基于GeoGebra的高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)研究

胡靜

摘 要：隨著普通高中新課程改革不斷深化，運用信息化手段來輔助教學(xué)引起了人們越來越高的重視。選擇一種科學(xué)、高效的教學(xué)模式方法，更加有助于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的有效提升。本文主要以冪函數(shù)課后探究活動：探究函數(shù)圖像和性質(zhì)以及對勾函數(shù)的教學(xué)為例，探討了如何利用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra（GGB）開展高效的高中函數(shù)教學(xué)活動。

關(guān)鍵詞：GeoGebra（GGB）;冪函數(shù);函數(shù);對勾函數(shù);高中函數(shù)教學(xué)

1.引言

GeoGebra（GGB）是一個免費的數(shù)學(xué)教育軟件，它由美國亞特蘭大學(xué)的數(shù)學(xué)教授Markus Hohenwarter設(shè)計，目前得到了國際上教育工作者們的廣泛使用。GGB界面簡潔明了，使用方便，易于上手，功能強大，在數(shù)學(xué)中代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計和微積分等多個方面都有涉及，基于GGB軟件在數(shù)學(xué)教學(xué)中的優(yōu)勢，本文通過函數(shù)圖像和性質(zhì)以及一般對勾函數(shù)的教學(xué)實踐案例，對其在高中函數(shù)教學(xué)中的使用展開了探討。

2. GGB在冪函數(shù)教學(xué)中的實踐

2.1 探究函數(shù)的圖像和性質(zhì)

人教A版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》（必修第一冊）2019年新教材（下面簡稱“教材”）中第三章第三節(jié)冪函數(shù)的“探究與發(fā)現(xiàn)“內(nèi)容為“探究函數(shù)的圖像和性質(zhì)”。數(shù)學(xué)探究活動的開展對加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深層次理解，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是十分必要的。借助數(shù)學(xué)軟件來輔助作圖、分析對提高學(xué)生的興趣，深化理解，拓寬思維，是關(guān)鍵的一步。

和分別是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，又都是冪函數(shù)，二者相加得到新的函數(shù)。參考教材中給出的7個問題，教師請學(xué)生思考可以從哪些方面探究這一函數(shù)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等）？在現(xiàn)有知識的基礎(chǔ)上按照怎樣的路徑去研究？學(xué)生獨立思考后小組進(jìn)行討論，教師再對于討論的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)。對于函數(shù)的性質(zhì)，主要有以下研究方法：

（5）描點，畫出函數(shù)的圖像，觀察圖像，歸納性質(zhì)。

教師需注意的是，學(xué)生這時往往對于基本不等式的應(yīng)用不夠熟練，因此對于方法（3）中值域的研究可先給出結(jié)論，學(xué)生加以證明即可。這在教材中問題4也有體現(xiàn)。

此處函數(shù)圖像的繪制對于學(xué)生是一個難點，這時有必要利用方法（4）對函數(shù)漸近線進(jìn)行研究，但由于學(xué)生對于函數(shù)漸近線和極限的概念缺乏認(rèn)識，教師此處應(yīng)做必要的說明，結(jié)合函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)性和值域畫出其圖像。

為使學(xué)生得到更深刻的認(rèn)識，教師用GGB軟件進(jìn)行演示（圖2.1.1），特別地，教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)函數(shù)的變化趨勢，思考這一趨勢和、的圖像變化趨勢有何聯(lián)系，以及函數(shù)的性質(zhì)和這兩個函數(shù)的性質(zhì)有何聯(lián)系。進(jìn)一步深化理解，令學(xué)生體會利用函數(shù)圖像研究函數(shù)性質(zhì)時的重要意義。

函數(shù)性質(zhì)的探究方法是不唯一的，不同學(xué)生的切入點也可能不一樣。教師在引導(dǎo)學(xué)生提出高效解決方法的同時，也要注重讓學(xué)生體會和總結(jié)數(shù)學(xué)理論的研究、發(fā)現(xiàn)過程，和其中蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法。

2.2探究對勾函數(shù)的圖像和性質(zhì)

對勾函數(shù)是形如

的函數(shù)。即為上述函數(shù)時的特殊情形。對于這類函數(shù)的研究方法，與2.1中所提到的方法是類似的，可以借助觀察法、定義法、基本不等式和畫圖等方式進(jìn)行。對勾函數(shù)在高中數(shù)學(xué)階段是一類重要的函數(shù)，教師可把對勾函數(shù)圖像和性質(zhì)的教學(xué)放在“探究函數(shù)的圖像和性質(zhì)”之后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步地展開自主討論，從而體會分類討論的思想以及數(shù)學(xué)問題一般化的思想過程。

對勾函數(shù)的圖像對于形成直觀認(rèn)識，分析這類函數(shù)的性質(zhì)是十分重要的，因此采用信息技術(shù)手段進(jìn)行圖像的動態(tài)演示十分必要，教師通過GGB軟件建立雙滑動條，演示參數(shù)對于函數(shù)圖像的動態(tài)影響過程（圖2.2.1），和學(xué)生一起分析函數(shù)圖像的變化規(guī)律。

為得到對勾函數(shù)極值點坐標(biāo)，教師在輸入欄鍵入指令“extremum（f）”或“極值點（f）”，或是在工具欄中選中“描點”下拉菜單中的“極值點”一項，再點選對應(yīng)函數(shù)圖像，函數(shù)的極值點就會在圖像上顯示出來，并在代數(shù)區(qū)自動生成它們的坐標(biāo)，這也驗證了：當(dāng)時，在第一象限內(nèi)的極值點坐標(biāo)為，在第三象限內(nèi)的極值點坐標(biāo)為;當(dāng)時，在第二象限內(nèi)的極值點坐標(biāo)為，在第四象限內(nèi)的極值點坐標(biāo)為。

為得到對勾函數(shù)的漸近線方程，教師在輸入欄鍵入指令“asymptote（f）”或“漸近線（f）”，從而驗證函數(shù)的漸近線方程均為：和。

特別地，保持參數(shù)不變，令參數(shù)發(fā)生動態(tài)改變，讓學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)的漸近線在這一過程中始終不變，結(jié)合相應(yīng)的代數(shù)分析，可令學(xué)生形成直觀的數(shù)學(xué)感受，對數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生更深的理解和感悟。

3 結(jié)論

相較于傳統(tǒng)的幾何畫板，GGB軟件是國際上目前使用更加廣泛的一種數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，實踐結(jié)論表明利用GGB實施教學(xué)工作，進(jìn)行函數(shù)圖像的動態(tài)演示分析，有利于優(yōu)化教學(xué)過程，從而提高教學(xué)的效率。

不僅是高中函數(shù)教學(xué)，GGB軟件在其它課例、題目的講解，甚至其它學(xué)科的教學(xué)中也會起到廣泛作用，熟練使用這一軟件對于一線教師提高課堂效率能夠帶來很大幫助，同時也可解決探究學(xué)習(xí)過程中存在的難點，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科思維，促進(jìn)實踐能力的提高、創(chuàng)新意識的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1] 中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020

[2] Dubinsky E， Mcdonald M A. APOS： A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research[M]// The Teaching and Learning of Mathematics at University Level. Springer Netherlands， 2002.

[3] Hohenwarter， M.， Preiner， J. Dynamic Mathematics with GeoGebra[J]. AMC，2007，10：12

[4] 孫娟.GeoGebra與幾何畫板的對比研究[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)（教師教育），2016（10）：23.

[5] 金賢. Geogebra軟件在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊， 2011（06）.

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