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    定數(shù)截尾場合Pareto分布形狀參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間

    2021-03-03 08:50:00李云飛
    內(nèi)江師范學院學報 2021年2期
    關鍵詞:樞軸定數(shù)置信水平

    劉 璐,李云飛

    (西華師范大學 數(shù)學與信息學院,四川 南充 637009)

    0 引言

    Pareto分布是研究收入模型的一種分布,它最先由意大利經(jīng)濟學家Vilfredo Pareto (1848)提出.Pareto分布在社會經(jīng)濟、軍事以及可靠性統(tǒng)計分析等很多領域中得到廣泛的應用[1-3].因此,研究Pareto分布在參數(shù)估計和可靠性分析上都具有十分重要的理論意義以及實用價值.

    關于Pareto分布性質(zhì)的研究,學者們通過不斷地對其進行完善和改進,已經(jīng)形成了豐富的研究成果:Ouyang[4]對壽命分布為Pareto分布的n個元件進行定數(shù)截尾實驗,當觀測到有r個元件失效后,研究了剩余元件的失效時間以及還需要的實驗時間的Bayes預測.李鳳[5]基于逐次定數(shù)截尾模型,選取未知參數(shù)的先驗分布為無信息先驗分布,分別在平方損失和LINEX損失下,討論了Pareto分布的形狀參數(shù),失效率以及可靠度函數(shù)的Bayes估計.王娟[6]給出了Pareto分布中尺度參數(shù)的幾種區(qū)間估計方法,重點研究之前不常見的極大似然估計的漸近正態(tài)性法和輪廓似然函數(shù)法,并說明這幾種方法的適應范圍及優(yōu)缺點.龍兵[7]基于雙邊定時截尾Pareto分布壽命試驗數(shù)據(jù),利用極大似然法和EM算法分別計算形狀參數(shù)的極大似然估計近似值.

    而對于最優(yōu)置信區(qū)間的研究也有很多成果,如,李柏林[8]證明了最優(yōu)區(qū)間估計的存在性,并推導出了常見分布形狀參數(shù)的區(qū)間估計公式.田霆[9]在給定的置信度下,求得了定數(shù)截尾Weibull分布的形狀參數(shù)的最短置信區(qū)間.李麗穎[10]研究了在總體均值未知時,尺度參數(shù)σ及σ2在置信水平為0.90和0.95下的最短置信區(qū)間.

    定數(shù)截尾壽命試驗(type-censored sample life test),又稱II型截尾壽命試驗,它是指試驗到指定的失效個數(shù)停止[11-12].國內(nèi)外的許多學者和專家都對Pareto分布和最優(yōu)置信區(qū)間分別做了相關的研究,但是在定數(shù)截尾場合下針對Pareto分布參數(shù)最優(yōu)置信區(qū)間的研究較少.本文將通過構造置信區(qū)間的一個樞軸量的方法[13],求定數(shù)截尾場合Pareto分布形狀參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間,并將其與傳統(tǒng)方法求得的置信區(qū)間進行對比分析.

    1 Pareto分布中形狀參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間

    1.1 Pareto分布參數(shù)θ的置信區(qū)間

    若隨機變量X服從參數(shù)為θ和σ的Pareto分布,則X的密度函數(shù)為:

    f(x;θ,σ)=θσθx-(1+θ),x>σ,

    記為X~Pareto(θ,σ),其中,θ>0為形狀參數(shù),σ>0為尺度參數(shù).

    fT(t;θ)=θexp(-θt).

    所以

    因此,由指數(shù)分布的性質(zhì)可知:樞軸量2rθTr~

    χ2(2r).

    采用傳統(tǒng)方法,對于給定的α∈(0,1),求得在置信水平為1-α下θ的置信區(qū)間:

    在給定置信水平的情況下,由于卡方分布的概率密度是單峰非對稱,利用傳統(tǒng)方法構造的區(qū)間是等尾置信區(qū)間,而不是最短置信區(qū)間,因此造成傳統(tǒng)方法所求的置信區(qū)間的精度也不高,并且也不是具有一致最小平均長度性質(zhì)的置信區(qū)間.

    1.2 最優(yōu)置信區(qū)間

    (1)

    (2)

    1.3 Pareto分布參數(shù)θ的最優(yōu)置信區(qū)間

    對于Pareto分布而言,在給定的置信水平1-α下,假設存在a,b,其中0

    P(a≤2rθTr≤b)=1-α,

    由此可得θ的1-α的置信區(qū)間為:

    這個區(qū)間的平均長度為:

    (3)

    定理1設x1,x2,…,xn是來自總體X的樣本,總體X服從Pareto(θ,σ)分布,θ為未知參數(shù),樞軸量2rθTr的分布密度函數(shù)為

    F在(a*,b*)處的Hessian矩陣為:

    因為g′(b*)<0,所以λ*g′(b*)>0,Hessian矩陣為正定矩陣,因此(a*,b*)為非線性規(guī)劃的唯一最優(yōu)解.

    2 算例分析

    假設某種元件服從尺度參數(shù)為σ=10,形狀參數(shù)為θ=0.5的Pareto分布,現(xiàn)從這批元件中隨機抽取16個元件進行定數(shù)截尾壽命試驗,所得的壽命數(shù)據(jù)[8](單位:小時)按從小到大的順序排列如下:x1=10.201,x2=11.355,x3=13.507,x4=14.705,x5=23.907,x6=28.327,x7=28.806,x8=32.425,x9=67.62,x10=145.863,x11=230.913,x12=286.61,x13=883.347,x14=1448.172,x15=1635.349,x16=2403.728.在取置信水平1-α=0.95時,求這批元件服從Pareto分布的形狀參數(shù)的一致最小平均長度的置信區(qū)間.

    表1 形狀參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間

    從表1可以發(fā)現(xiàn),最優(yōu)置信區(qū)間長度比傳統(tǒng)區(qū)間長度相對縮短了ε%(ε與樣本個數(shù)n無關);觀察發(fā)現(xiàn)置信區(qū)間相對縮短比率ε%的大小不依賴算例數(shù)據(jù),因此該結果具有一般性:當失效個數(shù)r≤11時,最優(yōu)置信區(qū)間相比傳統(tǒng)的置信區(qū)間有較為明顯的縮短,幅度在2%~12%;當r>11時,置信區(qū)間的縮短比率(<2%)逐漸減小.

    3 結論

    Pareto分布首先經(jīng)過線性變換轉(zhuǎn)化成指數(shù)分布,然后在定數(shù)截尾試驗場合中,給出了構造Pareto分布形狀參數(shù)θ置信區(qū)間所需的樞軸量,并且樞軸量服從卡方分布,但是卡方分布的概率密度非對稱,從而按照傳統(tǒng)方法得到的θ的置信區(qū)間不是最優(yōu)置信區(qū)間;因此在這里進一步給出了滿足定數(shù)截尾試驗場合Pareto分布參數(shù)θ最優(yōu)置信區(qū)間的條件,并利用拉格朗日乘數(shù)法,將最優(yōu)置信區(qū)間求解過程中的非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為方程問題,由此得到形狀參數(shù)的最優(yōu)置信區(qū)間;最后給出了一個求解定數(shù)截尾場合下Pareto分布參數(shù)最優(yōu)置信區(qū)間的算例分析,通過分析發(fā)現(xiàn)當失效個數(shù)r≤11時,最優(yōu)置信區(qū)間相比傳統(tǒng)的置信區(qū)間有較為明顯的縮短,但隨著失效個數(shù)r>11,置信區(qū)間的縮短比率(<2%)逐漸減小,因此,當r≤11時,可以用最優(yōu)置信區(qū)間作為形狀參數(shù)的置信區(qū)間,這樣將會提高估計的精度.

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