外部數(shù)值保角變換的模擬電荷法的收斂性

孫筱煒，呂毅斌*，王櫻子，武德安

(1.昆明理工大學(xué) 理學(xué)院, 云南 昆明 650500；2.昆明理工大學(xué) 計算中心, 云南 昆明 650500；3.電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 611731)

復(fù)變函數(shù)中，保角變換是基本問題之一，它被廣泛應(yīng)用在流體力學(xué)、圖像處理和光學(xué)等領(lǐng)域[1-3]。保角變換的主要求解方法有解析法和數(shù)值計算法，其中，解析法在實際應(yīng)用時，由于工程問題的復(fù)雜性，并不能處理所有問題，因此適用范圍有限，所以數(shù)值計算求解保角變換函數(shù)的方法研究更廣。本文所研究的方法是日本研究學(xué)者Amano提出的基于模擬電荷法的數(shù)值保角變換法(即Amano法)[4-8]，該方法將模擬電荷法引入數(shù)值保角變換，避免了數(shù)值積分計算，具有計算時間短、程序復(fù)雜度低等優(yōu)點。保角變換包括單連通域和多連通域數(shù)值保角變換，單連通域的數(shù)值保角變換分為內(nèi)部數(shù)值保角變換和外部數(shù)值保角變換。本文在前人基礎(chǔ)上，研究基于模擬電荷法的外部數(shù)值保角變換函數(shù)的理論收斂性。

1 基于模擬電荷法的外部數(shù)值保角變換

圖1 基于模擬電荷法的外部數(shù)值保角變換

的解，γ是外部變換半徑，h(z)是g(z)在D內(nèi)的共軛調(diào)和函數(shù)，且h(∞)=0。

(1)

其中zi為約束點。由g(∞)=0,h(∞)=0，可得

(2)

聯(lián)立(1)、(2)，得到以Qj(j=1,2,…,N)和logγ為未知量的線性方程組：

(3)

其中aij=log|zi-ζj|,i,j=1,2,…,N。且保角變換函數(shù)f(z)近似為

2 定義及引理

令

(4)

這個近似解在平凡仿射變換下具有不變性[12]。使用函數(shù)ψ定義模擬電荷點ζj和約束點zi[13-14]

(5)

其中r>a，ω=exp{2πi/N}，且函數(shù)ψ具有保角拓展性，可拓展到{w∈C│|w|≥αa}(0<α<1)，這種保角拓展性等價于封閉Jordan曲線C的解析性。

本文考慮在Hilbert空間中，使用范數(shù)進(jìn)行誤差估計。將Dirichlet問題轉(zhuǎn)化為在S1=R上的問題，且所有定義在S1上的函數(shù)均是周期為1的周期函數(shù)[15]。

定義1Hs(C)表示邊界C上的函數(shù)b的集合，ba(τ)=b(ψ(ae2πiτ))為定義在S1上的函數(shù)。Hs(C)?Hs(S1)，其中Hs(S1)為Sobolev空間，且‖b‖Hs(C)=‖ba‖Hs(S1)(b∈Hs(C))。

定義3 定義(ε1,s1)≥(ε2,s2)?ε1>ε2或者(ε1=ε2且s1≥s2)；定義(ε1,s1)>(ε2,s2)?(ε1,s1)≥(ε2,s2)且(ε1,s1)≠(ε2,s2)。

定義4 ?N∈N，定義ΛN={n∈Z|-N/2≤n≤N/2}，ΔN={n/N∈S1|n∈ΛN}。

引理1 若(ε1,s1)>(ε2,s2)，則χε1,s1?χε2,s2存在且是緊致的。

綜合以上定義和引理，式(1)可轉(zhuǎn)化為

(6)

式(2)可轉(zhuǎn)化為

G(ψ(aωi))=b(ψ(aωi)), (i∈ΛN)。

(7)

在本文中，模擬電荷點ζj和約束點zj滿足式(5)，r>a且rα/a<1。

定理1 令(ε,s),(δ,t)∈(0,+∞)×R，若有

(1)(1,1/2)<(δ,t)<(1/α,-1/2)；

(3)(α,3/2)<(ε,s);

圖2 δ和ε所在區(qū)域示意圖

注1 令

H1={(δ,ε)|1≤δ≤r/a,ε=1/δ}，
L1={(δ,ε)|r/a≤δ≤(r/a)2,ε=(r/a)2δ}，
H2={(δ,ε)|r/a≤δ≤(r/a)2,ε=(r/a)2·1/δ}，
L2={(δ,ε)|1≤δ≤r/a,ε=δ}，
M1(r/a,(r/a)-1),M2=((r/a)2,1),
M3=(r/a,r/a),M4=(1,1),

記σ為H1、L1、H2、L2圍成的封閉區(qū)域，如圖2所示。定理1中的δ、ε等價于(δ,ε)∈σ。

注2 定理1中P的值為

考慮一般Jordan區(qū)域，將積分算子A分解成A=U+V，其中

引理3 若(ε,s)>((r/a)-1α,1/2)，(δ,t)<(1/α,-1/2)，則V∶χε,s→χδ,t是緊算子。

證明引理的證明詳見文獻(xiàn)[10]的引理4.3。

推論1 若((r/a)-1α,1/2)<(ε,s)<((r/a)-1·1/α,-3/2)，則V∶χε,s→χrε/a,s+1為緊算子。

引理4 令q∶S1→R在ΔN的有界領(lǐng)域內(nèi)是一個H?lder連續(xù)函數(shù)，若Aq=0，則有q=0。

式中k2是常數(shù)。

引理5 假設(shè)((r/a)-1α,1/2)<(ε,s)<((r/a)-1·1/α,-3/2)，則

(1)算子A∶χε,s→χrε/a,s+1是有界的；

(2)算子A是同構(gòu)的。

證明(1)證明詳見文獻(xiàn)[15]中的引理6(a)。

(2)將算子A看作算子V對同構(gòu)U的緊擾動，那么kerA=ker(U+V)?ranV，因此，dim ker(A)<+∞。同理，dim coker(A)<+∞。證明A是閉算子。首先，假設(shè)有限秩算子K滿足‖V-K‖<1/2，且k∈kerK，則‖Ak‖≥‖k‖/2。因此，算子A在kerK中有下限，A是一個閉集。因為dim coker(A)<+∞，所以ranA=A(kerK)+A(cokerK)是有限的,可得算子A=U+V是指標(biāo)為0的Fredholm算子。

下證A為單射。假設(shè)q∈χε,s滿足Aq=0，則q=-U-1Vq。根據(jù)引理3，?t<-1/2和q=-U-1Vq∈χ(r/a)-1·1/α,t-1，有Vq∈χ1/α,t。由于q是解析的，由引理4可知q=0。

引理6 令(ε,s),(δ,t)∈(0,+∞)×R，假設(shè)：

(1)((r/a)-1,-1/2)<(δ,t)<((r/a)-1·1/α,-3/2)；

(3)((r/a)-1α,1/2)<(ε,s)；

則?q∈χδ,t和足夠大的N∈N，在ΔN上存在唯一的函數(shù)qN∈JN，使得AqN=Aq。且存在一個常數(shù)C0′>0，使得

‖q-qN‖ε,s≤C0′‖q‖δ,t(ε/δ)N/2Np。

引理6的證明詳見文獻(xiàn)[15]的引理8。

(1)((r/a)-1,-1/2)<((r/a)-1δ,t-1)<((r/a)-1·1/α,-3/2)；

(3)((r/a)-1α,1/2)<((r/a)-1ε,s-1);

3 收斂定理及證明

定理2 若：(1)約束方程式(6)與式(7)具有唯一解，即式(3)的系數(shù)矩陣是正則的；

(2)假設(shè)正常數(shù)k和t滿足1<1/k<(r/a)2，(1/k,t)<(1/α,-1/2)；

則?ba∈χ1/k,t及足夠大的N∈N,存在一個常數(shù)C0″>0，使得

‖b-G‖Hs(C)≤C0″‖ba‖1/k,taN/2Ns-t,

(8)

其中s是一個常數(shù)，t>max{1/2,t}。

(1)?t∈R,由1<1/k<(r/a)2可得(δ,t)=(1/k,t)，由(1/k,t)<(1/α,-1/2)可得(1,1/2)<(δ,t)<(1/α,-1/2)。

(2)由1<1/k<(r/a)2，可得(r/a)2δ=(r/a)-2·1/k<1且1/δ=k<1；令ε=1,則ε>max{(r/a)-2δ,1/δ}。由1<1/k<(r/a)2，可得δ=1/k>1且(r/a)2·1/δ=(r/a)2k>1；令ε=1,則ε

(3)由ε=1>α,可得?s∈R，有(α,3/2)<(ε,s)。

綜上，定理2的證明過程與定理1相同，定理2中式(8)成立。

同理，可推出g(z)的共軛調(diào)和函數(shù)h(z)滿足定理2，即

‖d-H‖Hs(C)≤C0‖da‖1/k,taN/2Ns-t,

(9)

由以上結(jié)論可知，外部數(shù)值保角變換模擬電荷法的近似解G(z)和H(z)指數(shù)收斂。

定理3 對于足夠大的N∈N,存在一個常數(shù)C0?>0，0

‖f(z)-F(z)‖Hs(C)≤C0?pN。

(10)

證明根據(jù)文獻(xiàn)[16]的定理4，由式(8)、(9)可知，當(dāng)z∈C時，

i(H(z)-h(z))|×exp{GN(z)-g(z)+(HN(z)-h(z))}，

(11)

4 數(shù)值實驗

在MATLAB R2014a環(huán)境下，對基于模擬電荷法的外部數(shù)值保角變換的收斂性進(jìn)行驗證，誤差由max{f(z)-1}確定。

例1 橢圓的邊界為x2+y2/b2=1，當(dāng)b=2時，橢圓邊界為x2+y2/4=1。

將邊界及邊界外部的區(qū)域進(jìn)行保角變換，按本文的函數(shù)ψ設(shè)置電荷點和約束點位置，N=64時，電荷點和約束點分布如圖3所示。針對不同的模擬電荷點數(shù)量，做出誤差曲線如圖4所示。

圖3 橢圓模擬電荷點和約束點分布圖 圖4 橢圓誤差曲線

例2 Cassini形的邊界為{(x+1)2+y2}{(x-1)2+y2}=a4，當(dāng)a=21/14時，Cassini形邊界為{(x+1)2+y2}{(x-1)2+y2}=22/7。

對該圖形及其外部區(qū)域保角變換，使用函數(shù)ψ設(shè)置電荷點和約束點位置，當(dāng)N=64時，模擬電荷點和約束點分布如圖5所示，圖6是隨模擬電荷點數(shù)量增加的誤差圖。

5 總結(jié)

本文基于模擬電荷點和約束點的位置根據(jù)函數(shù)確定的情況下，從理論上證明了外部數(shù)值保角變換的模擬電荷法的收斂定理，并通過數(shù)值實驗的方法檢驗了收斂定理的準(zhǔn)確性。本文的研究可以為今后研究內(nèi)部數(shù)值保角變換、雙連通數(shù)值保角變換、多連通數(shù)值保角變換的收斂性提供基礎(chǔ)。