基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)

陳德燕

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）在學(xué)科核心素養(yǎng)中指出：“數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).”“數(shù)學(xué)建模主要表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗(yàn)和完善模型，分析和解決問題.”《課標(biāo)》給出了數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的三個(gè)具體要素：對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng)、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題的素養(yǎng)、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模的四個(gè)具體環(huán)節(jié)：發(fā)現(xiàn)和提出問題環(huán)節(jié)、建立和求解模型環(huán)節(jié)、檢驗(yàn)和完善模型環(huán)節(jié)、分析和解決問題環(huán)節(jié)，簡(jiǎn)稱“三要素”、“四環(huán)節(jié)”.

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，落實(shí)“四環(huán)節(jié)”是形成和發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)“三要素”的路徑與方法，是達(dá)成與發(fā)展數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.下面就數(shù)學(xué)建模教學(xué)中“四環(huán)節(jié)”的落實(shí)談?wù)剛€(gè)人的體會(huì).

1發(fā)現(xiàn)和提出問題

發(fā)現(xiàn)和提出問題的本質(zhì)是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題.為引導(dǎo)學(xué)生感悟?qū)F(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的語言與方式表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的方法，積累發(fā)現(xiàn)和提出問題的經(jīng)驗(yàn)，在選擇數(shù)學(xué)建模素材（或問題）時(shí)，應(yīng)注意選擇具有一定的現(xiàn)實(shí)性、模糊性、開放性的問題.

案例 木板支架的最大承受力

建筑工地上經(jīng)常用一塊木板擱在兩個(gè)支架上，建筑工人在木板上行走或操作.如何估算該木板支架的最大承受力？

分析由于數(shù)學(xué)建模問題具有現(xiàn)實(shí)性、模糊性的特點(diǎn)，因此，數(shù)學(xué)建模的首要問題是將現(xiàn)實(shí)世界的問題簡(jiǎn)化為現(xiàn)實(shí)的模型.

為此引導(dǎo)學(xué)生考慮影響木板支架承受力的因素（變量），并選擇關(guān)鍵因素（變量）進(jìn)行研究.經(jīng)過討論，在考慮是同一種材質(zhì)木板的前提下，將影響木板支架承受力的關(guān)鍵變量確定為：兩個(gè)支架間的距離、木板的寬度、木板的厚度，分別用d，a，h表示.記M為該類型材質(zhì)木板支架的最大承受力.則問題轉(zhuǎn)化為研究變量d，a，h，M之間的關(guān)系，即尋找d，a，h與M之間的函數(shù)關(guān)系.這樣通過對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象、進(jìn)而用數(shù)學(xué)的語言與方式表達(dá)問題，實(shí)現(xiàn)將實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題方向的轉(zhuǎn)化.

2建立和求解模型

數(shù)學(xué)模型的建立離不開數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)的收集.由于工具缺乏以及課堂時(shí)間的原因，數(shù)據(jù)收集成為一個(gè)數(shù)學(xué)建模的一個(gè)“堵點(diǎn)”、“難點(diǎn)”，但就數(shù)學(xué)建模而言，這一環(huán)節(jié)是不可或缺的.考慮到課堂教學(xué)的實(shí)際情況，筆者對(duì)這一“堵點(diǎn)”采取師生共同討論需要收集哪些數(shù)據(jù)以及收集數(shù)據(jù)的方式，然后展示“收集”到的數(shù)據(jù).

案例中，為突破多變量難點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生回歸到現(xiàn)實(shí)問題展開思考：根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，在兩支架間距離d不變的情形下，顯然木板支架的最大承受力M與木板的寬度、木板的厚度有關(guān).如果進(jìn)一步固定木板的寬度（或厚度），那么木板支架的最大承受力M就只與木板的厚度（或?qū)挾龋┯嘘P(guān)了.受此啟發(fā)，我們?cè)诖_定它們之間的關(guān)系式時(shí)，先固定d，a，h中的兩個(gè)變量，找出余下變量與M之間的關(guān)系式，再綜合得到這三個(gè)變量與M之間的關(guān)系式.

d=2，h=0.2時(shí)，經(jīng)過試驗(yàn)測(cè)得M的值如表1所示;d=2，h=0.2時(shí)，經(jīng)過試驗(yàn)測(cè)得M的值如表2所示;d=2，h=0.2時(shí)，經(jīng)過試驗(yàn)測(cè)得M的值如表3所示.（d，a，h的單位為m，M單位為kg）

若能夠獨(dú)立或通過小組討論完成本案例解答的各個(gè)過程，包括對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)采集、數(shù)據(jù)分析、建立和求解模型、驗(yàn)證與修正模型、并能夠?qū)δＰ驮趯?shí)際應(yīng)用時(shí)提出建議，則可以認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平3的要求.

數(shù)學(xué)建模教學(xué)首先應(yīng)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的全過程，感悟用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題的“套路”.上述案例的教學(xué)就很好地使學(xué)生體驗(yàn)與經(jīng)歷了數(shù)學(xué)建模的全過程：（1）發(fā)現(xiàn)和提出問題，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)化.通過對(duì)現(xiàn)實(shí)世界問題的簡(jiǎn)化得到現(xiàn)實(shí)的模型，進(jìn)而對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，實(shí)現(xiàn)用數(shù)學(xué)的語言與方式表達(dá)實(shí)際問題（將木板支架的最大承受力這一現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為研究木板支架的最大承受力M與兩支架間距離d，木板寬度a，木板厚度h之間的關(guān)系問題，將問題演變?yōu)閷ふ襠，a，h，M四者之間的關(guān)系）.（2）數(shù)據(jù)的收集與分析，建立與求解模型.（3）模型的修正與檢驗(yàn).（4）模型的解釋與實(shí)際問題的解決.

其次，數(shù)學(xué)建模是一種思維的方式，僅僅是從理論上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的思想和方法，而不借助于具體的案例和素材動(dòng)手實(shí)踐是達(dá)不到形成和發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)要求的.在開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中，可采取“短問題與長(zhǎng)問題”相結(jié)合的方式.“短問題”指可以在課堂內(nèi)完成、或課后30分鐘左右可以完成的建模問題，一般為數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)的一部分，如本案例中略去數(shù)據(jù)“收集”環(huán)節(jié)以適合于課堂教學(xué)與課后隨堂作業(yè).“長(zhǎng)問題”指適合于學(xué)生在數(shù)周或假期等較長(zhǎng)的一段時(shí)間內(nèi)獨(dú)立或小組合作共同完成的建模問題.如，調(diào)查了解在各時(shí)間段從你家到學(xué)校的通勤時(shí)間（或你家到機(jī)場(chǎng)、動(dòng)車站等），以便規(guī)劃你的行程，就屬于“長(zhǎng)問題”，本文的案例也可以作為“長(zhǎng)問題”.在“長(zhǎng)問題”中應(yīng)要求學(xué)生寫出研究報(bào)告并對(duì)研究報(bào)告的形式與內(nèi)容提出規(guī)范的要求.