數(shù)學(xué)文化視角下概念教學(xué)的實(shí)踐與思考

繆凌穎

1問題的提出

隨著中高考的改革，數(shù)學(xué)文化儼然成為關(guān)注熱點(diǎn)，但受應(yīng)試教育的影響，大多數(shù)教師認(rèn)為，“數(shù)學(xué)文化的考察就是找一道古算題讓學(xué)生做一做就行了，考試時直接看翻譯，難度不大，要把精力放在其他地方.”可見廣大教師對數(shù)學(xué)文化的理解存在一定的偏差，數(shù)學(xué)作為人類文化的重要組成部分，其價值囊括科學(xué)、應(yīng)用、審美、人文四個維度，可見，數(shù)學(xué)不僅要有理性還應(yīng)有人文性.《課標(biāo)（2017）版本》指出：數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點(diǎn)，以及它們的形成和發(fā)展;還包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻(xiàn)和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動.因此，數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)的重要內(nèi)涵就是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培育、數(shù)學(xué)史的合理滲透和數(shù)學(xué)活動的開展.

概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，想上好概念課不容易，因?yàn)閿?shù)學(xué)概念的形成對學(xué)生抽象能力提出了較高的要求，而數(shù)學(xué)概念的抽象能力培養(yǎng)是伴隨著相關(guān)活動經(jīng)驗(yàn)的積累而逐步提高的，因此讓學(xué)生充分參與概念的建構(gòu)，感受數(shù)學(xué)概念形成和發(fā)展中的是非曲直，不僅能讓學(xué)生感悟研究數(shù)學(xué)概念的一般套路，也對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展和理性精神的培育大有裨益.2019年10月31日，在福建省蔡德清名師工作室組織的“數(shù)學(xué)文化教育教學(xué)”專題活動中，筆者有幸開設(shè)一節(jié)題為《認(rèn)識二元一次方程組》的數(shù)學(xué)文化交流課，受到專家們的好評，認(rèn)為學(xué)生活動真實(shí)高效、課堂文化氛圍濃厚、關(guān)注學(xué)科素養(yǎng)發(fā)展等.如何讓學(xué)生在概念學(xué)習(xí)過程中感受數(shù)學(xué)文化？如何讓概念的探究與文化的滲透相得益彰呢？下面筆者結(jié)合課堂中的幾個教學(xué)片斷，談?wù)剶?shù)學(xué)文化視角下概念教學(xué)的實(shí)踐與思考.

2數(shù)學(xué)文化視角下的教學(xué)實(shí)踐與分析

2.1理解教材做好目標(biāo)定位

在這節(jié)課的備課階段，筆者翻閱了北師大版七年級、八年級、九年級的教材中與方程相關(guān)的章節(jié)，發(fā)現(xiàn)教材編寫不僅體現(xiàn)螺旋上升式的理念，而且十分重視方程學(xué)習(xí)方法的滲透，體現(xiàn)為每一個方程章節(jié)都遵循認(rèn)識方程——解方程——應(yīng)用方程的學(xué)習(xí)順序.其次，教材的單元設(shè)計(jì)也多處體現(xiàn)數(shù)學(xué)史的融合，例如，章前圖的雞兔同籠與教材中的牛羊問題，彰顯歷史性的同時又顯得饒有趣味.另外，二元一次方程（組）是一元一次方程學(xué)習(xí)的后續(xù)與發(fā)展，對多元高次方程（組）、一次函數(shù)和不等式的學(xué)習(xí)起著承上啟下的作用，而八年級的學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)習(xí)過一元一次方程，對方程學(xué)習(xí)的一般過程有自己的體會，面對現(xiàn)實(shí)中的簡單問題已經(jīng)初步具備抽象建模的意識，這些相關(guān)知識與活動經(jīng)驗(yàn)都為本節(jié)課開展類比學(xué)習(xí)提供了良好的基礎(chǔ)，基于以上分析，確立如下的目標(biāo)：（1）經(jīng)歷“歷史趣題”的探究進(jìn)一步體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，進(jìn)一步積累方程學(xué)習(xí)的活動經(jīng)驗(yàn);（2）經(jīng)歷二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念的形成過程，會判斷一組數(shù)是否是某個二元一次方程組的解;（3）積極參與二元一次方程組應(yīng)用的活動，通過與一元一次方程的對比，感受二元一次方程組的優(yōu)越性.

2.2創(chuàng)設(shè)情境明確研究對象

好的情境是教學(xué)得以順利開展的必備條件，情境創(chuàng)設(shè)通常有兩個目的：一是回顧相關(guān)知識和方法，而是促使當(dāng)前的問題情境與學(xué)生既有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)或者沖突，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲.所以情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)成為知識生長的沃土，而選用數(shù)學(xué)史上的方程趣題來引入教學(xué)不僅能讓學(xué)生經(jīng)歷抽象建模的過程又可以讓學(xué)生再次感受方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的產(chǎn)物，體會方程的實(shí)用價值.

新課開始，筆者在簡要介紹《孫子算經(jīng)》以后，出示問題1：“雞兔同籠問題”：今有雞兔同籠，上有8頭，下有26足，問雞、兔各幾何？要求學(xué)生用一元一次方程解答，繼而以此題為例回顧一元一次方程的相關(guān)知識.接著追問，既然這個問題有兩個未知量，若把雞和兔的只數(shù)分別表示成x和y，又能列出怎樣的方程呢？類似地，請學(xué)生設(shè)出兩個未知量研究“歐幾里得問題”——問題2：騾子和驢馱著酒囊行走在路上.為酒囊重量所壓迫，驢痛苦地抱怨著：“你這么年輕，才比我多馱兩袋.”聽到驢的怨言，騾子說：“你為什么滿腹牢騷，抱怨的應(yīng)該是我才對呀！因?yàn)椋绻憬o我一袋酒，我負(fù)的重量就是你的兩倍.”好心的數(shù)學(xué)大師，請告訴我，他們所負(fù)酒囊各有幾袋？

教學(xué)分析通過對雞兔同籠問題和歐幾里得經(jīng)典問題的思考，引導(dǎo)學(xué)生列出新方程，明確本節(jié)課的研究對象.這樣的歷史趣題，以動物對話的形式生動活潑地呈現(xiàn)問題情境，讓學(xué)生在情境中找到探究之樂，體會現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價值，感受數(shù)學(xué)文化的魅力.

2.3抽象本質(zhì)生成關(guān)鍵概念

數(shù)學(xué)概念的獲得是觀察、比較、分析、抽象、概括和辨析等一系列高階思維活動的結(jié)果，在本節(jié)課的概念獲得方式屬于概念的同化，因此要遵循如圖l的流程：

例如，在本節(jié)課探求二元一次方程及其解的概念的環(huán)節(jié)，教師先是提出問題3：觀察上一環(huán)節(jié)所得到的4個方程x+y=8，2x+4y=26，x-y=2，x+1=2（y-1），這些方程和一元一次方程有什么區(qū)別？請嘗試給它們下定義并說明理由.在組織學(xué)生討論以后，學(xué)生代表1發(fā)言：我認(rèn)為叫二元一次方程，因?yàn)樗鼈兌加袃蓚€未知數(shù).生2補(bǔ)充：還要注意所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.教師引導(dǎo)學(xué)生明確：方程定義有兩個關(guān)注點(diǎn)——“元”與“次”，并出示問題4：x+y+z=5;xy=7;2m+n=4是二元一次方程嗎？如果不是，應(yīng)該叫什么名字？很快學(xué)生就達(dá)成共識：它們分別是三元一次方程、二元二次方程和二元一次方程.

緊接著，提出問題5：滿足x-y=2，且符合實(shí)際意義的x，y值有哪些？請把它們填入表1.

學(xué)生填表后，教師追問這樣的x，y值有幾組？引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程的解形成二元一次方程解的概念，另外，教師還請學(xué)生分享填表經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生認(rèn)識到可以先寫出一個x的值或者y的值再根據(jù)一元一次方程確定另一個，不僅滲透了對應(yīng)的思想而且與一元一次方程也建立了聯(lián)系.

教學(xué)分析由兩個數(shù)學(xué)史上的經(jīng)典趣題探究引出二元一次方程，引導(dǎo)學(xué)生觀察歸納方程的本質(zhì)特征，將感性認(rèn)知上升為理性認(rèn)識，讓學(xué)生借助一元一次方程的知識自我遷移形成二元一次方程的概念，以正反例的辨認(rèn)來加深學(xué)生對“元”與“次”的認(rèn)識，讓學(xué)生深入理解概念的內(nèi)涵，明確本質(zhì)屬性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)展的科學(xué)性.問題5讓學(xué)生嘗試、感受二元一次方程的解的不確定性和對應(yīng)思想為后續(xù)的《二元一次方程與一次函數(shù)》學(xué)習(xí)埋下伏筆.

二元一次方程組及其解的概念探究也是如此，限于篇幅不再贅述.

教學(xué)分析《九章算術(shù)》是中國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，教師通過對它的介紹，讓學(xué)生感受中國古代數(shù)學(xué)文化的實(shí)用價值并提升民族自豪感.利用兩種設(shè)元方法用來引導(dǎo)學(xué)生思考“二次購物”問題，讓學(xué)生經(jīng)歷兩種方法的對比，明確二元一次方程組在面對復(fù)雜現(xiàn)實(shí)情境時的優(yōu)越性，其直觀的思維與簡潔的表達(dá)讓難點(diǎn)的突破變得十分自然，凸顯了新知學(xué)習(xí)的必要性，體現(xiàn)數(shù)學(xué)因現(xiàn)實(shí)需求而不斷擴(kuò)充發(fā)展的文化.另外，經(jīng)歷列表嘗試解方程組的過程使學(xué)生認(rèn)識到其解法研究的必要性，為下節(jié)課二元一次方程組的解法教學(xué)留下懸念.

2.5整理反思納入知識系統(tǒng)

學(xué)生暢談收獲，師生梳理形成知識網(wǎng)絡(luò).

最后教師以一首小詩小結(jié)本節(jié)課：雞兔同籠各多少，牛羊攜手直幾金.二元方程通今古，抽象建模得始終.

教學(xué)分析以開放式和歸納式的小結(jié)來引導(dǎo)學(xué)生的自我反思，從知識、方法、文化價值上進(jìn)行拓展和延伸，符合課堂的主題定位.教師以詩歌的形式引領(lǐng)學(xué)生一起回顧知識的發(fā)生過程，厘清知識之間的邏輯關(guān)系，點(diǎn)出學(xué)習(xí)方程的方法，將零散的知識納入學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使課堂富有文學(xué)味.

3教學(xué)思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀》中明確指出：二元一次方程（組）的教學(xué)應(yīng)關(guān)注實(shí)際問題情境，體現(xiàn)建模思想，把實(shí)際問題情境的作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn).因此，作為二元一次方程（組）的概念教學(xué)應(yīng)遵守從實(shí)際問題中抽象研究對象的學(xué)習(xí)方式，更能體現(xiàn)學(xué)習(xí)的意義.本節(jié)課概念多、任務(wù)重，容易出現(xiàn)概念淺表呈現(xiàn)的情況.因此教學(xué)必須從宏觀處合理布局，利用數(shù)學(xué)文化背景下的實(shí)際問題情境、組織高效的課堂活動，使學(xué)生完整的經(jīng)歷概念的生成過程并厘清邏輯關(guān)系.

3.1立足相關(guān)概念的自然生成，發(fā)展數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)

章建躍博士認(rèn)為：概念課的主旋律是讓學(xué)生參與概念本質(zhì)特征的概括活動.在概念形成的初始階段一定要讓學(xué)生充分觀察歸納方程的本質(zhì)特征，放慢教學(xué)節(jié)奏讓學(xué)生用自己的語言描述，通過與認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的一元一次方程比較，形成認(rèn)知沖突，讓類比學(xué)習(xí)自然生成.從現(xiàn)場反饋來看，學(xué)生不僅能抓住方程概念的靈魂——“元”與“次”而且遷移效果也很好.其次，針對于這種描述性定義的教學(xué)應(yīng)充分讓學(xué)生感受概念抽象過程中的直觀與嚴(yán)謹(jǐn)，強(qiáng)調(diào)概念的辨析和應(yīng)用的輔助作用，其他概念的形成也是遵循這樣的流程.因此，二元一次方程相關(guān)概念的形成不僅是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的過程，更是教學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界的過程.

3.2彰顯文理交融的文化特色，感受數(shù)學(xué)的人文魅力

固然數(shù)學(xué)的理性與邏輯令人折服，但這不代表數(shù)學(xué)課堂只能留下冷冰冰的推理與計(jì)算.讓數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、詩歌等這些富有人文氣息的元素也融入課堂中，讓文和理共同為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)服務(wù)，從而實(shí)現(xiàn)文理的完美交融.這節(jié)課以《孫子算經(jīng)》的雞兔同籠來引出二元一次方程的相關(guān)概念探究，以《九章算術(shù)》的牛羊直金來感受其實(shí)用性，這些活動無疑讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)文化的魅力，有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)水平.從課后的學(xué)生問卷分析來看，有97.2%的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)史融入課堂對本節(jié)課的學(xué)習(xí)很有幫助，100%的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)史能有效提高學(xué)習(xí)興趣.以詩歌的形式小結(jié)，有94.4%的學(xué)生感到印象深刻.因此，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的人文側(cè)面，改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀并欣賞數(shù)學(xué)的美妙之處.

3.3樹立章節(jié)一體的教學(xué)觀念，體會知識的理性關(guān)聯(lián)

章節(jié)起始課是章節(jié)的劇情預(yù)告片，應(yīng)做到既見樹木又見森林，因此它所承載的任務(wù)不單是二元一次方程相關(guān)概念的認(rèn)識，還應(yīng)引起學(xué)生對方程的研究模式的思考，由一元一次方程的研究過程遷移到二元一次方程的研究過程，讓知識的發(fā)生與應(yīng)用顯得水到渠成，這樣的教學(xué)不僅避免了概念的單一化又能讓學(xué)生體會新知與舊知之間的關(guān)聯(lián)，逐步建立起章節(jié)的初步框架，豐富自身的數(shù)學(xué)概念系統(tǒng).例如，本節(jié)課立足二元一次方程概念，在學(xué)生嘗試求解的過程體會與一元一次方程之間的關(guān)系，在研究兩個未知量間的關(guān)系時又感受到函數(shù)的對應(yīng)思想.當(dāng)然，遺憾的是對二元一次方程組的解法關(guān)聯(lián)略顯不足，從課后問卷統(tǒng)計(jì)中發(fā)現(xiàn)有5名學(xué)生表示希望教師多拓展關(guān)于二元一次方程組的解法.其實(shí)在牛羊直金問題上可以引導(dǎo)學(xué)生思考利用兩組等量關(guān)系得到羊的單價分別表示y=8-2x/4，y=12-5x/2，而生3將其兩者劃等號就是“消元”的過程.

3.4落實(shí)學(xué)生活動的主體地位，營造和諧的課堂文化

課堂文化的是學(xué)生學(xué)習(xí)環(huán)境建設(shè)的重要內(nèi)容，只有學(xué)生樂于思考、勇于表達(dá)、積極合作、和諧交流才能讓深度學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生.本節(jié)課立足于特定的學(xué)習(xí)任務(wù)情境，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)閱讀、觀察、思考、辨析、交流等學(xué)習(xí)活動平臺，在教師的組織下由學(xué)生自己去探索概念、去關(guān)聯(lián)知識.例如，小老師上臺講解、古文翻譯、自己談學(xué)習(xí)體會等環(huán)節(jié)都很好地落實(shí)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位.而教師能稚化自己的思維和學(xué)生一起感受知識的發(fā)生，分享學(xué)習(xí)感受，以平等的姿態(tài)鼓勵學(xué)生的學(xué)習(xí)，傾聽學(xué)生的表達(dá)等，這些舉措也為營造和諧的課堂文化做出了貢獻(xiàn).值得商榷的是對于“驢騾酒囊”情境中體現(xiàn)出的一種相互埋怨的情緒筆者的處理顯得不夠成熟，試著改變兩者的身份，設(shè)計(jì)出一種互幫互助的情境可能會讓德育的滲透顯得潤物細(xì)無聲，實(shí)現(xiàn)人文教育與科學(xué)教育的和諧平衡.

4且行且思

總之，盡管數(shù)學(xué)文化的研究由來已久，但在初中數(shù)學(xué)課堂中的落實(shí)還有很長的路要走，兩者的深度融合應(yīng)成為廣大教師的努力方向.只有當(dāng)數(shù)學(xué)文化真正植根課堂，融入教學(xué)實(shí)踐，數(shù)學(xué)才變得富有柔情和靈動;只有當(dāng)數(shù)學(xué)文化成為人人認(rèn)同的教育思想，數(shù)學(xué)課才能引領(lǐng)學(xué)生向求真、求善、求美的境界不斷發(fā)展，真正實(shí)現(xiàn)立德樹人的教育目標(biāo).