連珠成線 連線成片

董衛(wèi)鳳

當(dāng)新課程不再“新”，解決問題也不再是“問題”，“解決問題”還是讓老師們感到困惑。

教師困惑之一， “解決問題”的信息呈現(xiàn)花花綠綠可以接受，一個(gè)例題出來后，并不像以往“應(yīng)用題”那樣有“相似情境、相似結(jié)構(gòu)、相似問題”的練習(xí)也接受，但是例題和練習(xí)不匹配，練習(xí)范圍廣、變化多，讓人難以捉摸，學(xué)生錯(cuò)誤多。教師困惑之二，當(dāng)教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注怎么解決問題的過程和方法，卻發(fā)現(xiàn)教材不再提供數(shù)量關(guān)系的分析，數(shù)量關(guān)系到底怎么控制一個(gè)“度”，教材沒有“完整總結(jié)”，“解決問題”似乎變得教學(xué)結(jié)構(gòu)不清，思路難定。

問題即挑戰(zhàn)，面對(duì)教師在解決問題教學(xué)中的困惑，我們確立校本教研以“解決問題教學(xué)”為研究主題，主要探求幾個(gè)問題：怎樣正確解讀解決問題教學(xué)的教材？怎樣定位解決問題教學(xué)中的學(xué)生難點(diǎn)？怎樣進(jìn)行解決問題學(xué)法指導(dǎo)？筆者和同事們以《有余數(shù)除法解決問題》教學(xué)節(jié)為例，對(duì)以上問題進(jìn)行探索和研究。

一、解讀教材文本

我們首先思考教材，教材是否存在問題？我們教師究竟怎樣解讀教材？

思考一：解決問題的教材，真的很凌亂嗎？

解決問題的教材，真的是零打碎敲嗎？真的沒有章法嗎？真的是例題一類練習(xí)一類嗎？教研組的老師對(duì)二年級(jí)下冊(cè)“有余數(shù)除法解決問題”的第67-71頁進(jìn)行了分析，選擇典型分析列表如下

教材解讀分析：

根據(jù)上表所示，人教版二年級(jí)下冊(cè)《有余數(shù)除法解決問題》的教材編寫，應(yīng)該說教材的編寫者確實(shí)有其獨(dú)到之處。

（1）仔細(xì)解讀文本，類型全面并不凌亂：人教版二年級(jí)下冊(cè)第67頁到第71頁的有余數(shù)除法15道解決問題，涵蓋了有余數(shù)除法的幾大類型。第一類，與有余數(shù)除法計(jì)算教學(xué)緊密結(jié)合的問題，類似“可以坐滿幾輛車，會(huì)有剩余的人嗎？”的“兩問式”典型問題;第二類“至少要租幾條船”的“求至少”的“進(jìn)一類”問題，第三類“最多可以買幾瓶？”的“求最多”的“去尾類”;第四類 “再過多少天是星期幾？”的等余問題類;如練習(xí)十五第6題;第五類“這條彩帶有多長”，有余數(shù)除法的逆用類。第六類綜合應(yīng)用，多種情境組合的有余數(shù)除法解決問題。

（2）通讀2-5年級(jí)教材，呼應(yīng)緊密一脈相承：

本課教學(xué)，對(duì)于有余數(shù)除法的計(jì)算，包括口算、筆算，學(xué)生已有了能力上的儲(chǔ)備。有余數(shù)除法為三年級(jí)學(xué)習(xí)一位數(shù)除多位數(shù)打基礎(chǔ)，解決問題部分與五年級(jí)的用“去尾法”“進(jìn)一法”“四舍五入法”求商的近似值一脈相承，余數(shù)在周期性問題中的運(yùn)用是一二年級(jí)“找規(guī)律”從圖形到式題的一次思維提升。

（3）橫向比較6個(gè)版本教材，思路相似目標(biāo)接近：

筆者查找了人教版、蘇教版、北師大版、現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)等幾個(gè)版本的關(guān)于有余數(shù)除法解決問題的電子課本。蘇教版、北師大版的教材把“有余數(shù)的除法”放在二年級(jí)下冊(cè)，西南師大版安排在二年級(jí)下冊(cè)，現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)比較側(cè)重有余數(shù)除法解決問題的意義理解，而北師大版的數(shù)學(xué)關(guān)于有余數(shù)除法解決問題中的《租船》更具典型性，特別是其中關(guān)于最多與最少的闡述最明確，最清楚，對(duì)有余數(shù)除法的余數(shù)進(jìn)行合理取舍能有明確的認(rèn)識(shí)，而人教版關(guān)于此節(jié)的編寫優(yōu)點(diǎn)是起點(diǎn)低，但最后的提升深度綜合性特強(qiáng)，事實(shí)上各個(gè)版本的編寫形式不同，編排總體目標(biāo)大略相同，各個(gè)側(cè)重點(diǎn)其實(shí)是一脈相承。

（4）再讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》，更關(guān)注溝通思維聯(lián)系

為什么一個(gè)解決問題例題后面有這么多“看似不配套”的練習(xí)題，通過課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)解決問題的目標(biāo)定位的再學(xué)習(xí)，解決問題的編排必然更具應(yīng)用性，為構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，溝通知識(shí)間的聯(lián)系，必然有相對(duì)豐富的編排形式，其目的是關(guān)注讓學(xué)生關(guān)注解決問題的過程，揭示思維的關(guān)鍵，溝通知識(shí)、方法之間的聯(lián)系。

教材解讀結(jié)論：

解決問題的教材并不凌亂，它對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣激發(fā)、應(yīng)用意識(shí)增強(qiáng)、創(chuàng)造意識(shí)提高方面的作用不容置疑，而且囊括各個(gè)類別，相對(duì) “一個(gè)范例進(jìn)行訓(xùn)練” 要求更高，更注重內(nèi)在數(shù)量關(guān)系的理解和聯(lián)系。

二、解讀學(xué)習(xí)難點(diǎn)

教師經(jīng)常抱怨，學(xué)生對(duì)于解決問題的掌握得不好。那么解決問題的學(xué)生難點(diǎn)，難在何處？

思考二：解決問題的教材，學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)在哪？

分析人教版教材而下第六單元練習(xí)十五第8題（如圖），此題難度系數(shù)最大.

此題的題意為：

有康乃馨22枝、玫瑰16枝，蘭花10枝，請(qǐng)用7枝康乃馨、3枝玫瑰、2枝蘭花扎成一束。這些花最多可以扎成多少束這樣的花束？

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

結(jié)論：這些花最多可以扎成3束這樣的花束。

我們對(duì)此內(nèi)容進(jìn)行前測和后測。

前測：二年級(jí)未上過該內(nèi)容的同學(xué)前測正確率為4%。

后測：二年級(jí)非實(shí)驗(yàn)班和三年級(jí)同學(xué)已經(jīng)學(xué)過該內(nèi)容，后測正確率32%和37%。學(xué)生的錯(cuò)誤樣式如下：

后測錯(cuò)誤樣式

錯(cuò)誤樣式一：

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

結(jié)論：最多可以扎成5束

分析原因：學(xué)生理解可能“最多”要找商中最大的那個(gè)數(shù)的。

錯(cuò)誤樣式二：

22+16+10=48（枝） 7+3+2=12（枝） 4 8÷12=4（束）

結(jié)論：最多可以扎成4束

分析原因：可能，受有余數(shù)除法結(jié)構(gòu)思維定勢(shì)影響，人為構(gòu)造一個(gè)總數(shù)和一個(gè)每份數(shù)。

錯(cuò)誤樣式三：

22÷7=3（束）……1（枝）16÷3=5（束）……1（枝）10÷2=5（束）

3+5+5=13（束）

結(jié)論：最多可以扎成13束

分析原因：學(xué)生理解幾個(gè)扎在一起，就是把幾個(gè)商合并起來。

老師們很困惑——（1）教材為什么編寫綜合性這么強(qiáng)的解決問題？（2）此題歸結(jié)到哪一種數(shù)學(xué)思想呢？（3）此題與前面所學(xué)的有余數(shù)除法到底是什么樣的關(guān)系呢？

教師關(guān)于解決問題的抱怨，其實(shí)并不僅僅因?yàn)榻鉀Q問題的練習(xí)數(shù)量少范圍廣，更在于教材關(guān)于解決問題凸顯“數(shù)學(xué)思考”的發(fā)展，綜合性較原來要強(qiáng)多了，而我們的學(xué)生探究和分析能力彰顯薄弱。

老師們很期待——（1）有什么辦法讓學(xué)生比較順暢地理解類似題目的題意？（2）可以建構(gòu)怎樣的模型讓突破學(xué)生認(rèn)知難點(diǎn)？（3）怎樣讓學(xué)生的模糊識(shí)記變成意義理解，形成分析理解探究能力？

結(jié)論：既然是難點(diǎn)，就有必要把此類題目進(jìn)行研究，在學(xué)生感覺困惑之處加以點(diǎn)撥，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

三、關(guān)于解決問題學(xué)法指導(dǎo)

鑒于以上對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)及教材的解讀和對(duì)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的分析，教研組的成員認(rèn)為：學(xué)生解決問題的難點(diǎn)已經(jīng)明確，解決問題的目標(biāo)已可以準(zhǔn)確定位，由此歸結(jié)為學(xué)法指導(dǎo)方面的問題：解決問題如何使教學(xué)“形神均不散”，有效突破教學(xué)難點(diǎn)，從而構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)（知識(shí)同化），提升數(shù)學(xué)思考的能力？

策略一：抓內(nèi)核主干，殊途同歸體現(xiàn)“神不散”

著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾有句名言：讀書要從薄到厚，再從厚到薄。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更是如此。人教版教材，有余數(shù)除法解決的問題，共編排六種類型，屬于“大而全”，而一個(gè)例題是無論如何無法囊括所有類型的，那這些類型必然有一個(gè)核心主干。

分析有余數(shù)除法解決問題的類型，盡管千變?nèi)f化，但都可以歸結(jié)到運(yùn)算意義——有余數(shù)除法的意義、商和余數(shù)的意義。而抓住這一點(diǎn)，等于抓住了解決問題的主干。

比如《有余數(shù)除法解決問題》的導(dǎo)入部分，筆者安排了一組辨析題：

①扇子隊(duì)有25人，演出時(shí)隊(duì)形變換，每個(gè)圓圈站4人，可以站成幾個(gè)圈，還剩幾人？

②扇子隊(duì)有25人，演出時(shí)隊(duì)形變換，站成4個(gè)圓圈，每個(gè)圓圈幾人，還剩幾人？

解題1：25÷4=6（圈）……1（人）

解題2：25÷4=6（人）……1（人）

這一組題，從外在形式上看，是結(jié)果單位名稱的不同，但是從數(shù)學(xué)角度看，當(dāng)學(xué)生解決問題后，最后歸結(jié)到對(duì)除法意義的理解上，實(shí)際是映射了數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的這句話：解決問題教學(xué)必須讓學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)背景中感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)，發(fā)展學(xué)生根據(jù)運(yùn)算意義解決問題的能力。

“這一組題非常有意思”，有位特級(jí)教師這樣評(píng)價(jià)，“解答后，讓孩子們辨析這組題的題目和答案的異同，那就會(huì)真正去想商和余數(shù)的意義。”

思考：課程標(biāo)準(zhǔn)指出，將小學(xué)應(yīng)用題教學(xué)與運(yùn)算教學(xué)緊密結(jié)合，讓學(xué)生在建立數(shù)學(xué)概念、原理和方法的過程中理解和解答應(yīng)用題，發(fā)展學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況和運(yùn)算意義解決問題的能力。

凸顯概念意義，挖掘運(yùn)算意義，溝通內(nèi)在聯(lián)系，正確理解商和余數(shù)的意義，理解除法的意義，可以溝通六大類問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，萬變不離其宗，使解決問題從“大而全”到“少而精”，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有完整而系統(tǒng)的建構(gòu)，書由此從厚而薄。

策略二：揭思維關(guān)鍵，溝通知識(shí)方法聯(lián)系

學(xué)生解決問題，因?yàn)閭€(gè)體生活背景和認(rèn)知水平的差異，會(huì)出現(xiàn)各種各樣的解題策略與思考，這其實(shí)是很好的教學(xué)資源，通過典型題例辨析，可以促感性認(rèn)知升華，去除表象抽取特征，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的意義建構(gòu)。

例：二年級(jí)34位師生去參加跨湖橋美食節(jié)，每張桌子限坐4人，至少需要幾張桌子？

跨湖橋美食節(jié)，洪七公叫化雞每份8元，20元錢最多可以買幾份？

解決這個(gè)問題，我們讓學(xué)生進(jìn)行“三辨”。

第一辨：商加1與商不加1的辨析

對(duì)于第一問，學(xué)生有兩種解法。

解法1：34÷4=8（張）……2（人）;……………………（×）

解法2：34÷4=8（張）……2（人）8+1=9（張）?！?? ?（√）

兩種解法的區(qū)別，第一種是兩問式典型有余數(shù)除法解題思維定勢(shì)，第二種是商和余數(shù)進(jìn)行合理取舍。通過兩種方法的辨析，歸結(jié)到商和余數(shù)的意義，強(qiáng)調(diào)余下2人必須要給他們安排座位，去掉余數(shù)，所以商8必須加上1。

第二辨：“至少需要幾張桌子？”與典型“兩問式”問題的差異

孩子們解決問題時(shí)其實(shí)已經(jīng)明白了余數(shù)要合理的取舍。重點(diǎn)引導(dǎo)對(duì)“至少”認(rèn)識(shí)，明確“至少”在保證人人有座位的情況下的“至少”，這樣讓孩子們?cè)诶斫馍虨槭裁匆?時(shí)，不僅僅是一種直覺和感性認(rèn)識(shí)，而是學(xué)會(huì)了對(duì)題目信息的剖析，使自己的解答顯得有理有據(jù)，在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上升華。

第三辨：“至少”與“最多”辨析

至少需要幾張桌子？最多可以買幾份？

最多與至少，是一組很值得回味的概念情境，通過組題辨析，學(xué)生能從實(shí)際問題的解決中理解有余數(shù)除法的應(yīng)用，而且引導(dǎo)孩子們關(guān)注題中信息的剖析，能豐富孩子們對(duì)有余數(shù)除法解決問題不同的表達(dá)形式。

結(jié)論：“第一辨”實(shí)質(zhì)是學(xué)生解決問題的原點(diǎn)，從實(shí)際生活中理解有余數(shù)除法的意義，關(guān)注學(xué)生剖析、梳理、提煉、處理數(shù)學(xué)信息的能力，讓他們根據(jù)信息提出數(shù)學(xué)問題?！暗诙妗笔怯|發(fā)學(xué)生對(duì)不同問題情境不同目標(biāo)指向的思考，讓學(xué)生明確“問題不同”導(dǎo)致解決問題的答案和思考不同，讓學(xué)生們理解小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是也不可能所有問題都是典型的“問題”和“解決問題”，它必然需要有意義的接受——思維的訓(xùn)練。“第三辨”是解決問題后的思路整理和回顧，從前面兩個(gè)梯度的問題對(duì)比，引發(fā)學(xué)生對(duì)于“至少”與“最多”的理解，讓學(xué)生自主探索、合作交流中分析。這樣的“三辨”，由低到高，揭示了數(shù)學(xué)思考的思維本質(zhì)，溝通了知識(shí)方法的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)解決問題的意義建構(gòu)。

策略四：情境串接，一線串珠 “形不散”？

由于解決問題類型各不相同，如果老師只是照本宣科地按照順序一題一題呈現(xiàn)，學(xué)生一則興趣不大，二則目標(biāo)定位較高，學(xué)習(xí)效果肯定不會(huì)很理想。所以考慮創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，就像主題圖一樣，把每部分的題材串起來，既凸顯數(shù)學(xué)性，又照顧學(xué)生的生活和年齡實(shí)際，讓課堂“形神都不散”

為此，一線串珠，把不同目標(biāo)取向的數(shù)學(xué)素材用適當(dāng)?shù)那榫秤行Т?。在教學(xué)預(yù)案設(shè)計(jì)時(shí)，我們充分利用了“跨湖橋美食節(jié)”這個(gè)實(shí)實(shí)在在的地方資源，有機(jī)容納四個(gè)類別問題（如下表），達(dá)到形不散。

本課的教學(xué)，教師選取的是“跨湖橋文化節(jié)”的主題情境，但在教學(xué)中每一個(gè)環(huán)節(jié)教師都盡量少說“廢話”，關(guān)于生活主題情境的闡述，除了課前談話1分鐘左右以外，其它各個(gè)環(huán)節(jié)連結(jié)語總時(shí)間不超過1分鐘。

“我覺得整體的課結(jié)構(gòu)很好。能夠緊密結(jié)合當(dāng)?shù)氐奈幕M(jìn)行教育。不過請(qǐng)注意，課的引入過程中，介紹當(dāng)?shù)氐囊恍┗顒?dòng)，要快一些不要化時(shí)間太多。這些事學(xué)生是相對(duì)比較熟悉的，所以不必太詳細(xì)?！保ㄌ丶?jí)教師指導(dǎo)。）

結(jié)論：教學(xué)情境既激發(fā)興趣，又始終明確數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)要求，達(dá)到形神都不散。

策略五：化靜為動(dòng)，直觀表象構(gòu)建思維支撐點(diǎn)

人教版練習(xí)十五的第8題，無論前測還是后測，都顯示一個(gè)事實(shí)，學(xué)生獨(dú)立解決這個(gè)問題有難度。下面是根據(jù)教材改編的教學(xué)素材：跨湖橋文化節(jié)十大名菜展評(píng)中推出一道“孔雀開屏”。

癥狀：根據(jù)前測和后測，學(xué)生近50%的學(xué)生能得到三個(gè)算式，

14÷3=4（盤）……2（個(gè)）7÷1=7（盤）19÷2=9（盤）……1（個(gè)）

但是得到正確答案“4 ”很難

難點(diǎn)分析：為什么此題對(duì)學(xué)生而言很難，綜合性體現(xiàn)在哪？

設(shè)計(jì)這道題目的編寫者的意圖，除了讓學(xué)生鞏固理解“最多”的余數(shù)取舍方法，此題蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是什么？筆者感覺此題設(shè)計(jì)是兩次“最多”的綜合運(yùn)用，第一次是余數(shù)的取舍，“蘋果多余的只數(shù)”要去掉，“菠蘿多余的只數(shù)”要去掉;第二次是組合事物商的取舍，“橙子多余的盤數(shù)”要去掉，“菠蘿多余的盤數(shù)”要去掉，蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的根據(jù)是“包含與排除”的初步理解，7、4、9只能共同擁有4，所以最多只能做4盤“孔雀開屏”。

難點(diǎn)根源：多樣物體進(jìn)行“兩次取舍”，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生缺乏感性經(jīng)驗(yàn)支撐

采取對(duì)策：抽象的“數(shù)學(xué)思想”，用具體直觀演示做支撐。第一層面讓學(xué)生從數(shù)學(xué)數(shù)量和數(shù)學(xué)思想方法的角度尋找解決問題的策略，第二層面借助課件直觀地演示，用動(dòng)態(tài)的形式，讓學(xué)生在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上理解剛才的知識(shí)，形成同化。

課堂片段：同學(xué)們有很多答案，咱們用課件幫助我們證明一下。（先放菠蘿，再放蘋果，最后放橘子。）（生隨著課件演示，說出每次變化。）

動(dòng)態(tài)演示—————————————————————

逐步演示后提問：最多能放幾盤？為什么？

學(xué)生思考后回答：4盤。此時(shí)有學(xué)生已經(jīng)能表達(dá)自己的思維：因?yàn)?是三個(gè)商中最小的，大家都包含有的量，所以當(dāng)幾樣?xùn)|西組合在一起，要選擇商最少的，咱們把這句話讀一讀。我們發(fā)現(xiàn)：幾類事物組合在一起，取商最小的。這是數(shù)學(xué)思考的飛躍。

結(jié)論收獲：現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材為教師提供了豐富的教學(xué)資源，教材例題和習(xí)題內(nèi)容也比較貼近學(xué)生的生活實(shí)際，符合學(xué)生的年齡特點(diǎn)，但這些畢竟是靜止的東西，要引起學(xué)生的注意和興趣還有很大的欠缺，而學(xué)生往往對(duì)活動(dòng)的事物更感興趣。如果遭遇思維過程相對(duì)復(fù)雜、學(xué)生理解有一定的困難的內(nèi)容，適當(dāng)改變習(xí)題呈現(xiàn)方式，把這些靜止的資源活動(dòng)化，可以增加直觀性、趣味性，更利于突破難點(diǎn)。

上例中抽象的“數(shù)學(xué)思想”，用具體直觀演示做支撐，化靜為動(dòng)，在學(xué)生有了直觀感受以后，再留時(shí)間讓學(xué)生自查、內(nèi)化，并有提升和總結(jié)性的語言，幫助學(xué)生表達(dá)自己的認(rèn)識(shí)，這樣他們對(duì)這類問題的解決就會(huì)比較到位。

綜上所述，解決問題在內(nèi)容上，并不局限典型例題，關(guān)注解決問題的思維過程;在形式上，突破了例題和練習(xí)“單打一”形式，更豐富更廣闊，感覺上給教師帶來很多困難。實(shí)質(zhì)上，解決問題這樣的編排更關(guān)注原先“應(yīng)用題”編排的目標(biāo)的落實(shí)——重視思維方法的訓(xùn)練（分析思維、綜合思維）和思維品質(zhì)的培養(yǎng);

所以，突破“解決問題”教學(xué)疑難，對(duì)教師而言，必須對(duì)教材深入剖析，包括挖掘教材每道題的編排意圖和代表類型，包括數(shù)學(xué)知識(shí)和生活情境之間的生長點(diǎn)聯(lián)結(jié)點(diǎn)，包括眾多版本的的教材的比較分析，這需要?jiǎng)?chuàng)新和探索;必須對(duì)學(xué)生進(jìn)行深入分析，包括剖析學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知起點(diǎn)，包括剖析學(xué)生思維困惑的成因和對(duì)策，這需要?jiǎng)?chuàng)新和探索;必須對(duì)學(xué)生進(jìn)行適恰的學(xué)法指導(dǎo)，重視算式意義的理解、思路的表述和思維關(guān)鍵的揭示，重視分析方法的討論和數(shù)量關(guān)系的提煉，任何數(shù)學(xué)問題的解決都不能直接依賴已有的知識(shí)和方法，只有通過對(duì)已掌握的知識(shí)和方法的重新組合并生成新的策略和方法，才能實(shí)現(xiàn)問題的解決，這也需要?jiǎng)?chuàng)新和探索。

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