以問題為抓手，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)乘法分配律的深度建構(gòu)

魯樂芳

摘 要：乘法分配律是運(yùn)算定律教學(xué)的難點(diǎn)，也是學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)。本文直面學(xué)生對(duì)分配律知識(shí)掌握欠缺這一現(xiàn)象加以分析，在教學(xué)實(shí)踐中踐行了以問題為抓手，將直觀圖形與抽象的定律有機(jī)的融合：“在導(dǎo)入中，問題自提，追本溯源，立足本質(zhì);在探究中，問題引導(dǎo)，分類對(duì)比，抽象模型;在運(yùn)用中，問題質(zhì)疑，多維思考，全面認(rèn)知;在反思中，問題激活，轉(zhuǎn)換視角，形成體系”。引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)的探尋運(yùn)算定律的內(nèi)涵，精準(zhǔn)地把握乘法分配律的本質(zhì)，進(jìn)而深度建構(gòu)乘法分配律。

關(guān)鍵詞：乘法分配律;問題;融合;深度建構(gòu)

一、常規(guī)教學(xué)的困惑與思考

“乘法分配律”相比乘法交換律、結(jié)合律這兩種包含單一運(yùn)算的定律，其內(nèi)容和外在的形式都比較復(fù)雜，造成學(xué)生對(duì)知識(shí)不宜歸納總結(jié)，更難的是乘法分配律擁有豐富的變式、寬廣的范圍，又促使學(xué)生難以理解、苦于應(yīng)用。那如何突破難點(diǎn)？我們從教與學(xué)兩個(gè)方面加以分析。

1.學(xué)之難，教之困

從四年級(jí)學(xué)生的年齡特征看，建立分配律的概念并不是一件容易的事。學(xué)生不了解分配律兩邊的算式為什么會(huì)相等，也不知道分配律可以用在什么地方？

內(nèi)在因素：來自分配律本身的復(fù)雜性——除了運(yùn)算符號(hào)與數(shù)字排列的不同外，分配律有四種不同的形式：（a+b）×c=a×c+b×c，a×c+b×c=（a+b）×c，（a-b）×c=a×c-b×c，a×c-b×c=（a-b）×c，包括“合”和“分”的雙向關(guān)系，以及左右分配的差異性，每一種形式的背后，代表著不同的含義。學(xué)生常誤以為從“合”到“分”的展開過程是分配律，而“分”到“合”的還原過程則是結(jié)合律。此外，學(xué)生對(duì)乘法分配律進(jìn)行學(xué)習(xí)時(shí)，外部刺激對(duì)其學(xué)習(xí)所產(chǎn)生的干擾相當(dāng)?shù)拇?，學(xué)生很少會(huì)去主動(dòng)地深度剖析乘法分配律的本質(zhì)，而更多的在關(guān)注乘法分配律的“形”，忽視對(duì)“神”的理解，因此在實(shí)際計(jì)算和應(yīng)用時(shí)錯(cuò)誤百出，給乘法分配的掌握造成了極大的困難。

外在因素：一方面受到教材與教學(xué)的影響。人教版數(shù)學(xué)乘法分配律的引入是從解決問題中用兩種方法解答，然后利用結(jié)果相等來畫上等號(hào)，這樣的方式并不足以建立兩式相等的關(guān)聯(lián)性，學(xué)生也不能借此了解分配律的意義;另一方面，從教師方面看，雖然教材中涵蓋了許多分配律的相關(guān)內(nèi)容，但老師未必仔細(xì)研讀和思考過：“問題出在哪里，應(yīng)該怎么教？”有些含有分配律“影子”的內(nèi)容，我們老師往往一筆帶過，從而使學(xué)生也不了解分配律的用法又從何而起。在引導(dǎo)分析和感知運(yùn)算定律內(nèi)涵的時(shí)，目光也通常被工具性層面所束縛，對(duì)關(guān)系性層面缺乏解讀。

2.教學(xué)思考

教師在圍繞乘法分配律組織和開展教學(xué)工作的時(shí)，通常將與乘法分配律特征相符合的若干等式展示出來，讓學(xué)生對(duì)這些等式進(jìn)行觀察，對(duì)其相似之處進(jìn)行找尋，但對(duì)其本質(zhì)解讀不多，學(xué)生只能模仿知識(shí)點(diǎn)卻不知道此知識(shí)點(diǎn)的由來。因此我們有這樣的思考：

思考一：可否用乘法的意義來說理，對(duì)于學(xué)生來說，用乘法意義說理是不是最容易理解？能不能把課本情景與幾何直觀相結(jié)合，借用已有幾何圖形的知識(shí)，使說理直觀化，幫助學(xué)生真正理解乘法分配律的內(nèi)涵。

思考二：可否引入面積的含義來直觀幫助學(xué)生理解，著重引導(dǎo)學(xué)生借用數(shù)形結(jié)合的方式，在有效之形的輔助下，通過猜想、驗(yàn)證解釋所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，打通新舊知識(shí)的縱橫聯(lián)系，進(jìn)一步抓住知識(shí)間的共性與對(duì)其本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

帶著這樣的思考，我們進(jìn)行了新課的嘗試。

二、教學(xué)改進(jìn)與思考

讓學(xué)生清晰地架構(gòu)起乘法分配律的知識(shí)模型，這是教學(xué)的本質(zhì)，也是學(xué)生理解的基礎(chǔ)。但從現(xiàn)行人教版教材的編排體系看，教材所彰顯出的情景對(duì)學(xué)生理解知識(shí)的促進(jìn)功效相當(dāng)有限。因此在教學(xué)實(shí)踐過程中，我們對(duì)教材情景進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母木?，讓學(xué)生在問題的驅(qū)動(dòng)下，獨(dú)立自主的參與富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動(dòng)，使其經(jīng)歷乘法分配律知識(shí)的形成過程，進(jìn)而促其對(duì)乘法分配律有清晰、深刻的理解。

1.問題自提，追本溯源，立足本質(zhì)

在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)的時(shí)，教師要對(duì)學(xué)生既有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)有一個(gè)精準(zhǔn)的把握，既讓教學(xué)活動(dòng)真正成為教學(xué)的起點(diǎn)，又能使學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)自我提出問題，充分表達(dá)自己的思考和發(fā)現(xiàn)。

（1）從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)提出問題，激活思維

問題是學(xué)生思維的起點(diǎn)，教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)合理設(shè)置情景，讓學(xué)生自提問題，激發(fā)其探索欲望。

教學(xué)片段一【問題導(dǎo)入，引發(fā)思考】

出示圖片，提問：（1）從圖中你得到哪些信息？（2）根據(jù)這些信息，你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

生：芍藥花一共有幾朵？牡丹花一共有幾朵？

生：兩種花一共有多少朵？芍藥比牡丹多了多少朵？

師：同一情景，大家從不同視角提出了不同問題，棒極了。我們先來研究芍藥和牡丹花一共有多少朵。該怎么解決呢？請(qǐng)獨(dú)立思考，在匯報(bào)交流。

學(xué)生匯報(bào)。

通過交流得到兩個(gè)綜合算式：（12+8）×9，12×9+8×9。

師：同學(xué)們說說每一步表示什么意思？對(duì)比一下，這兩個(gè)式子有什么相同的地方？

生：三個(gè)數(shù)相同，結(jié)果也相同。（12+8）×9=12×9+8×9。

師：如果不計(jì)算，你還能知道他們的結(jié)果相同嗎？（引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形圈一圈，從縱向和橫向觀察，發(fā)現(xiàn)20個(gè)9可以分成12個(gè)9和8個(gè)9。）

師：現(xiàn)在看來，縱向和橫向觀察都可以通過乘法意義對(duì)兩個(gè)算式的相等關(guān)系做出解釋。

在學(xué)生提出的問題中選出與本課新知有關(guān)的問題讓學(xué)生自主解答，通過圈一圈領(lǐng)悟乘法的意義。立足于“形”的角度進(jìn)行“數(shù)”的刻畫，以簡(jiǎn)單形象化方式來處理抽象化的數(shù)學(xué)概念，使其能夠結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)對(duì)乘法分配律的形成過程有所感悟。

（2）基于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在結(jié)構(gòu)，合理猜想

算法的不斷延伸形成了運(yùn)算定律，重新構(gòu)建了四則運(yùn)算的順序。教師要架構(gòu)一些輻射性問題，讓學(xué)生進(jìn)行合理的猜想，準(zhǔn)確遷移，溝通知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系。

教學(xué)片段二【探究交流，提出猜想】

師：剛才同學(xué)們用圈一圈的方式解釋了兩個(gè)算式的相等關(guān)系。下面我們繼續(xù)研究。如果我把圖一抽象成長(zhǎng)方形（投影逐漸抽象成如下圖二）你能求出兩地面積之和嗎？

師：請(qǐng)你畫一畫，能用長(zhǎng)方形面積知識(shí)解釋為什么（15+10）×8=15×8+10×8等式成立嗎？

生：15×8、10×8分別算出兩個(gè)小長(zhǎng)方形的面積，合起來就是整個(gè)圖形的面積。（15+10）×8是將兩個(gè)長(zhǎng)方形視作一個(gè)大的長(zhǎng)方形來計(jì)算其面積。15+10是大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，8是大長(zhǎng)方形的寬，所以（15+10）×8=15×8+10×8。

將課件以動(dòng)畫的形式將兩個(gè)長(zhǎng)方形向一個(gè)大長(zhǎng)方形變形的過程展示出來。

師：為什么能夠合成一個(gè)長(zhǎng)方形？

生：因?yàn)閮蓚€(gè)長(zhǎng)方形的寬是相同的。

師：你能透過此圖能將不同列式思路找出來嗎？這兩種列式的結(jié)果怎么樣？

師：根據(jù)長(zhǎng)方形的面積不同計(jì)算我們找到了解決問題的新思路，一眼就看出兩道算式得出的結(jié)果是一樣的。

師：那大家是否思考過，可否利用面積的思路來解釋例題（12+8）×9=12×9+8×9結(jié)果大小為什么相等呢？

依次出示圖示中的兩個(gè)長(zhǎng)方形，學(xué)生用面積意義解釋兩個(gè)算式的結(jié)果為什么相等。

師：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬還可以換成其它數(shù)嗎？

生：可以換成任何一組合適的數(shù)。比如（17+13）×12=17×12+13×12，也可以換成56×9+44×9=（56+44）×9......

學(xué)生先從解決問題和乘法的意義去解釋等式成立，再把直觀的示意圖圖抽象成長(zhǎng)方形，引導(dǎo)學(xué)生從長(zhǎng)方形的面積角度去說明乘法分配律是否成立。長(zhǎng)方形的面積與乘法分配律貌似不相關(guān)，但它們的本質(zhì)內(nèi)涵是相通的。通過問題層層引導(dǎo)，充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和逆向求證的教學(xué)策略，溝通數(shù)與形之間的關(guān)聯(lián)，為其規(guī)律的探索，模型的創(chuàng)建提供有效思維途徑。

2.問題引導(dǎo)，分類對(duì)比，抽象模型

在概念形成教學(xué)時(shí)，要以數(shù)學(xué)方式來思考感知素材，在引導(dǎo)性問題介入下，有序分類的探討，追其根源，究其本質(zhì)。

教學(xué)片段三【多元表征，驗(yàn)證猜想】

師：剛才我們用長(zhǎng)方形的面積來解釋兩個(gè)算式，同時(shí)又寫出了一些不同的算式，請(qǐng)你觀察這些算式，他們是否有共同之處？

生：每個(gè)算式都有一個(gè)共同的因數(shù)。

師：同學(xué)們很快找出了問題的關(guān)鍵點(diǎn)，這類式子結(jié)果相等，主要原因在于其兩邊都有相同因數(shù)，但這些不同算式之間有沒有其它內(nèi)在聯(lián)系呢？

研究數(shù)據(jù)中存在的規(guī)律

請(qǐng)你仔細(xì)觀察：

問1：相等的算式，其左右兩邊數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出來的是何種特征呢？

問2：是不是在此種結(jié)構(gòu)和數(shù)據(jù)特征同時(shí)具備的情況下，兩個(gè)算式所得結(jié)果一定相等呢？

b.研究規(guī)律的合理性

師：這樣的現(xiàn)象是巧合嗎？還是客觀存在的事實(shí)？你能用學(xué)到的知識(shí)解釋這一現(xiàn)象。

c.抽象概括乘法分配律

師：看來，此規(guī)律具有普遍性，那你能否像乘法交換律和結(jié)合律一樣，用一個(gè)式子來表示規(guī)律嗎？

生：如果我把上面的長(zhǎng)方形的數(shù)據(jù)改寫成a、b、c，這些算式就可以寫成（a+b）×c=a×c+b×c。

（a+b）×c=a×c+b×c。

師：你們太棒了，這個(gè)就是我們今天要學(xué)的乘法中的一個(gè)重要定義——乘法分配律?？磥泶蠹医窈笠斫獬朔ǚ峙渎桑X子中只要有這個(gè)圖，它既直觀好記，也容易理解。

從實(shí)例出發(fā)，以抽象方式向字母公式轉(zhuǎn)化，借零散個(gè)例來推導(dǎo)數(shù)學(xué)結(jié)論，讓學(xué)生遵從問題的指引，在不完全歸納過程中，有效的進(jìn)行數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建。

3.問題質(zhì)疑，多維思考，全面認(rèn)知

每個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)能力不同，導(dǎo)致對(duì)知識(shí)的理解、運(yùn)用能力也有所不同，所以課堂練習(xí)的設(shè)計(jì)既要適合每個(gè)學(xué)生的需求，使每位學(xué)生對(duì)知識(shí)有一個(gè)完整、全面的認(rèn)知，又要讓學(xué)生學(xué)會(huì)多維思考，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供思維的動(dòng)力。

教學(xué)片段四【分層遞進(jìn)，應(yīng)用猜想】

（1）猜一猜。粗心的小婧在學(xué)完乘法分配律時(shí)，也試著寫了幾組等式，可是不小心被漏墨的鋼筆弄臟了，猜一猜她寫的等式左右兩邊原來是什么數(shù)？

（26+ ）×5=26×5+54×5

×（4+8）=25×4+25×8

32×7+×7=（32+68）×7

（2）幫一幫：開開和星星參加口算搶答比賽，兩人實(shí)力相當(dāng)，你知道誰贏的可能性大，為什么？

第一輪：開開（46+54）×9 星星：46×9+54×9

第二輪：開開4×（25+12） 星星：4×25+4×12

（3）選一選：下面選項(xiàng)中的計(jì)算結(jié)果跟¨×32計(jì)算結(jié)果相同？

a、×30+×2 b、×32+1 c、×31+

d、×4×8 ? e、×2+×10+×20

在學(xué)習(xí)活動(dòng)中增強(qiáng)學(xué)生的問題意識(shí)，有助于學(xué)生求知狀態(tài)的改善和學(xué)習(xí)成效的提升。這組練習(xí)的設(shè)計(jì)注重回顧舊知，整合知識(shí)。問題（1）對(duì)乘法分配律的起點(diǎn)給予重點(diǎn)關(guān)注。問題（2）關(guān)注乘法分配律在生活中的運(yùn)用，了解乘法分配律的最終歸宿—-簡(jiǎn)便計(jì)算。問（3）從不同的視角解讀乘法分配律，在這樣的問題中每個(gè)學(xué)生都能積極主動(dòng)參與，盡情地表達(dá)自己的想法，從而進(jìn)入更廣闊的探索空間。

4.問題激活，轉(zhuǎn)換視角，形成體系

教師在引導(dǎo)學(xué)生的過程中。既有縱向透視，也要橫向溝通，由點(diǎn)入線，由線入面，由面入體。把知識(shí)置于舊知網(wǎng)絡(luò)體系中，然后利用問題，激活思維，幫助學(xué)生尋找新舊知識(shí)之間的本質(zhì)與共性，建立結(jié)構(gòu)聯(lián)系。這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅有利于學(xué)生全面深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，而且有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體認(rèn)識(shí)和宏觀把握，促使學(xué)習(xí)走向深度。

（1）打通知識(shí)通道，感受新舊知識(shí)的聯(lián)系

學(xué)生對(duì)于運(yùn)算運(yùn)用兩數(shù)之和乘一個(gè)數(shù)等于這個(gè)兩個(gè)數(shù)分別乘同一個(gè)數(shù)，再求和這個(gè)運(yùn)算定律進(jìn)行計(jì)算是有經(jīng)驗(yàn)的，只不過在本節(jié)課學(xué)習(xí)之前并不知道叫做乘法分配律。所以教師在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的同時(shí)，回顧已學(xué)知識(shí)，使新舊知識(shí)有機(jī)融合，構(gòu)成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

教學(xué)片段五【反思回顧，溝通聯(lián)系】

師：乘法分配律對(duì)于我們而言并不陌生，它在現(xiàn)實(shí)生活中是無處不在的。觀察這些過程，你發(fā)現(xiàn)了什么？

三上《兩位數(shù)乘一位數(shù)筆算》

三下冊(cè)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法》

三上冊(cè)——《長(zhǎng)方形周長(zhǎng)》

此教學(xué)片段依托于乘法分配律，以設(shè)問為切入點(diǎn)，指引學(xué)生全面整合兩位數(shù)與一位數(shù)乘積的口算及筆算法則，三位數(shù)與兩位數(shù)乘積等數(shù)學(xué)運(yùn)算知識(shí)點(diǎn)。借用新知對(duì)舊知進(jìn)行重新審視，將新舊知識(shí)關(guān)聯(lián)徹底打通。

（2）回歸內(nèi)容體系，完成規(guī)律的拓展

教學(xué)的關(guān)鍵就是把知識(shí)的結(jié)構(gòu)化和體系化，從更高的視角全面的看知識(shí)的地位和作用，明白知識(shí)的來龍去脈，讓學(xué)生深刻的探究和了解知識(shí)的本質(zhì)。不僅可以讓知識(shí)簡(jiǎn)單易理解，方便遷移，而且能逐漸的形成整體結(jié)構(gòu)，去學(xué)習(xí)的方式和能力，慢慢的學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，最終形成素養(yǎng)。

教學(xué)片段六【拓展提升，發(fā)展猜想】

師：在這些長(zhǎng)方形當(dāng)中，哪兩個(gè)長(zhǎng)方形可以拼成一個(gè)較大的長(zhǎng)方形？拼成后的圖形面積是多少？請(qǐng)大家拼一拼。

然后教師追問。如果要把（1）（2）（3）長(zhǎng)方形拼成一個(gè)較大的長(zhǎng)方形，（2）號(hào)的圖形該怎么變化？如果要改變（3）呢？（根據(jù)學(xué)生回答出示）

師：要求整個(gè)圖形的面積怎么列式？

生：12×7+12×7+10×7=（12+12+10）×7

12×7+12×7+12×4=（7+7+4）×12

師：觀察算式你又有什么發(fā)現(xiàn)？如果我在添幾個(gè)圖形，求它的面積還能這么算嗎？

看來乘法分配律不僅適用與兩個(gè)加數(shù)的和，還可以換成三個(gè)加數(shù)，四個(gè)加數(shù)也同樣成立。

追問：如果括號(hào)里的加號(hào)改成減號(hào)，這個(gè)規(guī)律還成立嗎？這是一個(gè)全新的猜想，大家能否按照剛才上課的思路，課后自己去求證。

讓數(shù)學(xué)模型得以升華，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)乘法分配律的運(yùn)用范圍進(jìn)行進(jìn)一步的探索，再次拓展乘法分配律，既兩數(shù)之差與某數(shù)的乘積，更加全面，深刻的認(rèn)知乘法分配律，最終再在乘法分配律的輔助下，對(duì)問題進(jìn)行分析和解讀，并最終獲得更為豐富的知識(shí)儲(chǔ)備。

上述研究只是立足于自身所面臨的實(shí)踐問題所展開的思考，雖然所得觀點(diǎn)并不一定正確，然而思考才是最重要的。我們相信，一節(jié)課的成敗與否，真正的靈魂在問題上，作為引導(dǎo)者，我們要靜下心來，認(rèn)真審視教材，抓住每節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)，教材中任何涉及到與分配律有關(guān)的內(nèi)容，都要放慢腳步加以停留，并重視分配律相關(guān)教材內(nèi)容之間的內(nèi)部連結(jié)，站在大系統(tǒng)中宏觀把握，整體設(shè)計(jì)適合學(xué)生的教學(xué)，方可真正的領(lǐng)悟到知識(shí)的靈魂。

參考文獻(xiàn)：

[1]巢洪政，解決問題的策略及其教學(xué)簡(jiǎn)論，2009.6

[2]郭立峰，《小學(xué)教學(xué)參考》， 2021.2

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