“六招”輔助線解決全等三角形證明問題研究

龔惠芳

摘要：幾何圖形具有很強(qiáng)的抽象性，有些題目很難通過直觀觀察就能得到答案，人們在日常生活中遇到困難會尋求幫助，那么學(xué)習(xí)也是一樣的，通過直觀觀察找不到答案，那就試著做一些輔助的條件，來尋求題目的正確答案，給有些題目繪制出適當(dāng)?shù)妮o助線往往就會有柳暗花明的感覺，一些看似很難找不到出路的幾何題目，通過繪制合適的輔助線便會很容易找到題目的答案，由此輔助線在初中平面幾何中也得到了初中幾何老師的青睞，數(shù)學(xué)老師在講解幾何難題時常常也會借助輔助線來找到答案。

關(guān)鍵詞：輔助線;全等三角;證明問題

引言：

初中幾何知識學(xué)習(xí)經(jīng)常會用三角形全等的知識點來解決問題，這就要求初中學(xué)生應(yīng)該熟練掌握三角形全等的知識，在學(xué)生對三角形全等性質(zhì)進(jìn)行學(xué)習(xí)的時候，有些題目根據(jù)條件和圖形就可以證明兩個三角形全等，但是大多數(shù)題目是需要借助輔助線來轉(zhuǎn)化已知條件，將復(fù)雜的題目簡單化才能找到答案，根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗，老師們也總結(jié)了很多添加輔助線的方法，以下主要對“六招”輔助線解決全等三角形證明問題研究做主要論述。

一、全等三角形的判定

通俗講全等三角形就是兩個三角形對應(yīng)的邊和對應(yīng)的角都應(yīng)該相等。而判定三角形全等的主要方法有：SSS（三邊對應(yīng)相等是全等）、SAS（兩邊及其夾角對應(yīng)相等是全等）、AAS（兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等是全等）、ASA（兩角及其夾邊對應(yīng)相等是全等）。

二、“六招”輔助線解決全等三角形證明問題研究

（一）圖形分割，公共邊來解圍

連接兩點線段，借助輔助線將一個四邊形劃分為兩個全等三角形。根據(jù)全等三角形的定義特征，證明兩個角相等。

例：如圖，在四邊形EFGH中，已知EF=EH，GF=GH，求證∠F=∠H。

解析：在四邊形EFGH中沒有三角形，通過連接EG，將四邊形劃分為兩個三角形△EFG和△EHG，由于已知EF=EH，GF=GH，再加公共邊EG=EG，根據(jù)SSS（三條邊對應(yīng)相等），得出△EFG和△EHG是全等三角形。據(jù)此可以得出∠F=∠H。

（二）連接兩點，同側(cè)公共邊來解圍

借助輔助線連接兩點線段，將所求角所在的三角形轉(zhuǎn)化到有共享邊的全等三角形中。根據(jù)全等三角形的定義特征，證明兩個角相等。

例：如下圖，已知EG與FH相較于O點，EF=HG，EG=FH，證明∠E=∠H。

解析：根據(jù)圖示可知，圖中雖然有兩個三角形，但是根據(jù)題意很難求證兩個角相等，但是將F點和G點相連，F(xiàn)G就是△EFG和△HGF的共享邊，根據(jù)SSS（邊邊邊相等）判定方法就能證明△EFG和△HGF是全等三角形，再根據(jù)全等三角形的定義就能證明∠E=∠H。

（三）延長線段，公共角來解圍

借助輔助線延長題目畫出的已知線段，通過構(gòu)造公共角，求證兩個三角形全等，再根據(jù)全等三角形的定義特征，證明兩個角相等。

例：如下圖已知FH=GI，F(xiàn)G⊥于HF于F點，GI⊥于HI于I點，證明，F(xiàn)G=IH.

解析：在圖中分別含有線段FG和線段HI的三角形有好幾個，但是根據(jù)已知條件，我們很難求出兩條線段FG和IH相等，這時候我們將線段FG和線段IH分別延長相交與E點，則在△EGI和△EFH中∠E=∠E，∠EFH=∠EIG，F(xiàn)H=GI，則根據(jù)全等三角形的判定方法AAS（兩角及其一角的對邊對應(yīng)相等的三角形是全等三角形），可以得知△EGI和△EFH是全等三角形，再根據(jù)全等三角形的定義就能證明EG=EH，EF=EI，又因為FG=EG-EF，IH=EH-EI，據(jù)此就可以推理出FG=IH.

（四）延長高線，角度轉(zhuǎn)移來解圍

當(dāng)高與某角的平分線垂直，多采用借助輔助線延長垂直線段，進(jìn)行所求角度的轉(zhuǎn)移。

例：在△EFH中，已知FI是∠EFH的平分線，EO⊥FI，證明∠FEG=∠GEH+∠EHG。

解析：通過直面觀察三個角好像沒什么關(guān)系，但是考慮到三角形內(nèi)角以及平角的定理，我們可以將EO這條垂直線延長與△EFH的底邊FH相較于G點，那么如圖可構(gòu)成△EFO和△GFO，在△EFO和△GFO中有個共用邊FO，∠FOE=∠FOG，∠EFO=∠GFO，那么根據(jù)全等三角形判定方法ASA（兩角及其夾邊對應(yīng)相等的三角形是全等三角形），可得△EFO和△GFO是全等三角形，所以∠FEG=∠FGE，然而∠FGE=∠GEH+∠EHG，依次可以推理出∠FEG=∠GEH+∠EHG。

（五）加倍延長中線，倍長中線法

在日常解題中，遇到中線要借助輔助線對中線加倍延長，構(gòu)造對等三角形。例：如下圖，在△EFH中，EO為邊FH上的中線，EF=EH=5，解答EO長的

值范圍。

解析：要想求得EO的取值范圍，就需要把與EO有關(guān)的線段轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，然后根據(jù)三角形的三邊長度之間的定律求出EO的取值范圍，如圖首先把中線EO延長一倍，延長終點為G，連接FG，構(gòu)成兩個三角形△FOG和△EOH，由已知條件及延長方法，根據(jù)全等三角形判定方法SAS（兩邊及其夾角對應(yīng)相等的三角形是全等三角形），可得△FOG和△GOH是全等三角形，那么就把要求解的EO取值范圍轉(zhuǎn)移到了△FOG中，又因EO=OG，據(jù)此在△EFG中根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系可以求出EO的取值范圍。

（六）平分線上圖形翻折，構(gòu)造對等三角形

在角平分線的題目中，若需求解線段之間關(guān)系，往往是借助輔助線在三角形中構(gòu)建對等三角形，將所求問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

例：圖中EH為△EGJ的中線，已知∠GHF=∠FHO，∠JHP=∠PHO，要求證明GF+PJ>FP。

解題分析：根具題意，無法直接找到三者之間的關(guān)系，往往需要借助輔助線構(gòu)建全等三角形，將所求問題中的線段GF轉(zhuǎn)化為線段FO，將所求問題中的線段PJ轉(zhuǎn)化為線段PO，這樣就會將所求問題轉(zhuǎn)化到一個三角形中，再根據(jù)三角形三條邊之間的關(guān)系求解。

結(jié)語：

在初中平面幾何中輔助線具有增加條件，或?qū)⒁延袟l件轉(zhuǎn)化到熟悉的幾何定理或性質(zhì)上，起到了簡化題目的作用。這就要求教學(xué)老師要將輔助線的用法潛移默化地融入到數(shù)學(xué)題目講解之中，讓學(xué)生熟練掌握平面幾何中輔助線的應(yīng)用方法與技能，養(yǎng)成擅于運用輔助線的良好習(xí)慣，并給以后立體幾何的學(xué)習(xí)打下堅持的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]常海偉.三角形問題解答思路與途徑[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)（初中版），2017，（8）.29-30.