λ-乘數(shù)收斂不變性的判據(jù)*

邢志勇，蔡俊娟，黃 麗

(1.廈門海洋職業(yè)技術學院公共教育學院，福建 廈門 361100；2.太原科技大學應用科學學院，山西 太原 030024)

擴大已知乘數(shù)收斂不變性的不變范圍乃至求得最大不變范圍是有重要意義的，前輩在這方面作了不懈努力并取得了一定的成果，這類工作今后還要繼續(xù)做下去.泛函分析空間理論[1-8]特別是局部凸空間理論也應發(fā)展到一個新的理論水平，這其中就包括乘數(shù)收斂不變性的理論研究.例如，Orlicz-Pettis定理[9]指出子級數(shù)收斂是乘數(shù)收斂不變性，Mackey定理[10]認為有界性是乘數(shù)收斂不變性，Mazur定理[11]斷定凸集的閉包是乘數(shù)收斂不變性.此外，還有學者給出了特殊情形下的乘數(shù)收斂不變性.例如，Schur引理[12]指出(l1,l∞)中序列的收斂是乘數(shù)收斂不變性，Diestel-Faires定理[13]指出Banach空間X使(X′,‖·‖)不含l∞時的X′中級數(shù)的子級數(shù)收斂對(X′,X)而言不僅是乘數(shù)收斂不變性，還是全程不變性，即(X′,X)-極拓撲全體上的不變性.筆者擬在特定空間研究λ-乘數(shù)收斂不變性，通過討論算子級數(shù)賦值收斂的不變范圍獲得賦值收斂的重要意義.

1 預備知識

X,Y是拓撲線性空間(Topological Vector Space，簡稱TVS)[2,14].對于?φ∈C(0),U∈N(X),令

Rφ,U(X,Y)={f∈YX:?x∈U,|t|≤1,?s∈[0,|φ(t)|],使得f(tx)=sf(x)}.

若X,Y是線性空間，φ∈C(0)，則有

Rφ(X,Y)={f∈YX:?x∈X，|t|≤1,?s∈[0,|φ(t)|],使得f(tx)=sf(x)}.

定義2[2,15]X是線性空間，λ(X)?XN.若對于?(xj)∈λ(X),?(tj)∈c0，(zj)∈λ(X),使得xj=tjzj,?j∈N，則稱λ(X)是c0-分解的；若當(xj)∈λ(X)，(tj)∈c0時,有(tjxj)∈λ(X),則稱λ(X)是c0-合成的.

定義3[15]λ(X)?XN.若當(tj)∈l∞，(xj)∈λ(X)時，有(tjxj)∈λ(X)，則稱λ(X)是l∞-合成的；若λ(X)是c0-分解的和c0-合成的，則稱λ(X)是l∞-合成的.

2 主要結(jié)果及其證明

定理1X,Y是線性空間，φ，ψ∈C(0)，λ(X)?XN.若λ(X)是c0-分解的和c0-合成的，則對于?{fj}?Rφ(X,Y)，Yψ?Rψ(Y,C)，下列2個條件等價：

證明(ⅰ)?(ⅱ).

取(tj)∈c0,(zj)∈λ(X)，使得(xj)=(tjzj).因為

φ(δk)→0，

所以不妨設δk<1，|φ(δk)|<1，?k∈N.對于每個mk≤j≤nk,存在0≤θj≤|φ(δk)|<1，0≤sj≤|ψ(θj)|，使得

(1)

maxΔk

(2)

從而每個fk:Ω→C連續(xù).

又對N中的列k1

由定義3可知，因λ(X)是l∞-合成的，(uj)∈λ(X)，故由條件(ⅰ)，?y∈Y，使得

于是

(ⅱ)?(ⅰ)同理用邏輯反證法可證.證畢.