基于伺服系統(tǒng)PD校正的仿真與設(shè)計

于齊，高銘陽

（ 黑龍江科技大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150027 ）

0 引言

隨動控制系統(tǒng)又名伺服控制系統(tǒng)，其參考輸入是變化規(guī)律未知的任意時間函數(shù)。隨動控制系統(tǒng)的任務(wù)是使被控量按同樣規(guī)律變化并與輸入信號的誤差保持在規(guī)定范圍內(nèi)，這種系統(tǒng)在軍事上應(yīng)用最為普遍，如導(dǎo)彈發(fā)射架控制系統(tǒng)，雷達(dá)天線控制系統(tǒng)等[1]。其特點是輸入為未知。本文以火炮跟蹤控制系統(tǒng)為例進(jìn)行研究，在實現(xiàn)基本功能的基礎(chǔ)上，尋求控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、快速性、準(zhǔn)確性等最佳平衡點。通過建立傳遞函數(shù)模型，分析根軌跡與伯德圖，串聯(lián)超前校正部分，了解其穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差，對系統(tǒng)進(jìn)行補償校正，對比補償前后的系統(tǒng)變化，提高了系統(tǒng)性能。

1 概述

火炮跟蹤系統(tǒng)是一種通過控制火炮角度以跟蹤目標(biāo)并在適時開炮射擊目標(biāo)的系統(tǒng)，其被控對象是火炮的直流驅(qū)動電機(jī)，被控量為火炮的轉(zhuǎn)軸角，給定輸入為電位器電位，其刻度對應(yīng)0°～360°的火炮轉(zhuǎn)軸角。給定輸入與被控量的差值為偏差量，整個控制過程即為將偏差量與干擾輸入的影響消除過程。其具體工作原理如下：

電位器可將轉(zhuǎn)軸角位移量線性表示為電壓，通過-15 V～+15 V電壓表示360°范圍內(nèi)的轉(zhuǎn)軸角。因此，通過轉(zhuǎn)軸角給定電壓與轉(zhuǎn)軸角反饋電壓可得到轉(zhuǎn)軸角的偏差量，作為誤差信號輸入前向通道，得到的電壓信號偏差量是一個幅值較小的微弱信號，需經(jīng)運算放大器K1放大后，輸出信號才可進(jìn)行有效操作，K1即為外環(huán)運算放大器。同時，為了消除火炮電源電壓、電機(jī)勵磁電流、電機(jī)負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化對電機(jī)的干擾作用，系統(tǒng)增加了速度內(nèi)環(huán)控制。在內(nèi)環(huán)控制中，運算放大器K2將測速電機(jī)TG的角速度反饋電壓信號與偏差電壓信號進(jìn)行放大，得到功率電壓信號，并輸入至功率放大電路，驅(qū)動電機(jī)旋轉(zhuǎn)，最終實現(xiàn)對電機(jī)轉(zhuǎn)軸角的控制，整個系統(tǒng)即可實現(xiàn)跟蹤的目的。

2 原理分析

2.1 數(shù)學(xué)模型

1）電位器

電位器是將角速表示為電壓的裝置，其對于轉(zhuǎn)軸角只有線性增益作用，其數(shù)學(xué)模型為：

2）運算放大器K1、K2與功率放大器K3

運算放大器K1、K2均作信號放大用，其數(shù)學(xué)模型為：

3）直流電動機(jī)

直流電動機(jī)通過電樞電壓進(jìn)行控制，電樞電壓即為經(jīng)過功率放大器的驅(qū)動電壓。當(dāng)直流電動機(jī)輸入電樞電壓uin時，其輸出軸角位移θ會改變[2]。一般情況下，電機(jī)補償良好，在響應(yīng)過程較慢的場合，認(rèn)為電樞反應(yīng)、渦流效應(yīng)及磁滯對電機(jī)不產(chǎn)生影響，即If為常數(shù)時，磁場不變，此時，電樞電壓控制的直流電動機(jī)數(shù)學(xué)模型為：

忽略負(fù)載，得到拉式變換后的傳遞函數(shù)：

4）測速電機(jī)

測速電機(jī)可在電樞兩端輸出與轉(zhuǎn)子角速度成正比的直流電壓，數(shù)學(xué)模型如下：

其中，Kc為輸出斜率，其拉式變換后傳遞函數(shù)為：

將以上部件按順序組裝連接，可以得到整個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)框圖，見圖1。

圖1 系統(tǒng)框圖

2.2 仿真分析

從圖1可知，系統(tǒng)為閉環(huán)雙反饋系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)為速度負(fù)反饋，外環(huán)為電壓負(fù)反饋，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下：

根據(jù)實際要求，得到參數(shù)：K0=30/360=0．083、K2=1（ 不 進(jìn) 行 放 大 ）、K3=220/7=31．5、Tm=1、Km=5、Kc=0．02。K1暫不取值，通過調(diào)整K1降低穩(wěn)態(tài)誤差，具體過程如下。

將各部分參數(shù)帶入傳遞函數(shù)，則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)椋?/p>

根據(jù)勞斯判據(jù)可得：當(dāng)K1＞0時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。為了滿足穩(wěn)態(tài)誤差小于0．001的要求，則K1需滿足式（9）。

故取K1=400并進(jìn)行系統(tǒng)分析。

2.2.1 時域性能分析及MATLAB仿真

搭建圖2所示的Matlab/Simulink仿真，輸出為階躍響應(yīng)，對系統(tǒng)進(jìn)行仿真，得到時域下的系統(tǒng)輸出結(jié)果見圖3。

圖2 Matlab/Simulink仿真

圖3 系統(tǒng)階躍響應(yīng)

由圖3可見，系統(tǒng)最終是穩(wěn)定的，但系統(tǒng)的超調(diào)量達(dá)到90%，調(diào)節(jié)時間約為1．8 s，性能不理想，此外系統(tǒng)階躍響應(yīng)震蕩嚴(yán)重，表明其距離不穩(wěn)定狀態(tài)很接近，幅值裕量與相角裕量均較小。

2.2.2 根軌跡仿真及性能分析

編寫Maltab程序，系統(tǒng)根軌跡見圖4。

K0= 0．083；

K1= 1；

K2= 1；

K3= 31．5；

Tm= 1；

Km= 5；

Kc= 0．02；

figure(1)

num = K0*K1*K2*K3*Km；

den = [Tm1+K2*K3*Km*Kc0]；

rlocus(num，den)

legend('Gain = K1')

圖4 系統(tǒng)根軌跡圖

由圖4得出結(jié)論：系統(tǒng)包含兩個極點，無零點；系統(tǒng)始終穩(wěn)定；當(dāng)K1＜0．329時，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，無超調(diào)量；當(dāng)K1＞0．329時系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)，出現(xiàn)超調(diào)。

2.2.3 頻率特性分析及性能仿真

取K1=400，系統(tǒng)伯德圖見5。

figure (2)

K1= 400；

num1 = K0*K1*K2*K3*Km；

den1 = [Tm1+K2*K3*Km*Kc0]；

margin(num1，den1)

hold on

grid on

圖5 系統(tǒng)伯德圖

圖5 中可讀出未補償系統(tǒng)的相角裕度Pm=3．29 deg，截止頻率 ωc=72．3 rad/s，幅值裕度無窮大，系統(tǒng)穩(wěn)定，但對擾動較為敏感，與時域曲線圖分析結(jié)果一致。由于實際要求系統(tǒng)相角裕度不小于40°，因此需要加入補償校正環(huán)節(jié)，以改善其性能。

3 校正裝置

3.1 校正原理

考慮到當(dāng)以-40 dB/dec穿越零分貝線時，系統(tǒng)的動態(tài)性能較差，同時由于原系統(tǒng)相角裕量過小，為增加相角裕量，選擇超前校正對系統(tǒng)進(jìn)行補償。

超前校正利用超前網(wǎng)絡(luò)的超前特性改變頻率響應(yīng)曲線的形狀，產(chǎn)生足夠大的相位超前角，以補償原系統(tǒng)中元件造成過大的相角滯后，其傳遞函數(shù)如式（10）所示[3]。

其中，T=1/ωz，ωz為轉(zhuǎn)折頻率，αT=1/ωz2，ωz2為校正后的轉(zhuǎn)折頻率。

3.2 裝置設(shè)計

根據(jù)系統(tǒng)控制要求為超調(diào)量σ%≤30%，得到系統(tǒng)的相角裕量γ應(yīng)大于45°，此時調(diào)節(jié)時間ts對應(yīng)為10/ωcs。結(jié)合實際中的相角裕量γ不小于40°，調(diào)節(jié)時間不超過0．3 s，計算出γ應(yīng)大于45°，截止頻率ωc應(yīng)大于33．3 rad/s。

由于γ應(yīng)大于45°，則校正后的截止頻率ωc’應(yīng)位于系統(tǒng)轉(zhuǎn)折頻率ωz2附近，ωz2之后幅值曲線的斜率應(yīng)為-40 dB/dec。從圖5中可以看到，1 rad/s處幅值增益Gm約為60 dB，當(dāng)幅頻曲線以-20 dB/dec斜率下降時，幅頻曲線將交0 dB線于約1 000 rad/s處，此時校正后系統(tǒng)的截止頻率ωc’接近于1 000 rad/s。因此，取超前校正的轉(zhuǎn)折頻率ωz2為1 000 rad/s。將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)折頻率ωz帶入，即可得到超前校正補償?shù)膫鬟f函數(shù)如式（11）所示。

而加入超前校正補償后的系統(tǒng)函數(shù)如式（12）所示。

3.3 性能分析

3.3.1 頻率特性分析及仿真

在Maltab的m腳本中編寫如下程序，畫出補償后系統(tǒng)的伯德圖如圖6所示。

figure(3)

num = [1260]；

den = [1/1000 1 0]；

bode(num，den)

margin(num，den)

grid on

圖6 校正后系統(tǒng)的伯德圖

圖6中可以看到，補償后系統(tǒng)的相角裕度為Pm=47．2 deg，截止頻率為ωc=925 rad/s，幅值裕度無窮大，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，滿足實際中系統(tǒng)相角裕度大于40°要求。調(diào)節(jié)時間ts=10/ωc=0．0 108 s，也滿足實際中不超過 0．3 s的要求。

3.3.2 根軌跡仿真及性能分析

編寫Maltab程序如下，畫出補償后系統(tǒng)的根軌跡圖如圖7所示。

num = [1260]；

den = [1/1000 1 0]；

figure(4)

rlocus(num/400，den)

axis([-1200 200 -1500 1500])；

legend('Gain = K1')

圖7中可以看到，當(dāng)K1=400時，補償后系統(tǒng)的超調(diào)量為21%，滿足實際中超調(diào)量σ%≤30%的要求。

圖7 補償后系統(tǒng)的根軌跡圖

3．3．3 時域性能分析及MATLAB仿真

根據(jù)超前補償校正的傳遞函數(shù)，搭建如圖8所示的Matlab/Simulink仿真，輸出為階躍響應(yīng)，得到時域下補償后系統(tǒng)輸出結(jié)果如圖9所示。

圖8 補償后系統(tǒng)的Matlab/Simulink仿真圖

圖9 補償后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖

補償后的系統(tǒng)超調(diào)量為21%左右，調(diào)節(jié)時間約為0．01 s，均與理論計算保持一致。此外，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差在0．001以內(nèi)，調(diào)節(jié)時間遠(yuǎn)小于一般情況下的0．3 s，實現(xiàn)了系統(tǒng)性能的提高。

3.4 校正系統(tǒng)硬件電路

超前補償校正裝置可由比例微分校正裝置與濾波型調(diào)節(jié)器（一階慣性環(huán)節(jié)）串聯(lián)而成，具體電路圖如圖10所示。

圖10 超前補償裝置的硬件電路圖

其中，R1、R2、R3和C1可以根據(jù)比例微分校正裝置計算公式得到：

而R4、R5和C2可以根據(jù)濾波型調(diào)節(jié)器（一階慣性環(huán)節(jié)）計算公式得到：

對于比例微分校正裝置，取R2=4．8 kΩ、R3=4．8 kΩ， 計 算 得 到R1=9．6 kΩ、C1=100 μF；對于濾波型調(diào)節(jié)器，取R5=10 Ω，計算得到R4=10 Ω、C1=0．1 F，最終得到所有電路參數(shù)。

4 性能比較

在Maltab的m腳本中編寫如下程序，畫出超前補償校正系統(tǒng)與補償前后系統(tǒng)的對比伯德圖如圖10所示。

K0= 0．083； % 80/360

K1= 400；

K2= 1；

K3= 31．5；

Tm= 1；

Km= 5；

Kc= 0．02；

num1 = K0*K1*K2*K3*Km；

den1 = [Tm1+K2*K3*Km*Kc0]；

num2 = [1/4．15 1]；

den2 = [1/1000 1]；

num3 = [1260]；

den3 = [1/1000 1 0]；

figure(2)

margin(num1，den1)

hold on

grid on

margin(num2，den2)

margin(num3，den3)

legend('原系統(tǒng)'，'補償系統(tǒng)'，'校正后系統(tǒng)')

圖10 校正系統(tǒng)與系統(tǒng)校正前后的對比伯德圖

圖10 中可以看到，雖然校正補償后系統(tǒng)的相角裕度提高了，與此同時系統(tǒng)的帶寬同樣增加，因此系統(tǒng)對低頻干擾的抑制作用減弱，系統(tǒng)犧牲了頻帶寬度從而提高了動態(tài)性能與穩(wěn)定性。各參數(shù)校正前后的變化情況數(shù)據(jù)見表1。

表1 各參數(shù)校正前后的變化情況

將補償前后Simulink仿真電路的階躍響應(yīng)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖11所示。

圖11可見，補償后系統(tǒng)的動態(tài)性能遠(yuǎn)優(yōu)于原系統(tǒng)，不僅超調(diào)量遠(yuǎn)低于原系統(tǒng)，調(diào)節(jié)時間也從秒級降低到毫秒級，有效提升系統(tǒng)穩(wěn)定性與快速性。校正補償后系統(tǒng)的相角裕度提高，與此同時系統(tǒng)的帶寬同樣增加，因此系統(tǒng)對低頻干擾的抑制作用減弱，系統(tǒng)犧牲了頻帶寬度從而提高了動態(tài)性能與穩(wěn)定性。這也符合了超前校正的特點：使校正后系統(tǒng)的截止頻率增大，降低系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間，響應(yīng)速度增大[4]；同時，使校正后的系統(tǒng)獲得最大的相角裕度，符合要求和根據(jù)實際情況選擇的校正思路。

圖11 系統(tǒng)補償校正前后階躍響應(yīng)的對比圖

5 結(jié)語

本文基于串聯(lián)超前校正的火炮跟蹤控制系統(tǒng)，對系統(tǒng)進(jìn)行了補償校正，通過原理分析、參數(shù)選擇、仿真，最終驗證了計算的正確性，提高了系統(tǒng)的整體性能。