基于圖像塊相似性和稀疏先驗的模糊圖像盲去卷積復(fù)原

紀艷玲，湯宮民

（山東工程職業(yè)技術(shù)大學 信息工程學院，濟南 250000）

0 引 言

通過電子設(shè)備采集到的圖像在形成、儲存、調(diào)制處理和信號傳輸?shù)倪^程中，因為信道噪聲或模糊等因素影響會產(chǎn)生失真，從而造成圖像質(zhì)量的退化［1］。對采集過程中退化的圖像進行相關(guān)處理，從而得到與原始圖像盡可能一致圖像的過程稱為退化圖像的復(fù)原，其本質(zhì)是圖像退化的一個逆過程。作為一個基礎(chǔ)且重要的底層計算機視覺問題，圖像復(fù)原有很多經(jīng)典的理論和使用方法，早期的逆濾波從頻域的角度分析圖像復(fù)原，基于擴散的偏微分方程和小波系數(shù)的統(tǒng)計特性推動了圖像復(fù)原的發(fā)展；稀疏表示和字典學習在圖像復(fù)原方面也取得了較大的成功。近年來，隨著機器學習的快速發(fā)展，基于自然圖像塊建模的復(fù)原方法成為研究的熱點［2］。本文針對圖1 所示樣本類型進行圖像復(fù)原算法的研究。

圖1 退化圖像典型樣本Fig.1 Typical samples of degraded images

1 基礎(chǔ)理論

1.1 圖像退化

采集圖像質(zhì)量退化的原理可以用公式（1）所示的數(shù)學模型來表示：

其中，x表示初始清晰圖像；y表示采集后退化圖像；k表示模糊算子；n是噪聲；*是卷積運算。

通常可以假定噪聲為高斯白噪聲，服從均值為0，方差為σ的高斯分布，即n～N（0，σ）。如果模糊算子k已知，則稱為圖像非盲去卷積［3］。特別的，當k是狄拉克函數(shù)時，圖像復(fù)原問題就變成了圖像去噪。

在實際應(yīng)用中，模糊算子k和噪聲方差σ通常是未知的，這時的圖像復(fù)原問題稱為盲復(fù)原［4］。由于在退化方程中只有退化圖像y是已知的，而清晰圖像x、模糊算子k和方差σ均未知，從退化的圖像中恢復(fù)出清晰圖像是個病態(tài)問題。由于沒有足夠的信息保證待復(fù)原部分數(shù)據(jù)的正確性，通常需要利用先驗知識對問題加以約束。

1.2 圖像復(fù)原

通常可用公式（2）所示的損失函數(shù)來表示圖像復(fù)原的整個過程［5］。

其中，f(x，y) 表示數(shù)據(jù)保真項，使得估計出的原始圖像與退化圖像在內(nèi)容上保持一致，prior（x）則表示先驗項，這是一個來自自然圖像本身的特性。

這個損失函數(shù)可以從概率交付給與很好的解釋，根據(jù)最大后驗概率估計原理，對原始圖像的估計可表示為公式（3）：

其中，P（x ｜y）表示從原始圖像x得到退化圖像y的概率，P（x）表示圖像x的先驗概率，對上式取負對數(shù)，就可以得到圖像復(fù)原的損失函數(shù)。

2 基于稀疏先驗算法的模糊圖像盲去卷積復(fù)原

對于模糊圖像進行盲去卷積，難點在于對于模糊算子一無所知，這就需要一個先驗性的知識，對原圖及模糊算子進行預(yù)估初始化。

解決這一問題的思路是采用圖像強度與梯度的L0 正則化［6］。首先，對圖像進行g(shù)amma 矯正；其次，設(shè)置模糊算子大小，確定最大迭代次數(shù)，梯度濾波，用快速傅里葉變換去除模糊算子內(nèi)的固體噪聲，建立梯度幅度直方圖，對模糊算子進行估計。

2.1 基于自然圖像塊強度與梯度的L0 正則化先驗的盲去卷積

對于給定的模糊圖像，在沒有給定模糊算子的情況下，直接使用維納濾波無法實現(xiàn)濾波，只能通過先驗知識進行估計。本文借鑒傳統(tǒng)露西－理查德森（Richardson－Lucy）的盲去卷積算法的同時，融合自然圖像塊強度和梯度的L0 正則化進行盲去卷積。

該算法由貝葉斯公式推導(dǎo)而來，因為使用了條件概率，即算法考慮了信號的固有波動，因此具有復(fù)原噪聲圖像的能力［7］。貝葉斯公式如公式（4）所示：

結(jié)合圖像退化／復(fù)原模型，可以得到迭代函數(shù)，如公式（5）所示：

其中，fi就是第i輪迭代復(fù)原圖像，對應(yīng)貝葉斯公式中的p（x）；g是退化函數(shù)，對應(yīng)貝葉斯公式的P（y ｜x）；c為退化圖像。

假設(shè)退化圖像各區(qū)域的模糊函數(shù)處處相同，那么可以將公式（5）化簡為公式（6）：

這就是路西－理查德森迭代公式，其中c是退化圖像；g是退化函數(shù)；f是第k輪復(fù)原圖像。

如果系統(tǒng)的退化函數(shù)PSF（g（x））已知，只要有一個初始估計f就可以進行迭代求解。在開始迭代后，由于算法的形式，估計值會與真實值的差距迅速減小，從而后續(xù)迭代過程f的更新速度會逐漸變慢，直至收斂。算法的另一優(yōu)點就是初始值f ＞0，后續(xù)迭代值均會保持非負性，并且能量不會發(fā)散。

無噪聲影響的盲去卷積需要兩步進行復(fù)原，原因是既不知道原始圖像f，也不知道退化函數(shù)g。算法執(zhí)行流程如圖2 所示。

圖2 圖像盲去卷積流程圖Fig.2 Flow chart of image blind deconvolution

即在第k輪迭代，假設(shè)原始圖像已知，即第k－1輪得到的fk－1，再通過R－L 公式求解gk，隨后再用gk求解fk，反復(fù)迭代，最后求得最終f和g。因此，在求解最初，需要同時假設(shè)一個復(fù)原圖像f0和一個退化函數(shù)g0。迭代公式如公式（7）和公式（8）所示：

同時，為了解決在復(fù)原圖像內(nèi)部灰度對比明顯的地方和圖像邊界都出現(xiàn)的“振鈴”問題，定義一個加權(quán)函數(shù)來減少圖像中的“振鈴”，該算法是在對圖像和PSF 進行復(fù)原時，對每個像元根據(jù)｜WEIGHT ｜數(shù)組進行加權(quán)計算。

2.2 基于強度和梯度先驗的L0 正則化去卷積

借助于不同的自然圖像先驗信息，可以估計出不同的原始圖像。常用的自然圖像的先驗信息有自然圖像的局部平滑性、非局部自相似性、稀疏性等特征［8］，本文在圖像塊相似性先驗復(fù)原基礎(chǔ)上加以稀疏度特征，從而實現(xiàn)更精確的電子設(shè)備采集圖像的盲去卷積復(fù)原。

對于一幅模糊圖像x，定義其強度稀疏度如公式（9）所示：

而其稀疏度，即先驗條件，可表示為強度稀疏度和梯度稀疏度之和，如公式（10）所示：

式中，σ為權(quán)重，Pi（?x）為梯度稀疏度。

梯度稀疏度的最小化，本文采用L0 正則化方法實現(xiàn)，如公式（11）所示：

其中，x為清晰圖像；y為模糊圖像；γ和λ為正則化參數(shù)；k為模糊核；?為卷積運算符；‖‖2為正則約束項。

考慮到公式（11）無法直接求最小值，因此采用半二次分裂的優(yōu)化方法，即固定x，μ，g中任意兩個變量來交替求最小值。實驗發(fā)現(xiàn)，采用梯度域預(yù)估模糊核比一般像素值預(yù)估模糊核效果要好。

3 結(jié)果分析

本文實驗在Macbook air 1.8GHz Intel Core i5，8GB 內(nèi)存的硬件環(huán)境和MacOS High Sierra10.13.3、Matlab R2017a 的軟件環(huán)境條件下進行。

利用本文算法對模糊退化圖像進行盲去卷積復(fù)原，樣本復(fù)原圖像及其最大值歸一化后的模糊算子見表1?？梢郧宄吹?，對于模糊文字、海報及實際車輛的復(fù)原效果較好。特別的，對于極度模糊的車輛，圖像復(fù)原后可以清晰辨認車輛車牌號后6 位為B 8L358。

表1 退化圖像復(fù)原結(jié)果圖Tab.1 Restoration results of degraded images

4 結(jié)束語

利用退化圖像與清晰圖像之間部分相似性和稀疏先驗條件構(gòu)建數(shù)學模型，以提高采集圖像的質(zhì)量。首先，構(gòu)建基于圖像塊期望的高斯拉普拉斯相似性模型，使計算機學習過程簡化，速度加快；其次，通過概率統(tǒng)計中的近似最大后驗估計算法，最終實現(xiàn)采集退化圖像的復(fù)原。通過對典型退化圖像樣本的算法測試可以看出，該算法對于模糊圖像的還原效果顯著，具有極大的現(xiàn)實意義。