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    分離參數(shù)法在解高考數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

    2021-03-11 00:17:49許賽飛
    天府?dāng)?shù)學(xué) 2021年9期

    摘 要:結(jié)合高考實(shí)例分析說明了分離參數(shù)法在解高考數(shù)學(xué)題中的討論方程根的個(gè)數(shù)、判斷函數(shù)的零點(diǎn)問題、解決不等式恒成立等多方面的應(yīng)用,進(jìn)而說明這種方法往往可以使問題簡化,達(dá)到事半功倍的效果。

    關(guān)鍵詞:分離參數(shù)法;高考數(shù)學(xué)題;零點(diǎn)問題

    所謂“分離參數(shù)法”是指在含有兩個(gè)量(一個(gè)參數(shù)和一個(gè)變量)的關(guān)系式(不等式或方程)中,要求變量的取值范圍,可以將變量和參數(shù)分離(即變量和參數(shù)各在等式或不等式的一端),從而求出變量的取值范圍或者是判斷解的存在性問題。它在求函數(shù)的值域或最值、數(shù)列求和、討論方程根的個(gè)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分析、不等式的恒成立判定以及根的存在性問題等諸多方面均有廣泛的應(yīng)用,而且利用這種方法可使解答問題簡單化,達(dá)到事半功倍的效果。下面結(jié)合高考數(shù)學(xué)題實(shí)例來進(jìn)行分析說明。

    1 ?分離參數(shù)法在求解函數(shù)最值問題中的應(yīng)用

    例1 ?若關(guān)于x的函數(shù)的最大值為M,最小值為N,且M+N=4,則實(shí)數(shù)t的值為多少?

    分析:先將該函數(shù)進(jìn)行參數(shù)分離,然后利用奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,其最大值與最小值之和為零,得到M+N=2t,從而求得t的值。

    解:對(duì)該函數(shù)進(jìn)行參數(shù)分離得,令,因?yàn)間(x)是奇函數(shù),其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以最大值與最小值之和為零,從而得到M+N=2t,故有t=2.

    評(píng)注:題目中出現(xiàn)最大值與最小值之和等問題,可以轉(zhuǎn)化為對(duì)稱性問題來解決,通過參數(shù)分離后出現(xiàn)了奇函數(shù),再結(jié)合奇函數(shù)圖像的對(duì)稱性可以快速解決問題。此題如果是直接對(duì)已知函數(shù)求導(dǎo),利用函數(shù)的單調(diào)性求其最大值與最小值,在利用已知條件求出參數(shù)t將極為麻煩。

    2 ?分離參數(shù)法在討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)中的應(yīng)用

    例2 ?已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù),當(dāng)x∈[0,3)時(shí),,若函數(shù)y=f(x)-a在區(qū)間[-3,4]上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ? ? ?(2014年高考江蘇卷第13題)。

    分析: 要求函數(shù)y=f(x)-a在區(qū)間[-3,4]上有10個(gè)不相同的零點(diǎn),通過分離參數(shù)a轉(zhuǎn)化為要求函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=a在區(qū)間[-3,4]上有10個(gè)不相同的交點(diǎn)。

    解 ?根據(jù)函數(shù)的圖象:

    有;當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),;同時(shí)知 .

    關(guān)于x方程f(x)- a=0即f(x)=a在x∈[-3,4]上有10個(gè)零點(diǎn),即曲線y=f(x)與直線y=a在[-3,4]上有10個(gè)交點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為3,所以直線y=a與曲線有4個(gè)交點(diǎn)時(shí),由于曲線y=f(x)與直線y=a在x∈[3,4]上還有兩個(gè)交點(diǎn),所以得到實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

    評(píng)注:如果直接求原函數(shù)在 x∈[-3,4] 上有10個(gè)不同的零點(diǎn),通過分類討論將十分復(fù)雜,這里我們通過分離參數(shù)將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=f(x) 圖像與直線y=a的交點(diǎn),利用周期性即可很快地求出所求參數(shù)a的取值范圍,方法簡潔、事半功倍。

    3 ?分離常數(shù)法在討論函數(shù)極值問題中的應(yīng)用

    例3設(shè)函數(shù)(k為常數(shù),e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

    (1)當(dāng)k≤0時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

    (2)若函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),求k的取值范圍.(2014年高考山東卷理科第20題)

    分析:這里要求函數(shù)f(x)在(0,2)內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),如果是用列表法分別求其單調(diào)區(qū)間再來判斷,將極為復(fù)雜,我們采取的辦法是通過分離參數(shù)k快捷簡便。

    解 ?(1). 當(dāng)k≤0時(shí),得,所以與x-2同號(hào),得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間、減區(qū)間分別是.

    (2)由(1)的結(jié)論知,,與同號(hào).

    設(shè),得.

    所以函數(shù)在(0,1),(1,2)上分別是減函數(shù)、增函數(shù).又因?yàn)椋院瘮?shù)在(0,2)有兩個(gè)零點(diǎn).

    設(shè)這兩個(gè)零點(diǎn)分別是,還可證它們分別是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn).所以所求k的取值范圍是.

    評(píng)注:在求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)后,通過參數(shù)分離再令,然后對(duì)的單調(diào)性和極值進(jìn)行求解,進(jìn)而得出的范圍,最后求得參數(shù)的取值范圍。

    4 分離常數(shù)法在求解恒成立、存在性問題中的應(yīng)用

    例4 ?設(shè)函數(shù).若存在f(x)的極值點(diǎn)x0滿足恒成立,則m的取值范圍是( ?)。(2014年高考課標(biāo)全國卷II理科第12題)

    A. B.

    C. D.

    分析:這里要求出m的取值范圍,針對(duì)條件中的不等式恒成立,通過參數(shù)分離實(shí)際上是要求出不等式左邊的最大值即可。

    解 ?.得Z)(還可得這樣的x0一定是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)).

    滿足,即Z滿足,也即,還即,進(jìn)而可得答案為C.

    評(píng)注:在許多針對(duì)不等式恒成立或者是解的存在性問題時(shí),我們往往可以通過參數(shù)分離的辦法將所求問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值、極小值問題。

    綜上所述,分離參數(shù)法在高考數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,它的本質(zhì)實(shí)際上是轉(zhuǎn)化與化歸的思想,通過參數(shù)分離將一些復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題或者是已經(jīng)熟練掌握了的問題,這樣往往可以化繁為簡。

    參考文獻(xiàn):

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    [2]牛玉勝總主編. 高中數(shù)學(xué)萬能解題模版[M].湖南師范大學(xué)出版社,2014.04.

    [3]許楠桸,許賽飛. 例談“非等價(jià)轉(zhuǎn)化”方法解高考數(shù)學(xué)題[J].2021.(1):274-280.

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