初中數(shù)學(xué)幾何推理與圖形證明的解題策略
——以等腰三角形為例

李嬌嬌

（浙江省杭州市益農(nóng)鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)，浙江 杭州 311247）

引言：平面幾何是初中數(shù)學(xué)的重要部分，重在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯思維能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力。然而初中生“幾何難”的問(wèn)題普遍存在，隨著學(xué)習(xí)的深入、幾何概念的增多、推理論證要求的提高，這種畏難情緒日趨嚴(yán)重，特別是到了初二，幾何內(nèi)容增多、增難之后，會(huì)出現(xiàn)兩極分化。所以，如何幫助學(xué)生過(guò)好幾何關(guān)，使學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)幾何的興趣尤為重要。

一、初中生平面幾何學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及原因分析

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在進(jìn)行平面幾何的推理和證明時(shí)，審題不仔細(xì)，語(yǔ)言不規(guī)范，碰到比較復(fù)雜的圖形時(shí)不知道該如何入手，畏難情緒嚴(yán)重，不能夠有條理地進(jìn)行分析，邏輯混亂。進(jìn)入初二以后，兩極分化現(xiàn)象明顯。造成這種狀況的原因，既有學(xué)生本身的“內(nèi)因”，也有教師教法的“外因”。部分學(xué)生對(duì)基本的性質(zhì)定理沒(méi)有加深記憶，再加上學(xué)習(xí)上沒(méi)有耐心和毅力，欠缺良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和主動(dòng)性。還有一部分學(xué)生只想依賴?yán)蠋熁蚱渌瑢W(xué)的幫助，盡快得到答案，思維能力和推理能力得不到鍛煉，幾何推理和證明的能力無(wú)法提升。而在教師方面，有的教師在初一幾何起步時(shí)，就過(guò)分強(qiáng)調(diào)幾何的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，使學(xué)生感覺(jué)很抽象，沒(méi)有站在學(xué)生的立場(chǎng)，以學(xué)生為主體，循序漸進(jìn)地推進(jìn)內(nèi)容，造成學(xué)生失去信心，學(xué)生看到幾何就怕。

二、初中數(shù)學(xué)平面幾何教學(xué)策略

例如：(杭州中考第16 題)如圖1 是一張矩形紙片，點(diǎn)E 在AB 邊上，把△BCE 沿直線CE 對(duì)折，使點(diǎn)B 落在對(duì)角線AC 上的點(diǎn)F 處，聯(lián)結(jié)DF。若點(diǎn)E，F(xiàn)，D 在同一條直線上，AE=2，則DF=BE=__________。

（一）把握核心，凸顯圖形特征的考查

初中幾何領(lǐng)域內(nèi)容的考查主要以求值、證明的方式呈現(xiàn)。幾何試題的命制既要符合課標(biāo)要求，又要科學(xué)簡(jiǎn)潔。本題把握了幾何學(xué)習(xí)的核心內(nèi)容和要求，引導(dǎo)學(xué)生整體感知圖形特征，有利于學(xué)生形成幾何學(xué)習(xí)的整體意識(shí)。圖形特征主要指圖形的度量特征和圖形之間的關(guān)系特征。圖形的度量特征包括線段的度量(線段比)、角的度量.面積與體積等度量。圖形之間的關(guān)系特征包括線與線的位置關(guān)系，以及圖形間的全等、相似關(guān)系等。題目有兩空，都是求線段長(zhǎng)，實(shí)際上是考查圖形的度量。本題融合了對(duì)圖形度量特征與關(guān)系特征的考查，在解決問(wèn)題的過(guò)程中，需要學(xué)生細(xì)心觀察，發(fā)現(xiàn)圖形的關(guān)系特征，從中尋求解題思路。

（二）數(shù)形結(jié)合應(yīng)用在日常教學(xué)之中

1.利用多媒體展示數(shù)形結(jié)合

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，教師要充分利用現(xiàn)代化的多媒體技術(shù)展示數(shù)形結(jié)合方法，例如，在幾何圖形的教學(xué)中，教師就可以通過(guò)多媒體的方式將三角形、多邊形等幾何圖形進(jìn)行平旋轉(zhuǎn)、變化等，吸引學(xué)生的注意力，讓學(xué)生能夠進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。利用多媒體教學(xué)能夠讓學(xué)生清楚直觀地看到不同圖形之間的聯(lián)系、變化和轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)幾何圖形的有趣之處，從而提高了學(xué)習(xí)自主性。同時(shí)教師也需要注意，不可過(guò)多依賴多媒體，多媒體是一種輔助教學(xué)手段，主要作用是輔助教學(xué)，不可用來(lái)代替教學(xué)，尤其是數(shù)學(xué)教學(xué)，在幾何圖形呈現(xiàn)的時(shí)候，雖然可以很好地展示平面與立體的效果，給學(xué)生呈現(xiàn)直觀的視覺(jué)體驗(yàn)，但是不能全部用PPT 課件代替教師在課堂上的講解作用，課堂還是要還給學(xué)生與教師，在多媒體的輔助作用下，從整體上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。

2.“共頂點(diǎn)的兩個(gè)相似等腰三角形”的解法提煉與拓展應(yīng)用

（1）問(wèn)題提出

題目如圖1，在△ABC 和△AEF 中，∠BAC=∠EAF，AB=AC，AE=AF，連接EB，CF 交于點(diǎn)D，連接AD.

1.求證：CF=BE；

2.求證：AD 平分∠EDC.

在這個(gè)信息時(shí)代，網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展是飛速的?，F(xiàn)在的大學(xué)生都喜歡在網(wǎng)上瀏覽信息，而網(wǎng)絡(luò)文化，其實(shí)也可以算作校園文化的一種。我們需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行正確認(rèn)識(shí)，進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)文化的建設(shè)，例如建設(shè)網(wǎng)上校園，針對(duì)校園師生所關(guān)注的輿論進(jìn)行權(quán)威的報(bào)道以及解釋，另外也可以在網(wǎng)上校園增添就業(yè)環(huán)節(jié)，提供面試技巧以及職場(chǎng)技能。網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展雖然讓有些大學(xué)生沉迷其中，但是如果我們能夠加以引導(dǎo)，網(wǎng)絡(luò)也是校園文化建設(shè)的利器，是思想政治教育的重要手段。

證明(1)因?yàn)椤螧AC=∠EAF，

所以∠BAC+∠BAF=∠EAF+∠BAF.

因?yàn)锳C=AB，AF=AE，所以△CAF ≌△BAE.

所以CF=BE.

如圖1，過(guò)點(diǎn)A 作AM ⊥BE 于點(diǎn)M，作AN ⊥FC 于點(diǎn)N，因?yàn)椤鰿AF ≌△BAE，所以S △CAF=S △BAE.

因?yàn)镃F=BE，所以AN=AM.

所以AD 平分∠EDC.

思路分析從已知條件中可以抽象成△AEF 繞著點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)而形成的一道試題，主要考查全等的判定和性質(zhì)、角平分線的逆定理等核心知識(shí)，在證明AD 平分∠EDC 時(shí)，巧用面積法證明高線相等，再根據(jù)角平分線性質(zhì)的逆定理得出結(jié)論.

模型提煉本題從圖形的直觀中可以發(fā)現(xiàn)“共頂點(diǎn)的兩個(gè)相似等腰三角形”，其中一個(gè)三角形(△AEF)繞著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)、相似變換得到對(duì)應(yīng)的三角形(△ABC)；從圖形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)中可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)固定不變的結(jié)論△CAF ≌△BAE，從而得到CF=BE，AD 平分∠EDC.筆者由此出發(fā)，縱觀近幾年各省、市的中考題目，發(fā)現(xiàn)很多試題通過(guò)此結(jié)論為紐帶解決一些難度較大的問(wèn)題，供同行參考.

（三）課后作業(yè)的生活化培養(yǎng)學(xué)生的自主能力

學(xué)者專家認(rèn)為，當(dāng)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的生活情景越來(lái)越相近時(shí)，學(xué)生對(duì)問(wèn)題探討的積極性就越來(lái)越高。因此，教師在課堂上培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的同時(shí)在課后也要有所體現(xiàn)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的印象，提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。例如，在學(xué)習(xí)《等腰三角形》的過(guò)程當(dāng)中，教師首先灌輸給學(xué)生等腰三角形的概念，然后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)課堂中的等腰三角形。最后在課堂的結(jié)尾布置幾個(gè)問(wèn)題，比如：我們生活中還有哪些等腰三角形？關(guān)于等腰三角形的建筑有哪些？等腰三角形與普通三角形的區(qū)別？以及等腰三角形在我們生活中的合理應(yīng)用？學(xué)生通過(guò)上網(wǎng)查資料、與父母交流、實(shí)踐活動(dòng)等方式來(lái)尋找答案，與教師、同學(xué)進(jìn)行探討。這種課后作業(yè)的形式培養(yǎng)了教師與學(xué)生之間的感情，拉近了教師與學(xué)生之間的距離，學(xué)生之間的互相討論將不同的想法結(jié)合在一起，使學(xué)生考慮問(wèn)題的角度變得多樣化，在提高學(xué)生自主能力的同時(shí)，也促進(jìn)了學(xué)生之間的友誼，增強(qiáng)了班級(jí)的凝聚力，方便了教師的管理。學(xué)生針對(duì)不會(huì)的問(wèn)題通過(guò)查資料、問(wèn)家長(zhǎng)等方式尋找答案，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決方式開(kāi)創(chuàng)了多種途徑，豐富了學(xué)生的思維能力。通過(guò)問(wèn)題問(wèn)家長(zhǎng)的這種形式，學(xué)生與家長(zhǎng)之間產(chǎn)生了許多交流，促進(jìn)了親子關(guān)系，也使家長(zhǎng)成為學(xué)生的崇拜者，方便家長(zhǎng)的管理，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量和水平。

（四）設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化活動(dòng)，織起經(jīng)驗(yàn)之“網(wǎng)”

結(jié)構(gòu)具有張力、遷移力和統(tǒng)攝力。學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不斷建構(gòu)與完善是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)之一。學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累也是如此。要做到這一點(diǎn)，教師不僅要讓學(xué)生親歷學(xué)習(xí)過(guò)程，還需要設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)化的活動(dòng)，讓學(xué)生的認(rèn)知在新舊經(jīng)驗(yàn)的碰撞與聯(lián)系中，從“零散”走向“結(jié)構(gòu)化”。

結(jié)論：從初中幾何教學(xué)開(kāi)始，學(xué)生進(jìn)入全新的領(lǐng)域，告別單純的數(shù)、式思維，進(jìn)入圖形和空間思維方式，教學(xué)中應(yīng)該全方位考慮學(xué)生的畏懼心理，多實(shí)踐、多探究，同時(shí)循序漸進(jìn)地培養(yǎng)和訓(xùn)練幾何語(yǔ)言與圖形化思維方式，激發(fā)學(xué)生興趣，幫助學(xué)生更好地完成初中階段幾何的學(xué)習(xí)任務(wù)。