例談數(shù)學(xué)分析中的有限與無限

李有連

(呂梁學(xué)院 離石師范分校,山西 呂梁 033000)

我們都知道數(shù)學(xué)分析這門課程就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科,而極限思想揭示了無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系。借助極限思想,我們可以從有限認識無限,然后以無限為基礎(chǔ)得到相應(yīng)的結(jié)果。

一、有限與無限的區(qū)別

數(shù)學(xué)分析中,有許多命題或定理只有在 “有限”時成立,在 “無限”時不再成立。

(一)加法結(jié)合律

在“有限”的情況下,加法結(jié)合律成立,但在“無限”的情況下就不再成立。

例如:?a,b,c都有(a+b)+c=a+(b+c)

按照有限的計算法則,假如數(shù)的加法可以任意結(jié)合,則有:

1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…=[1+(-1)]+[1+(-1)]+[1+(-1)]+…=0

1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+…=1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+[(-1)+1]+…=1

即出現(xiàn)了0=1,就有大問題了。所以說,有限到無限是引起 “質(zhì)變”的。

(二)極限的四則運算法則

在“有限”的情況下,極限的四則運算法則成立,但在“無限”的情況下就不再成立。

按照有限的計算法則:

再例如:有限個無窮小的和是無窮小,但無限個無窮小的和就不一定是無窮小。

(三)連續(xù)函數(shù)的四則運算法則

在“有限”的情況下,連續(xù)函數(shù)的四則運算法則成立,即有限個函數(shù)都在點x0處連續(xù),那么其和在點x0處也連續(xù),但在“無限”的情況下就不再成立。

例如:研究函數(shù)項級數(shù)∑un(x)=u1(x)+u2(x)+…+un(x)+…的和函數(shù)在其收斂域內(nèi)的連續(xù)性,其中u1(x)=x,un(x)=xn-xn-1,n=2,3,…

解:顯然sn(x)=x+(x2-x)+…+(xn-xn-1)=xn

所以和函數(shù)s(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)連續(xù),但在點x=1處不連續(xù)。

從這個例子可以看出,雖然級數(shù)的每一項在點x=1處不但連續(xù),而且可導(dǎo);但其和函數(shù)在點x=1處卻不連續(xù),更談不上可導(dǎo)了。

二、有限與無限的聯(lián)系

在數(shù)學(xué)分析中“有限”與“無限”間建立聯(lián)系的手段,往往很重要。

(一)無限由有限構(gòu)成

(二)有限由無限組成

(三)有限轉(zhuǎn)化成無限

在初等數(shù)學(xué)研究中，我們習(xí)慣于把有限的任一初等函數(shù)轉(zhuǎn)化成無窮級數(shù)。

(四)無限轉(zhuǎn)化成有限

在數(shù)學(xué)中我們一般通過有限項之和的極限來定義無限項之和,這就是將無限轉(zhuǎn)化為有限。

例如:要證

對于一切自然數(shù)都成立的話,就必須采用數(shù)學(xué)歸納法。數(shù)學(xué)歸納法的運用就是把無限步的推理過程轉(zhuǎn)化為有限步,從而得到結(jié)果。在數(shù)學(xué)分析中計算數(shù)項級數(shù)的和也是同樣的道理。

所以級數(shù)的n項部分和

故級數(shù)的和為1。

總之,有限和無限是一對很有特色的數(shù)學(xué)概念。兩者相互交叉,相互聯(lián)系,相互對立,相互統(tǒng)一,數(shù)學(xué)分析中的無限只有在與有限的辯證統(tǒng)一中去考慮,才能被理解,才能被應(yīng)用。