中學(xué)數(shù)學(xué)三角形全等和相似問題探究

王正坤

摘要：初中數(shù)學(xué)三角形全等和相似問題的研究是整個初中幾何問題的基礎(chǔ)，然而近幾年來學(xué)生對于三角形全等和相似掌握程度卻每況愈下。那么在三角形的全等和相似問題的數(shù)學(xué)中，教師們應(yīng)當(dāng)要注重總結(jié)相應(yīng)的方法以及解體的技巧，從而幫助學(xué)生形成完善的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率以及解題能力。引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)三角形時緊抓幾個重點(diǎn)關(guān)鍵詞，再逐步細(xì)化對應(yīng)的內(nèi)容，讓學(xué)生更加清晰地了解三角形之中邊、角的對應(yīng)關(guān)系，通過及時練習(xí)達(dá)到掌握問題解法的目的。

1 了解三角形全等的表示方法及解題思路

三角形全等的表示方式為△ABC≌△DEF.與形容三角形ABC與三角形DEF全等是不一樣的表達(dá)內(nèi)容。全等符號的出現(xiàn)代表者三角形的A點(diǎn)對應(yīng)另一個三角形的D點(diǎn)，以此類推邊對邊、角對角。而僅僅說明兩個三角形全等只表示兩個三角形全等，邊角情況無法對應(yīng)。教師在講解三角形全等的時候，一定要強(qiáng)調(diào)符號的作用，以便學(xué)生能夠準(zhǔn)確找到對用的邊和角令解題過程更加清晰明了。

如何判定兩個三角形全等。

當(dāng)已知有兩組對角相等，我們可以通過尋找一邊相等從而證明兩個三角形全等。如果已知有兩組對邊相等，我們可以尋找兩邊的夾角來判斷兩個三角形全等。如果已知一邊一角相等，那么我們需要任意一個角相等去證明兩個三角形全等。而用數(shù)學(xué)符號表示分別是“A、S、A”“S、A、S”以及“A、A、S”。

例如：

如圖所示，A、C在BD的同一側(cè)，A D、BC相交于E點(diǎn)，且∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD。判斷 △ABC與△DCB 是否全等。

由題意可知∠ADB=∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD。所以，根據(jù)“A、S、A”“A、A、S”判定可知，已知兩個角相同，只要再有一條邊相等就可以判定這兩個三角形全等。

解：由題意可知∠ADB=∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD，又因BD=BD， ∴ △ABC≌△DCB

例2：

例如：如圖所示，AE=DF，∠A=∠D，AB=CD，判斷BF和EC的大小關(guān)系，并證明。

由題意可知，BF、EC在△AEC和△BDF中，想要判斷他倆的關(guān)系，可以先判斷兩個三角形△AEC和△BDF是否全等，由此來判定BF、EC的關(guān)系。

解：已知AE=DF，，∠A=∠D，AB=CD，∴ AB+BC=BD+BC，即AC=BD，由“S、A、S”定理可得△AEC≌△BDF，又因，BF、EC在△AEC和△BDF中，∴ BF=EC。

2 了解三角形相似的表示方法及解題思路

2.1 三角形相似的表達(dá)方式為△ABC∽△DEF，證明三角形相似的條件與證明三角形全等的條件是相似的。而形容三角形ABC相似于三角形DEF與通過數(shù)學(xué)公式表達(dá)的相似是不一樣的。相似三角形的證明可以用平行線的性質(zhì)方法去做，也可以使用三角形旋轉(zhuǎn)的方法解答相似三角形的問題。相似三角形是全等三角形的推廣，學(xué)生在做相似三角形的題型時需要以全等三角形的相關(guān)定理為基礎(chǔ)去解答，

2.2 如何判斷兩個三角形的相似

兩角分別對應(yīng)相等的兩個三角形相似。兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似。三邊成比例的兩個三角形相似。一條直角邊與斜邊成比例的兩個直角三角形相似。三邊對應(yīng)平行的兩個三角形相似。通過這些基本定義能夠求得三角形相似問題的答案。

例如：

問題：如圖所示，在?ABC與?A1B1C1中，若∠A=∠A1，∠B=∠B1，試猜想：?ABC與?A1B1C1是否相似？并證明你猜的結(jié)論

可以讓學(xué)生從圖形的外觀上來討論思考，根據(jù)外觀來看，大多學(xué)生都會想到這兩個三角形應(yīng)該是相似的。但怎么去證明這一猜想，需要老師去給同學(xué)們講解結(jié)論的證明。由題意可知，想要用定義去證明的話，題中給的條件不太充足，因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用定理去證明：

構(gòu)造出定理證明所需要的圖形：在?ABC中，作BC的平行線，并在?ABC中截得的三角形與?A1B1C1全等，教師與學(xué)生一同討論，解題。

證明：在?ABC的邊AB上截取AD= A1B1，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則有?ADE∽?ABC.∵∠ADE=∠B，∠B=∠B1，∴∠ADE=∠B1.又∠A=∠A1，AD=A1B1，∴?ADE≌ ?A1B1C1.∴?ABC∽?A1B1C1.

例2：

如圖，要測量一條馬路的寬度，可在路的兩邊找到相對應(yīng)的兩個點(diǎn)A、B，先從B出發(fā)與AB成90°方向向前走50米，到C點(diǎn)立一標(biāo)桿，不改變方向向前走10米到E點(diǎn)，在E點(diǎn)轉(zhuǎn)90°，沿 ED方向走到D點(diǎn)，若A、C、D三點(diǎn)在同一直線上，DE=17米，根據(jù)題目所示求出路寬。

解：由題意可知，從B點(diǎn)向同AB成90°角方向出發(fā)，

∴ ABC=90°∵BC=50m，CE=10m，DEC=90°

∴△ABC～△DEC， AB=5DE，沿ED方向再走17米，到達(dá)D處，即 DE=17，∴ AB=5x17=85.所以路寬為85米。

結(jié)語：

三角形相似與全等的問題沒有特定的方法，學(xué)生在解答相關(guān)問題所使用的方法是需要靈活的思考并且通過長時間的積累才能從多層次思考解答，三角形的全等與相似可以說是中學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重點(diǎn)、難點(diǎn)。三角形的全等以及相似的證明需要多加練習(xí)并且多看圖形養(yǎng)成思路、學(xué)會畫出輔助線等。解題過程需要語言準(zhǔn)確，格式標(biāo)準(zhǔn)。這樣才能養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，三角形想要提高解題正確率需要多做題總結(jié)規(guī)律找到解題方法，為學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)其它類型打下基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]彭慧秀. 基于幾何直觀的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐研究——以全等三角形和相似三角形為例[J]. 新課程·中旬，2015（11）：370-371.

[2]何曉靜. 關(guān)于直角三角形全等和相似判定的探究[J]. 考試周刊，2013（67）：66-67.

[3]張健. 突破瓶頸，知識遷移——以全等三角形和相似三角形的教學(xué)為例[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（12）：3-4.

[4]米其韜. 判定三角形全等與相似的一種新方法及其證明（VI）[J]. 遼寧師專學(xué)報（自然科學(xué)版），2006，8（4）：1-3，44. DOI：10.3969/j.issn.1008-5688.2006.04.001.

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