水是對(duì)稱(chēng)注入的,因此對(duì)其中的注水率Q(θ)進(jìn)行傅里葉展開(kāi)有

將此式和式(6)代入方程(2)和方程(5)整理,利用待定系數(shù)法得

圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)軸水平時(shí)的方程與方程(7)取n=1時(shí)導(dǎo)出的結(jié)果相似,但在這種情況下,推導(dǎo)出的是對(duì)應(yīng)粗糙近似真實(shí)的系統(tǒng)[14],所以對(duì)傾斜情況討論時(shí),只能通過(guò)一個(gè)無(wú)窮小的連續(xù)系統(tǒng)做出近似,代替有限大小的隔間。最初,水輪是空的,對(duì)應(yīng)所有的n,都有an=bn=0。

由圓錐型旋轉(zhuǎn)水輪中水的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

從而得

(8)

因此,總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(t)隨時(shí)間而變化,與水輪的轉(zhuǎn)動(dòng)速度沒(méi)有關(guān)系,根據(jù)式(8)可知:當(dāng)n=1時(shí),方程組(7c)與其他方程模態(tài)解耦;當(dāng)n≥2時(shí)其為高模態(tài),只影響裝置注水的細(xì)節(jié),不影響水輪轉(zhuǎn)動(dòng)。從而可得動(dòng)力系統(tǒng)是由如下3個(gè)方程耦合而成:

(9)

式(9)為圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)問(wèn)題簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型。

3 數(shù)學(xué)模型動(dòng)力學(xué)行為的仿真研究

取σ=4,模型系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為隨著ρ的大小變化而變化。圖3為當(dāng)0<ρ<300時(shí)的分叉圖,圖4為對(duì)應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)圖。當(dāng)ρ=1.065 386,模型開(kāi)始出現(xiàn)分叉;當(dāng)ρ>16時(shí),混沌開(kāi)始出現(xiàn),混沌區(qū)中在75.688<ρ<110時(shí)出現(xiàn)一個(gè)明顯的周期窗口。

圖3 σ=4時(shí)狀態(tài)變量y的分叉圖Fig.3 Bifurcation graph of state variable y when σ=4

圖4 σ=4時(shí)的最大Lyapunov指數(shù)Fig.4 The largest Lyapunov exponent when σ=4

從上述指標(biāo)圖的特征可以看出模型(9)在ρ>16時(shí)展現(xiàn)混沌狀態(tài)。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文利用微元法結(jié)合力學(xué)原理,通過(guò)傅里葉變換,推導(dǎo)出圓錐型水輪旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型為三維非線(xiàn)性微分方程組。運(yùn)用MATLAB軟件繪制混沌指標(biāo)圖,展示了數(shù)學(xué)模型的混沌行為,進(jìn)而對(duì)水輪混沌旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象給出了合理性的解釋。