設(shè)置數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)引入，自然建構(gòu)弧度制概念

程青華

弧度制，一直被認(rèn)為是高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)難點(diǎn)，很多同行為此展開(kāi)了思考，在弧度制引入的必要性上苦苦追尋.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中也要求體會(huì)弧度制引入的必要性，但是如何體會(huì)？我們需要理解弧度制的本質(zhì)是什么？弧度制的本質(zhì)是用線段長(zhǎng)度度量角的大小，這樣的度量統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)的單位，也為進(jìn)一步理解高中函數(shù)概念中為什么強(qiáng)調(diào)函數(shù)必須是實(shí)數(shù)集合與實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)，因?yàn)橹挥羞@樣才能進(jìn)行基本初等函數(shù)的運(yùn)算（四則運(yùn)算、復(fù)合、求反函數(shù)等），使函數(shù)具有更廣泛的應(yīng)用性.

本文通過(guò)初高中三角函數(shù)定義的不同來(lái)說(shuō)明弧度制引入的必要性，探索弧度制概念課的教學(xué)引入，通過(guò)不同單位度量同一事物的差別發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，再通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)操作感知新概念的來(lái)臨，依照數(shù)據(jù)的分析和比較自然引入弧度制定義，生成不突兀，在實(shí)踐和探究中建構(gòu)了弧度制概念.

1情境思考

單靠弧度制這一節(jié)概念課是無(wú)法深刻體會(huì)弧度制引入的必要性的，我們可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)情境來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題.

情境對(duì)于三角函數(shù)的教學(xué)，為什么初中數(shù)學(xué)通過(guò)直角三角形講述，高中數(shù)學(xué)要通過(guò)單位圓講述？這是必要的嗎？

分析基于對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義，要求函數(shù)與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱前者的取值范圍為定義域，稱后者的取值范圍為值域.初中三角函數(shù)是對(duì)直角三角形中邊角關(guān)系的刻畫，其中自變量的取值是60進(jìn)位制的角度、不是10進(jìn)位制的實(shí)數(shù)，不符合對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義，事實(shí)上，初中學(xué)習(xí)三角函數(shù)，是為了解直角三角形，并不討論三角函數(shù)的基本性質(zhì)，在高中階段，借助單位圓建立角度與對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)的關(guān)系，用對(duì)應(yīng)弧長(zhǎng)刻畫角的大小，因?yàn)殚L(zhǎng)度單位與實(shí)數(shù)單位一致，這就使得三角函數(shù)的自變量與函數(shù)值得取值都是實(shí)數(shù)，復(fù)合對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)定義.

按照課本的順序，弧度制是在單位圓三角函數(shù)之前，所以我們要想更深刻地去體會(huì)弧度制引入的必要性，必須要通過(guò)后續(xù)學(xué)習(xí)，然而這節(jié)概念教學(xué)課如何引入呢？

筆者也做了一些思考，先從不同單位度量同一事物的差別出發(fā)，認(rèn)識(shí)到度量單位選取的重要性，緊接著用實(shí)驗(yàn)測(cè)定弧長(zhǎng)（線段長(zhǎng)）、半徑長(zhǎng)、角度，通過(guò)比較分析得出規(guī)律，進(jìn)而引出弧度制概念，與此同時(shí)用幾何畫板來(lái)驗(yàn)證任意性，突出實(shí)驗(yàn)操作對(duì)弧度制定義的認(rèn)知作用，就從教學(xué)效果來(lái)看，還是頗有回味感的.

2《弧度制》教學(xué)引入部分課堂實(shí)錄

2.1創(chuàng)設(shè)情景，引向課題

小巨人姚明的身高有兩個(gè)版本：227cm、229cm，《休斯頓紀(jì)事報(bào)》報(bào)導(dǎo)了227和229兩個(gè)數(shù)字的由來(lái)，原來(lái)是姚明選秀（2002年5月）時(shí)，NBA官員將姚明身高登記為7英尺5.5英寸，換算為227cm，火箭隊(duì)公布姚明身高為7英尺6英寸，就是229cm.

請(qǐng)你分析小巨人姚明的身高為什么會(huì)出現(xiàn)這么大的差異？（讓生討論，學(xué)生會(huì)得出各種各樣的答案，適當(dāng)提醒，引導(dǎo)學(xué)生思考這是度量單位精確度的問(wèn)題，換算成其他度量單位就會(huì)產(chǎn)生誤差.）

師：請(qǐng)你分析小巨人姚明的身高為什么會(huì)出現(xiàn)這么大的差異？

生1：有可能姚明長(zhǎng)高了;

生2：長(zhǎng)高不可能吧？可能是鞋子的問(wèn)題;

生3：他測(cè)的應(yīng)該是凈身高，可能是測(cè)量?jī)x器的誤差問(wèn)題;

師：還有沒(méi)有其他的認(rèn)識(shí)？

生4：既然是選秀，測(cè)量的身高應(yīng)該是很嚴(yán)格的，同時(shí)也應(yīng)該是最為標(biāo)準(zhǔn)的，我認(rèn)為應(yīng)該是精確度的問(wèn)題.

生5：對(duì)，是精確度的問(wèn)題，據(jù)我所了解，姚明當(dāng)時(shí)測(cè)量的身高為7.552英尺，精確到0.1時(shí)是7.6英尺，換算成國(guó)際單位厘米則是229cm;若精確到0.01時(shí)則是7.55英尺，換算成國(guó)際單位厘米則為227cm.這就是我們看到的差異的原因.

師：剛才這位同學(xué)講得很精彩，也很正確，是精確度在作祟，相差0.5英寸，換算成cm就相差2個(gè)cm了，說(shuō)明了用相對(duì)小些的cm來(lái)度量姚明的身高會(huì)較合理些.

結(jié)論對(duì)于某些實(shí)物我們測(cè)量時(shí)可以選用英尺來(lái)測(cè)量較好，而測(cè)量身高則用國(guó)際單位cm較好，不同的實(shí)物不同的度量單位，我們要根據(jù)情況選擇使用.

師：那同學(xué)們?cè)傧胂脒€有哪些度量單位，比如重量？

生：有千克、克、噸、斤、公斤……

師：很好！我們看到度量長(zhǎng)度或者重量與很多種單位，那不同的單位之間有關(guān)系嗎？

生：1噸=1000千克，1公里=1000米，可以進(jìn)行換算.

師：好！既是如此，所以我們選擇不同的單位來(lái)度量同一事物.

那么對(duì)于目前唯一度量角的角度制是不是也有其他的度量方式呢？

2.2實(shí)踐操作，引出課題

而對(duì)于初中我們學(xué)習(xí)過(guò)的角度制是一種什么樣的度量角的方式呢？回顧并給出1°的角的定義：將圓周分成360等份，每一段圓弧所對(duì)的圓心角就是1°的角.

既然用角度制可以度量角，接下來(lái)就從實(shí)驗(yàn)中感知.學(xué)生分組探究：如圖1，在平面內(nèi)畫扇形并測(cè)量出角度，用細(xì)繩測(cè)量弧長(zhǎng)L和半徑r，探討它們的關(guān)系.（表格中數(shù)據(jù)全部精確到0.1）

把準(zhǔn)備好的畫在紙上的扇形（角度大約為1弧度的兩個(gè)不同半徑的兩個(gè)，角度大約為2弧度的1個(gè)）發(fā)給各組，先測(cè)量角度（精確到0.1）直接用白板將數(shù)據(jù)填入表格，然后發(fā)現(xiàn)：除了用角度制去度量這些角時(shí)，那么是不是有另一種度量角的方法呢？繼續(xù)測(cè)量弧長(zhǎng)L和半徑r，同樣將各組同學(xué)測(cè)量的數(shù)據(jù)填入表格中，然后分析得出：用半徑所對(duì)的弧長(zhǎng)比上半徑可以去度量某一個(gè)角，那么是不是對(duì)于任意角都可以呢？

如圖2～5，用幾何畫板演示學(xué)生觀察.（一邊觀察一邊引導(dǎo)學(xué)生從比值上理解）

得出結(jié)論除了角度制去度量某一個(gè)角之外，我們確實(shí)可以用任意角的弧長(zhǎng)比上半徑來(lái)度量這個(gè)角.那么這種度量角的方式就是我們今天要講的弧度制.

板書：1.1.2弧度制

3教學(xué)反思與分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》明確指出：“數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在學(xué)生與情境、問(wèn)題的有效互動(dòng)中得到提升.在教學(xué)活動(dòng)中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.”這就清楚地表明，設(shè)置情境的重要性.通過(guò)實(shí)踐，是數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個(gè)重要過(guò)程，學(xué)生是認(rèn)識(shí)的主體，又是創(chuàng)造與發(fā)展的主體，充分尊重學(xué)生的主體地位，正確發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，是“數(shù)學(xué)概念課”課堂教學(xué)模式這一教學(xué)模式的指導(dǎo)思想.情境設(shè)置加上操作實(shí)踐，對(duì)一些共性進(jìn)行認(rèn)識(shí)，在認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上正式提出新概念.基于這個(gè)指導(dǎo)思想，本課題的教學(xué)實(shí)現(xiàn)了幾大突破.

3.1以“姚明身高問(wèn)題”為引入，讓學(xué)生積極參與到探討是什么原因?qū)е乱γ魃砀叩淖兓町?/p>

學(xué)生的回答會(huì)比較多，也比較精彩，一下子把氣氛給調(diào)動(dòng)起來(lái)了，但是最終找到問(wèn)題的答案：是精確度在作祟，這個(gè)時(shí)候教師便可以總結(jié)出不同的單位度量時(shí)誤差會(huì)不同，不同單位之間可以進(jìn)行換算，描述同一事物可以用不同的單位，以此得出作為度量角的大小的角度制是否可以用其他的單位制來(lái)表示呢？認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，我們就可以繼續(xù)進(jìn)行探究.通過(guò)互動(dòng)觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題正是我們尋求新概念的基礎(chǔ).

3.2實(shí)踐出真知

根據(jù)弧度制的本質(zhì)我們可以大膽地動(dòng)手做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，分組測(cè)量角度，然后再測(cè)量半徑和弧長(zhǎng)，積極引導(dǎo)學(xué)生從弧長(zhǎng)比上半徑的方向思考，用量角器測(cè)量角度比較容易做到，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)弧長(zhǎng)比上半徑的值趨于一個(gè)定值時(shí)，意味著用這種方式表示角的大小也是一種方式，而且是一個(gè)實(shí)數(shù).顯然數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)更能感知到弧度制概念的出現(xiàn)并不會(huì)讓人覺(jué)得很突兀，而是找到了一種具有實(shí)踐形式的知識(shí)結(jié)合點(diǎn)和技能生長(zhǎng)點(diǎn).

3.3重視信息技術(shù)運(yùn)用，實(shí)現(xiàn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合

充分借助“幾何畫板”和“希沃白板”演示動(dòng)態(tài)過(guò)程，讓學(xué)生感知“同一個(gè)角的弧長(zhǎng)與相對(duì)應(yīng)的半徑比值相同”和“不同的角的弧長(zhǎng)與相對(duì)應(yīng)的半徑比值不同”.于是可以總結(jié)出對(duì)于任意角都可以用弧長(zhǎng)比上半徑來(lái)表示，而且比值是任意一個(gè)實(shí)數(shù)，這種度量角的方式就是本課題要研究的弧度制.通過(guò)實(shí)踐認(rèn)識(shí)再實(shí)踐再認(rèn)識(shí)得到新的數(shù)學(xué)概念.充分利用流媒體一體機(jī)的書寫功能，將學(xué)生所測(cè)數(shù)據(jù)直接填入表格，這些或可成為亮點(diǎn)，新媒體的使用讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，同時(shí)也是方便教師，順其自然地講授，對(duì)學(xué)生也頗具有吸引力.

4結(jié)語(yǔ)

弧度的引進(jìn)的主要原因是為了適應(yīng)微積分創(chuàng)立之后科學(xué)計(jì)算上的需要，更具體地說(shuō)，弧度的引入使得微積分中的關(guān)于三角函數(shù)的各種公式，如微分公式、積分公式和泰勒公式等等，與普通的角度制相比，都得到了大大簡(jiǎn)化.

這使得弧度制成為了高等數(shù)學(xué)的一個(gè)必然選擇，但是對(duì)高中生來(lái)說(shuō)，我們用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)來(lái)引入弧度制的概念教學(xué)未免有些高了，而高中生更多的是要體驗(yàn)弧度制的意義，體會(huì)引入弧度制的必要性即可.本文主要針對(duì)弧度制概念的出現(xiàn)而設(shè)計(jì)的課題引入，需要學(xué)生掌握的知識(shí)也很自然的生成，教師只是穿針引線者，其他教學(xué)過(guò)程著墨不多.教無(wú)定法，只要在關(guān)注知識(shí)本質(zhì)上思考能讓學(xué)生自然生成概念的方法都不妨一試.