基于教師—研究者伙伴關系的初中數學教學改進——以“一次函數”“問題提出教學”為例

徐冉冉，裘曉麗，姚一玲，蔡金法，

基于教師—研究者伙伴關系的初中數學教學改進——以“一次函數”“問題提出教學”為例

徐冉冉1，裘曉麗2，姚一玲3，蔡金法4，1

（1．西南大學 數學與統(tǒng)計學院，重慶 400715；2．蕭山中學教育集團初中部，浙江 杭州 311201；3．杭州師范大學 教育學院，浙江 杭州 311121；4．美國特拉華大學 數學系，紐瓦克 19716）

對一位初中數學教師嘗試運用“問題提出”教學手段教授“一次函數”進行案例研究．詳細分析該教師經歷“設計—實踐—反思—改進”過程的5個循環(huán)周期，以理解教師是如何學會改進“一次函數”課堂教學的．揭示了有無問題提出設計的課堂之間存在著顯著差異，有問題提出設計的課堂不僅可以為學生創(chuàng)造更大的學習機會，還能夠讓學生參與思考并增強對“一次函數”的概念性理解．同時，為一線教師學習如何運用問題提出開展數學教學提供范例．此外，研究表明了教師從一個版本的教學設計轉換到另一版本教學設計的過程中所面臨的挑戰(zhàn)，以及教師—研究者合作伙伴關系是如何幫助教師克服挑戰(zhàn)的．最后，研究結果還表明，在教師學習改進的歷程中，需要重視教師對教學改進的信念和認同．

教師學習；問題提出；教學改進；一次函數

1 問題提出

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020）》指出，改革創(chuàng)新是教育發(fā)展的強大動力，提高質量是教育改革發(fā)展的核心任務．而學校改革是教育改革的基礎與前提，教師教學改進是影響學校發(fā)展和進步的核心因素，亦是學校改革成功與否的關鍵．因此，為了使學校發(fā)生變革，就必須賦權于教師[1]．這就意味著，在提高教學質量的努力中，要讓教師真正參與并關注教師實際所做的工作及影響其工作方式的因素．以便研究者或教育領導者從教師角度觀察問題，更多地了解教師的實際需求以及這些需求所發(fā)生的背景，可以更深入地了解要解決的問題，從而幫助教師學習并促進教師教學質量的提升與學生數學學習的提高．

自20世紀80年代起，全世界基礎數學教育改革的顯著趨勢是將問題解決引入到教學設計之中，且問題解決被視為中小學教學的核心，在數學課堂教學中占絕對主導地位[2]．然而，在數學領域中，提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要[3]．自1989年問題提出首次被納入美國數學課程標準中之后[4]，越來越多的國家開始將問題提出視為非常重要的教學目標或教學手段，且不斷變革的數學課程標準對問題提出均做了明確要求，但對于問題提出的具體應用卻不甚明晰[5-7]．同時，教科書中問題提出活動的不充分與不連貫等編寫特點[8-10]，以及教師缺乏問題提出知識與教學經驗等現實實際，導致教師很難將問題提出有效整合至課堂教學中．

值得欣慰的是，為教師提供適宜的學習情境、量身定制的專業(yè)學習機會以及具有不同知識、技能的研究者的支持與幫助，可以有效幫助教師學習運用新的教學方法進行教學實踐[11-12]．但是，學習并不是一蹴而就的，教師知道某些知識與某個問題相關是一回事，而把知識轉化為行動是另一回事．那么，教師在學習改進歷程中是如何學會運用問題提出進行課堂教學改進的呢？具體而言，教師在學習改進歷程中，教師教學的設計發(fā)生了怎樣的變化？教師的心路歷程發(fā)生了哪些變化？研究者是如何幫助教師突破其所面臨的現實困境的呢？

2 理論基礎

2.1 問題提出教學的價值

問題提出推動著數學研究的進步與發(fā)展．縱觀數學發(fā)展史，每個數學分支中那些最初、最老的問題都起源于經驗，是由外部的現象世界所提出的，問題提出后，或得以解決，或提出新的問題代之．通過問題解決發(fā)現新方法和新觀點，借助于一般化、特殊化、組合等方法對數學概念或知識進行分析和綜合，提出重要的、困難的新問題，……，如此循環(huán)迭代，推動著數學的進步與發(fā)展[13]．例如，希爾伯特根據19世紀數學研究的成果和發(fā)展趨勢而提出的23個數學問題，推動了整個20世紀數學的發(fā)展．他認為“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預示著獨立發(fā)展的衰亡或中止”，指出了問題提出在數學研究中的重要性．可以說，沒有數學問題提出就沒有數學問題解決，就沒有數學科學的產生與發(fā)展．

問題提出教學可以創(chuàng)造更多學習機會．相比于問題解決教學，問題提出教學既可以為不同程度的學生提供不同發(fā)展的學習機會[14-15]；又能為學生提供更多思考、創(chuàng)造、表達或提出問題的機會；還有助于營造積極的課堂環(huán)境，為學生提供反思、批判與質疑的機會[16]．問題提出教學所培養(yǎng)出的好的問題提出者，還可以為自身創(chuàng)造出更多不同的學習機會．此外，教師在學習運用問題提出教學的過程中，不僅獲得了學習新的教育理念或教學方法的機會，還擁有重新審視與提升自己的機會．

問題提出教學能有效促進學生的數學學習．從傳統(tǒng)視角來看，數學課堂教學包含概念理解、技能習得和問題解決三大基本任務[17]．但是，由于數學學科自身的特點，數學抽象概念的教學一直是課堂教學的重點或難點，致使學生很難深入理解數學概念．研究表明，問題提出教學對學生學習概念性知識或對數學知識的概念性理解具有顯著的積極影響[18-19]；有助于提高學生對問題解決的理解和技能，使學生成為更好的問題解決者；能提高學生問題提出能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新精神，促進學生創(chuàng)新思維與創(chuàng)新能力的發(fā)展．

2.2 教師學習的“情境”認知和“改進科學”理論

教師學習的最終目的是為了提高課堂教學質量以促進學生的學習與發(fā)展．然而，教師學習并不能直接對學生學習產生積極影響，而是通過促進其信念的改變和知識的增長，繼而改善教師課堂教學行為，從而促使學生的學習產生積極變化[14，20]．從知識角度來說，教師學習是為了獲得“為了實踐的知識（knowledge for practice）”“實踐中的知識（knowledge in practice）”“實踐的知識（knowledge of practice）”3類知識，即“教育理論知識”“如何做”以及“為什么這么做”[21-22]．研究表明，教師的情境化學習更有利于教師知識的獲得和專業(yè)發(fā)展，即在情境中更有利于教師思考如何改善教學行為、提高教學質量．

此外，教師學習運用問題提出進行教學，亦有來自Bryk等人所提出的“改進科學”（improvement science）理論的支持[23]．該理論有以下六大核心原則：第一，問題是具體的且以用戶為中心，常常起始于“我們試圖改進的具體問題是什么？”；第二，關注表現變化，具體情境下的具體因素可能導致問題有不同的表現；第三，查看產生當前結果的系統(tǒng)，理解造成差異性結果的不同制度的運行機制；第四，無法大規(guī)模地改進無法衡量的東西，需要采用適宜性的測評工具去評估取得的進步和改善后的效能；第五，通過“計劃—執(zhí)行—研究—行動（調整、糾偏）”（Plan-Do-Study-Act）循環(huán)框架來促進快速、高效的學習，從而取得進步；第六，通過網絡社區(qū)加速學習，即鼓勵主要參與者盡早、高頻地參與相關的網絡社區(qū)以取得共同進步．

基于此，研究中教師經歷了5輪“設計（計劃）—實踐（執(zhí)行）—反思（研究與學習）—改進（調整、糾偏）”循環(huán)迭代的學習改進過程，且每個循環(huán)中常常以該教師想要運用問題提出來解決其教學過程中所存在的具體問題為出發(fā)點，基于網絡所聯(lián)結的研究者與實踐者合作伙伴關系，關注教師教學設計與課堂教學中的表現與變化，分析產生不同表現或變化的原因，并了解教師的心路歷程與現實實踐問題，以幫助教師解決其在問題提出知識、教學信念與情感等方面的問題，亦或是提出下一輪循環(huán)中教師所需改進的具體設計或教學中面臨的挑戰(zhàn)．

3 研究設計

3.1 研究對象

裘老師是一位擁有本科學歷、一級職稱及15年教齡的青年骨干教師，也是文章作者之一．從教以來，她所執(zhí)教的課堂中多以為學生提供問題解決任務為主，通過“提問”“做題”“講解”等互動交流方式，推進課堂教學．2018年5月，她參加了一項由當地教育局主辦的高端研修班，并在該項目學習中首次接觸問題提出，對問題提出教學產生了濃厚的興趣．她在運用問題提出進行“一次函數”教學設計與實踐之前，接受過兩次由蔡金法教授開展的問題提出相關培訓．裘老師好學，愿意接受挑戰(zhàn)，期望在教學上不斷進?。?/p>

3.2 協(xié)作伙伴關系

隨后，裘老師擁有一次執(zhí)教公開課的機會，她想嘗試運用問題提出呈現一節(jié)精彩的課堂．為進一步獲取更多的建議、指導與合作，裘老師與蔡教授建立了基于網絡的實踐者（教師）—研究者合作伙伴關系．研究者在教師進行問題提出學習、設計、實踐、修改設計等過程中，不僅需要幫助教師完善問題提出知識方面的內容，而且需要幫助教師克服教學實踐過程中所產生的各種問題，還需要關注教師情感態(tài)度的變化并適時加以鼓勵、支持或引導．此外，裘老師在學習改進歷程中，亦有其他教師伙伴、教學名師或教研員對她的課堂教學進行觀摩與點評．

3.3 數據收集與分析

收集并分析了3類數據，一是6個版本的教學設計；二是教師教學日志與教學反思；三是教師與研究者之間的交流互動過程．旨在探究教師在學習改進的5輪循環(huán)過程中設計的變化，教師的掙扎過程或心路歷程，研究者是如何對教師進行指導或幫助的，以及產生了什么變化等．

將教師學習改進前后執(zhí)教時所采用的6個版本的教學設計分別記為：D0，D1，D2，D3，D4，D5．其中，D0是教師首次接觸問題提出之前的設計；D0、D1、D2、D3是公開課前4次磨課的設計；D4是公開課的設計；D5是公開課后教師進一步完善并實踐的最終設計．

4 研究結果

4.1 教師學習改進前后的兩個案例

為更好地描述和分析教師在學習改進歷程中教學設計的變化、心路歷程等，特呈現出教師未接觸問題提出前“一次函數”概念教學課堂中的數學任務（詳見表1）與最后一次問題提出教學實踐中的數學任務（詳見表2），分別記為教師學習改進前與學習改進后的數學任務．對比表1與表2，可以看到改進前后兩次設計間的變化．

4.2 教師學習改進的歷程與變化

4.2.1 第一輪循環(huán)

教師學習與心路歷程．起初，裘老師很想嘗試運用問題提出進行“一次函數”概念課堂教學，主要有3個方面的原因：第一，通過培訓接觸問題提出后，對問題提出教學很感興趣，想嘗試運用新的教學方法開展一節(jié)新穎且有深度的課堂教學；第二，擁有執(zhí)教公開課的機會，會有一些數學教學名師、特級教師、教研員及教師伙伴進行觀課、指導，展示機會十分難得；第三，“一次函數”知識的重要性、學生對數學抽象概念的理解滯于數學表達式表面與“一次函數”應用上的困難等，使得她對以往該內容的教學不太滿意．因此，裘老師希望通過問題提出教學為學生提供更多的學習機會，以加深學生對數學知識的理解，提高學生問題解決能力．裘老師在嘗試運用問題提出進行“二次根式”內容的教學實踐后，更堅定地想要嘗試“一次函數”問題提出概念教學．

表1 學習改進前（D0）課堂數學任務設計

表2 學習改進后（D5）課堂數學任務設計

此外，在研究者與教師交流過程中，蔡教授詳細追問了裘老師對以往“一次函數”概念課堂教學中的哪些部分不滿意．裘老師認為，“學生并未真正理解‘一次函數’概念，無法理解或獨立解決相關問題，尤其是個人所得稅問題”．通過教師反饋，發(fā)現教師在課堂教學中更關注學生對數學知識程序性方面的理解，課堂教學以教師“講解”與學生“解題”為主，且未能為學生提供足夠的思考時間．基于此，蔡教授讓裘老師進一步思考：（1）對于學生而言，什么才叫理解了“一次函數”；（2）對于教師而言，如何才能讓學生理解“一次函數”；（3）轉變概念引入設計的視角，由原來的通過教師給定問題情境產生方程后再引入函數，轉變?yōu)橛山處熃o定一個方程產生具有不同情境或意義的方程．

教學設計的改變（D1）．D1與D0（見表1）相比，裘老師在概念形成前（引入新課環(huán)節(jié)）與形成后（鞏固新課環(huán)節(jié)）分別設置了一個學生問題提出活動．即，（1）請同學們在白紙上任意寫出一個函數表達式，并用數學的表達方式，讓大家猜一猜你寫的函數表達式是什么？（裘老師預設學生能用文字表達、列表法、圖象法等多種不同方法闡述，并得到多個不同的函數表達式）；（2）請同學們用不同的字母表示變量，寫出3個一次函數，并讓同學指出其中相應的、的值（旨在復習鞏固，并強調一次函數的特征）．同時，刪除表1中任務一至任務三．

教學效果與反思．第一次問題提出教學實踐效果并不理想，裘老師感到很沮喪．在借助問題提出方法引入“一次函數”概念時，學生因不理解教師的問題“誰愿意用數學的表達方式，讓大家猜一猜你寫的函數表達式是什么？”而不知該如何予以反饋或提問．與以往教學不同，“問題提出”活動讓裘老師感覺“失控”了，且耗時過長，以致后續(xù)的教學任務（任務四至任務八，課堂教學時間僅15分鐘）以學生做題、教師講解為主．裘老師反思后認為教學效果不理想的原因主要有以下3點：（1）問題提出任務中語言設計方向不夠明確，導致學生不能準確理解教師的意圖，因此，學生很難積極參與到該活動中并及時提出合理有效的數學問題；（2）課堂教學中并未讓學生清楚理解什么才是一次函數；（3）教學任務過多，使得教學過程較為匆忙，且以教師講解為主，留給學生思考的時間較少．

裘老師邀請了幾位經驗豐富的教師進行觀課與評價，但這些教師并沒有運用問題提出進行課堂教學的經驗．課后，聽課教師認為，“問題提出不適合‘一次函數’概念教學”．因為知識的生成過程顛倒，即先寫出解析式，再由學生創(chuàng)設與解析式相關的生活情境，不利于學生對抽象概念的理解，反而把問題變復雜了．

4.2.2 第二輪循環(huán)

教師學習與心路歷程．第一次問題提出教學效果與教師預設相差甚遠，觀課教師所給的反饋使裘老師對是否繼續(xù)嘗試“一次函數”問題提出概念教學猶豫不決．與此同時，蔡教授不僅在研修班的群中鼓勵和支持裘老師，還邀請了兩位教師對裘老師進行幫助與鼓勵（其中一位小學數學教師擁有問題提出教學的成功經驗），并與他們交流了裘老師在教學實踐中所遇到的挫折．此外，蔡教授還為裘老師提供了兩個問題提出教學案例及一篇有關教科書中問題提出的論文[24-26]，希望能幫助裘老師更深、更好地理解問題提出教學手段．基于教學反思與進一步學習，裘老師對教學設計進行進一步修改，并決定再次進行問題提出教學實踐．裘老師說：“不試過我不甘心，或許修改后的問題提出任務方向更明確了呢？教學效果可能會像論文中的小學課堂那樣精彩呢？”

教學設計的改變（D2）．D2與D1相比，主要有3點變化：（1）第一個問題提出活動的引導語改為“誰能出一個數學題目，讓大家猜一猜你剛才寫的函數表達式是什么？”；（2）教學任務減少，刪掉表1中任務八；（3）給學生更多表達的機會，盡量讓學生講解、點評，教師進行總結補充．

教學效果與反思．教學效果與第一次教學實踐效果相差無幾．盡管改進后的語言設計更為精準，學生清楚自己要做什么，出現了裘老師所期望的結果，比如用文字表達、圖象法、列表法來闡述，但也出現了學生書寫用時較長、表達不清楚以及函數表達形式較為單一等問題．另外，因教學任務減少且難度降低，除問題提出任務外，其它教學任務沒有太大的挑戰(zhàn)性，學生反應平淡且參與度不高．裘老師認為造成這種現象的原因，一是一次函數概念抽象，讓學生提出問題起點過高，且學生缺乏問題提出經驗；二是問題提出的設計還不夠精準有效．

4.2.3 第三輪循環(huán)

平凹愛吃面，還愛結交做面的人。他的朋友中，岐山人不少，其中有一個因為做面而發(fā)達的大老板叫胡永豐。平凹為陜西面食飯店題寫的第一塊匾額就是“永豐岐山面”，現在是注冊商標，已經成為西安城里的金字招牌。這家店總店雄踞雁塔腳下，外地客人來來往往，如潮涌動，頭一眼看到的就是平凹題寫的門口牌匾?？吹劫Z平凹的字，多半人會進來吃面。這就是名人效應。

教師學習與心路歷程．兩次教學實踐的失敗讓裘老師感到十分沮喪，認為“問題提出也許真的不適合‘一次函數’概念教學”．因此，裘老師決定暫時不考慮運用問題提出進行“一次函數”的教學實踐，但會考慮在復習課或內容簡單的課中再嘗試問題提出教學．蔡教授試圖幫助裘老師克服心理壓力，并進一步幫助裘老師修改教學設計．蔡老師鼓勵裘老師膽子大一點，這是個突破自我的好機會，不要怕其他教師同行聽課，“我知道這是一個很大的挑戰(zhàn)，但是挑戰(zhàn)越大，你的成長就越大”．對此，裘老師也表示，“挑戰(zhàn)越大，我越喜歡，我將繼續(xù)修改設計”．

新修改的教學設計將問題聚焦至如何為學生設置更明確的問題提出任務以及如何將其更好地融入該節(jié)課中．因此，裘老師與研究者討論什么樣的問題情境有助于學生提出問題．蔡教授建議將錄像帶租賃費情境作為問題提出活動的背景，這個情境包含3種選擇：第一，無年費，每個錄像帶每次收費14元；第二，年費350元，每個錄像帶每次收費10.5元；第三，年費525元，每個錄像帶每次收費7元．讓學生根據給定情境提出不同的數學問題，并基于學生自己所提的問題，理解與的數學意義與現實意義，深化數學知識的概念性理解．裘老師認為，該情境在現實生活中并不常見，于是提出3個替代情境作為問題提出活動的背景，即招聘會問題、亞運會做球童問題、移動收費問題．但由于裘老師擔心學生無法通過問題提出活動得到一次函數數學表達式以及再次脫離其預設與把控，最終決定依舊通過汽車加油問題解決任務（見表1中任務一）來引入“一次函數”概念．她不想展示一節(jié)內容分散、概念探究不清且教學秩序失控的公開課．基于此，蔡教授依舊給出3點建議：第一，任何新的方法一定要你感到舒服、認同才能執(zhí)行，否則會適得其反，所以，如果你有疑惑的話，可以不參考；第二，在你原有設計的基礎上應繼續(xù)考慮“什么才叫理解了一次函數”；第三，“如何才能讓學生理解一次函數，讓學生的收獲最大”．

教學設計的改變（D3）．退回到非問題提出的常規(guī)教學設計上．D3與D0相比，主要有以下3點變化：（1）在“概念引入”環(huán)節(jié)，刪掉了任務二和任務三，教師通過提問和不斷追問的方式引導學生從形式（=+）和規(guī)律兩方面形成并理解“一次函數”概念；（2）在任務八中，學生學習方式發(fā)生轉變，由學生解題、教師講解轉變?yōu)樾〗M合作交流解題、學生分析講解、教師引導修正，同時教師對學生表現與可能產生的問題做出預設，并給出解決方案；（3）新增3個問題解決任務（一個無情境任務，兩個現實情境任務）．

教學效果與反思．該循環(huán)中，裘老師分別用D3與D0設計（不含學生問題提出活動，但問題情境有適當調整）進行了兩次教學實踐．兩次教學皆采用實例引入，課堂教學以教師講解、學生聽課解題為主，學生學習方式單一，教學效果一般，且仍未找到自然而然地引入抽象概念的方式．

4.2.4 第四輪循環(huán)

教師學習與心路歷程．“如何讓學生的收獲最大”，裘老師帶著思考繼續(xù)改進問題提出教學設計，并將新修訂的教學設計與蔡教授進行協(xié)商．蔡教授發(fā)現，裘老師只是在原有教學設計的基礎上增加了一些小的問題提出活動，這與問題提出的設計理念不太一致．此外，教學任務過多，學生可能沒有足夠的時間來思考并提出新的問題．于是，蔡教授給出了以下幾點建議：第一，預設學生可能提出的所有問題，如果覺得有困難，建議與同事進行討論；第二，如果擔心課堂教學“失控”或無法預設，則可為學生設置具體的問題情境（例如，利用具體的、常見的=25+6為問題提出活動的情境，而不是讓學生自選一個函數表達式作為問題提出活動的情境來提出現實問題）；第三，刪掉原有問題解決任務（即表1中任務二至七），讓學生有更多的時間來編題和思考解答個人所得稅的應用題．

教學設計的改變（D4）．D4中僅包含3個大的教學任務：一是通過編寫一個關于的代數式引出一次函數的概念（與表2中任務一類似）；二是讓學生基于教師給定的“=25+6”函數表達式編寫一個具有實際背景的問題；三是圍繞個人所得稅問題情境先后設計問題解決與問題提出任務，其中問題解決任務的目的在于幫助學生理解復雜的問題情境，而問題提出任務的目的在于為學生提供更多的學習機會，發(fā)散學生思維，幫助學生深入理解模型構建的意義與價值．

4.2.5 第五輪循環(huán)

教師學習與心路歷程．公開課后，裘老師深刻感受到了學生的潛力，發(fā)現學生更喜歡也更愿意主動參與問題提出活動．因此，裘老師也更加積極主動地想要在公開課教學反思的基礎上進一步完善教學設計，以期更符合學生的基礎，更適合學生的需求．同時，裘老師預設了學生可能給出的問題，細化了問題提出活動教學的具體步驟．教師對問題提出教學更有自信了．

教學設計的改變（D5）．D5與D4相比，一是問題提出活動的問題情境或任務要求發(fā)生了變化，如任務一由“編寫一個含有字母的代數式”變?yōu)椤熬帉懸粋€代數式”，任務二的問題情境由“=25+6”變?yōu)椤?1?200+3與=1?200-3”等；二是，細化教學步驟與組織形式（詳見表2）．

教學效果與反思．課后，學生也給予了積極的反饋：“這樣的上課方式會讓自己更想學，更有學習興趣”“編題有助于我們打開思維，把同一個解析式變成不同情境或同一個情境的不同問題，很有挑戰(zhàn)”．裘老師認為，課堂上一切決定的初心都是為了更有利于學生的學習，知識的獲取，能力的提高和情感的發(fā)展．這節(jié)課讓裘老師更加堅信問題提出教學獨特的意義與價值．

5 討論與啟示

教師在“一次函數”問題提出教學實踐探索之前，由于缺乏問題提出教學經驗而無法充分預測課堂教學中可能會產生的問題，沒有應對策略以及擔心課堂教學失控，導致教師初次教學實踐（D1設計的實踐）與預期相差甚遠．盡管教師自信心受挫，甚至對是否再次進行問題提出教學實踐而感到難以抉擇，但在研究者與教師同伴的指導、支持與鼓勵下，教師不甘心就此放棄，于是進行了第二次問題提出教學實踐探索（D2設計的實踐）．當教師經歷兩次失敗的問題提出教學實踐后，自信心深受打擊，于是開始質疑問題提出是否真的適用于“一次函數”概念教學．盡管研究者幫助教師將需要改進的問題聚焦至創(chuàng)設更適宜的問題提出情境、更明確的問題提出任務與如何將其融入至課堂教學中，同時與教師一起探究問題提出情境的適切性，但是教師因有公開課的壓力以及未從心底充分認同學生具有足夠的潛力提出問題，甚至是好的數學問題．因此，在接下來的兩次教學實踐（D3與D0設計的實踐）中，均采用相對熟悉的教學方式進行教學．由于常規(guī)教學未能達到教師的期望，教師仍想通過問題提出與問題解決有機融合的方法找到一個自然而然引入并產生“一次函數”概念的過程．教師帶著“如何使學生收獲最大”的思考，重整旗鼓，在研究者持續(xù)地幫助與鼓勵下，逐漸對問題提出教學有了更深入的理解，同時增強了教學自信，初次體驗到“一次函數”問題提出教學實踐（D4設計的實踐）的成就．同時，亦對問題提出知識、教學及其獨特的教育價值有了更深入的認識與理解，也更加積極主動地進行進一步完善設計與實踐（D5設計的實踐），對“一次函數”問題提出教學更加自信．值得注意的是，“如何使學生收獲最大”是從關注“教”到關注“學”轉變的重要指標．

總的來說，教師在學習改進歷程中，教學設計經歷了從“問題解決任務為主，問題提出任務為輔”（D1、D2），到“問題解決任務為主”（D3、D0），再到“問題提出任務為主，問題解決任務為輔”（D4、D5）的變化過程；相應地，課堂教學方式經歷了從“以問題解決教學為主”，到“問題解決教學”，再到“問題提出教學”的轉變．教師的心路歷程經歷了“過于自信→不甘心→質疑‘一次函數’問題提出教學→重振旗鼓，重獲自信→非常自信、更積極主動”的變化過程．

從實踐邏輯來看，教師學做一件新的事情，需要一定的參照、模擬和比較，教師難以從零創(chuàng)造，需要看到做出來的好的范例，才能根據自己的情境進行合理的遷移和創(chuàng)新[27]．因此，對于初學問題提出教學方法的教師而言，在其整個學習改進歷程中，研究者所起到的作用尤為重要，尤其是當教師自身陷入質疑或否定時．具體而言，盡管研究者在教師首次進行“一次函數”問題提出教學設計之前，便提出了教師需要解決的兩個確切問題及由問題解決任務向問題提出任務轉變的新視角．但是從“認識到”到“做得到”需要一個過程．教學實踐的失敗及教師伙伴的質疑使得教師自信心受挫并開始猶豫不決，研究者及其他教師的鼓勵有效地幫助教師緩解了心理壓力，同時，研究者為教師提供優(yōu)秀問題提出教學案例及教科書中的問題提出論文，幫助教師更好地理解問題提出教學．然而教學效果仍與教師期望相差甚遠，教師問題提出教學自信跌至谷底．研究者再次幫助教師將需要解決的問題聚焦至問題提出任務方面，盡管教師對問題提出活動中情境與任務的認知逐漸深化，但由于教師對問題提出教學的不自信，對問題提出活動組織管理失控的焦慮，對學生提出問題潛力的不自信以及公開課的壓力等，導致教師退回到常規(guī)教學設計上．對于教師的決定，研究者給予充分的尊重．當教師再次運用問題提出修改教學設計時，研究者針對教師設計中所存在的問題給出具體修改建議或范例，同時給出具體的原因，從而幫助教師解決問題提出情境或任務的寬泛或模糊性等問題，問題提出教學組織管理上的失控問題，對問題提出教學理念與本質認識的偏差等．幫助教師深入理解問題提出為何以及如何能促進學生對數學知識的概念性理解，而非僅僅關注學生的程序性理解．當教師真正經歷并理解了問題提出教學的價值與意義后，教師從心底里更加認同問題提出教學方法與教育價值，更自主、積極地進行完善設計與實踐．

可見，研究者除需要為實踐者提供新的教育理論知識上的支持與幫助外；還需要關注教師實際所做的工作，幫助教師分析產生變化或問題的原因，幫助教師解決其所面臨的教學設計與實踐等方面的問題；同時，還需要關注教師心理上的變化與障礙，積極予以引導與鼓勵．

未來，希望更多的教師學習問題提出教學方法，并進行問題提出教學實踐．同時，希望更多的研究者將教師學習過程中具體行動的落實亦視為研究的一部分，關注教師問題提出教學實踐過程中更具體、更微觀的層面．

[1] SCHLECHTY P C．創(chuàng)建卓越學校：教育改革的六大關鍵系統(tǒng)[M]．杜芳芳，譯．上海：華東師范大學出版社，2012：137．

[2] NCTM. An agenda for action: Recommendations for school mathematics of the 1980s [M]. Reston, VA: Author, 1980: 1-5.

[3] GEORG C. De aequationibus secundi gradus indeterminatis [D]. Schultz, 1867: 1-26.

[4] NCTM. Curriculum and evaluation standards for school mathematics [M]. Reston, VA: Author, 1989: 10-23.

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Learning to Design and Teach a Lesson on Linear Functions through Problem Posing: A Teacher-Researcher Partnership for Instructional Improvement

XU Ran-ran1, QIU Xiao-li2, YAO Yi-ling3, CAI Jin-fa4, 1

(1. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. Xiaoshan Middle School, Zhejiang Hangzhou 311201, China;3. College of Education, Hangzhou Normal University, Zhejiang Hangzhou 311121, China;4. Department of Mathematics, University of Delaware, Newark DE 19716, USA)

This paper presents a case study of a teacher trying to teach a lesson on linear functions through problem posing. Through a detailed analysis of five cycles of “Design-Practice-Reflection-Improvement” processes, we try to understand how the teacher learned to improve the lesson on linear functions. This study not only reveals the significant differences between the lesson without a problem-posing design and the lesson with a problem-posing design but also reveals the greater opportunities the lesson with a problem-posing design might create for students’ learning. In particular, the lesson with a problem-posing design allows students to engage in thinking and foster their conceptual understanding of linear functions. The problem-posing lesson can serve as a model for teachers to learn to teach through problem posing. In addition, this study shows the challenges the teacher faced in the process of improving from one version of the lesson to another and how the teacher-researcher partnership helped them overcome the challenges. The findings of this study suggest the need to attend to teachers’ beliefs and buy-in about an instructional innovation.

teacher learning; problem posing; instructional improvement; linear function

G632.0

A

1004–9894（2021）01–0025–07

徐冉冉，裘曉麗，姚一玲，等．基于教師—研究者伙伴關系的初中數學教學改進——以“一次函數”“問題提出教學”為例[J]．數學教育學報，2021，30（1）：25-31．

2021–01–02

國家社科基金后期資助項目——中小學問題提出的理論與實踐探索（20FJKB006）；重慶市研究生科研創(chuàng)新項目——數學教師問題提出能力的實證研究（CYB18117）；西南大學引進人才（教育部“長江學者”講座教授）計劃項目——數學問題提出對教師專業(yè)發(fā)展和學生創(chuàng)新能力提升的長期跟蹤研究（SWU118118）

徐冉冉（1990—），女，江蘇徐州人，博士生，主要從事數學教育研究．蔡金法為本文通訊作者．

[責任編校：周學智、陳漢君]