兩種求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的方法

盧建彬

摘 要：對求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的問題，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)，也是歷屆高考的熱點(diǎn)，學(xué)生普遍感到困難，而且解題容易出錯，為了便于學(xué)生掌握，下面總結(jié)了兩種求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué);復(fù)合函數(shù);單調(diào)性

一、利用學(xué)生所熟悉的初等函數(shù)（如冪、對數(shù)、指數(shù)函數(shù)）的性質(zhì)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

例1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

解：此函數(shù)的定義域，令，由二次函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

∵函數(shù)在上是增函數(shù)。

∴得單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是。

例2：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

解：此函數(shù)的定義域，令，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

∵對數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù)。

∴的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是。

上述方法求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵點(diǎn)是：

⑴先求復(fù)合函數(shù)的定義域M，所求的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必定是M的子區(qū)間。

⑵若函數(shù)其中為自變量時在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)（x為自變量） 的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性相同; 若函數(shù)

其中為自變量時在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)（x為自變量）的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性恰好相反。如此類推，最后可以確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

二、可用定理求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

從上述求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的關(guān)鍵點(diǎn)（2）中，我們不難得到一個復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判定方法：

若數(shù)值函數(shù)，令。且在上具有單調(diào)性，那么復(fù)合函數(shù)在M0上是增函數(shù)（減函數(shù)）的充分條件是：在上減函數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)（奇數(shù)）。

證明如下：充分性

若函數(shù)在上減函數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)，不論在M0上是增函數(shù)還是減函數(shù)，根據(jù)上述求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的要點(diǎn)（2）知，復(fù)合函數(shù)在M0上是增函數(shù)。

同理可證，若函數(shù)在上減函數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，復(fù)合函數(shù)在M0上是減函數(shù)。

從而條件的充分性得證。

必要性（用反證法）

若函數(shù)在M0上是增函數(shù)，假設(shè)在上減函數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)，則由條件的充分性知，在M0上是減函數(shù)，這與在M0上是增函數(shù)矛盾，因此在上減函數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)。

同理可證在M0上是減函數(shù)時，在上減函數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)。

從而條件的必要性得證。

下面我們運(yùn)用這個定理求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。

例3：證明函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)。

證明：此函數(shù)的定義域?yàn)椋睿?，?/p>

以為在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。

所以由定理知，函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)。

例4：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

解：此函數(shù)的定義域可求得：

，令，，

∵v=cosx，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。

在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)。

∴由定理知，復(fù)合函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。

運(yùn)用此定理解題，就是將求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的問題轉(zhuǎn)化為n個基本函數(shù)，由它們中的減函數(shù)的個數(shù)來確定復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到了化繁為簡的目的，學(xué)生容易掌握。

結(jié)束語：

比較上述兩種方法，我們?nèi)菀卓吹?，對于求簡單的?fù)合函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用方法一或方法二都容易得到解答，而對求較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用方法二較為合適。

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本文系福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度課題：大數(shù)據(jù)驅(qū)動的高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)監(jiān)控與精準(zhǔn)干預(yù)行動研究（課題編號：FJJKXB20-790）系列論文之一。

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