期望損失（ES）的幾種逼近法比較

魏正元，李 喬，王 雪，鄭小洋

（重慶理工大學 理學院，重慶 400054）

在險值（value at risk，VaR）和期望損失（expected shortfall，ES）是2種常用且重要的風險度量值，且2個量都是不可直接觀測的，VaR直觀、簡單，ES屬一致性風險度量，故而關于這2個量的研究一直備受學者和市場從業(yè)者的關注，相關的著作和文獻較多［1－3］。然而ES的積分運算不一定有閉式表達式，因而很有必要研究其近似計算和數(shù)值解法。

在未知總體分布情況下，SIMONATO JG［4］應用Johnson分布的前四階矩計算VaR和ES，GRAZIA Z M等［5］使用Gram Charlier展開對數(shù)據(jù)進行建模，得出風險度量的封閉形式，Amédée Manesme CO等［6］探討了校正的Cornish Fisher在風險度量中的應用，Arevalillo JM［7］研究了Saddlepoint反演。本研究將Edgeworth和Saddlepoint引入ES的計算，并與bootstrap的結果進行比較，結果表明Edgeworth和Saddle point在VaR的計算中相差無幾，但在計算ES時，Edgeworth展開比Saddlepoint展開簡單且具有更高的精確度。

設某個金融頭寸在持有期L內的損失變量X的概率分布函數(shù)為FX（x）（本文用資產收益率γt刻畫風險，空頭用X＝γt，多頭用X＝－γt），且E［｜X｜］＜∞，給定尾部概率p（0＜p＜1），ES的定義為［6］

這里xq＝F－1X （p）是X的q＝1－p右側分位數(shù)，從風險度量角度是VaR值xq＝VaRp（X）。ES為損失超過VaR值的期望，也就是條件在險值（CVaR）。

1 主要結果

定理1 若損失隨機變量X滿足Cramer’s①如果sup t→∞ ｜E F（eitX）｜＜1，則X滿足Cramer’s條件條件，則式（1）中I（xq）的估計值為

證明 如果連續(xù)型隨機變量X前4階矩存在，其q分位數(shù)的Cornish Fisher展開和概率密度函數(shù)的Edgeworth展開有如下形式［8］

式中

出I（xq）的值，通過Edgeworth展開得到一個不完全gamma函數(shù)的解析表達式，使尾部積分的計算得以實現(xiàn)。

定理2 設X1，X2，…，Xn是來自總體F（x）的iid樣本，則式（1）中I（xq）的估計值為

證明 若iid樣本X1，X2，…，Xn～f（x），記MX（t）＝E［etX］和KX（t）＝log MX（t）為X的矩母函數(shù)和累積量生成函數(shù)，Tn＝（X1，X2，…，Xn，F(xiàn)）為某標準化的漸近正態(tài)統(tǒng)計泛函，記Fn是Tn的分布函數(shù)，Mn（t）為Tn的矩母函數(shù)，

為Tn的累積量生成函數(shù)（Cumulant generating function）。令

由文獻［7］中的結論可得Saddlepoint展開計算的分位數(shù)為

第二步近似I（xq），將Saddlepoint展開計算的分位數(shù)與Broda［9］給出的近似方法相結合可得

2 模擬計算

Bootstrap屬非參數(shù)統(tǒng)計方法，它將觀測樣本看作有限總體，通過對觀測樣本進行重復抽樣得到Boot strap樣本，進而對總體分布的未知參數(shù)進行推斷。若x1，…，xn為損失隨機樣本觀測值，x（1），…，x（n）為其次序統(tǒng)計量，令l＝nq，qi＝li／n，l1和l2表示nq的最近鄰的2個正整數(shù)，那么分位數(shù)xq的估計為

從觀測樣本x1，…，xn抽取Bootstrap樣本，重復抽樣次數(shù)為B，那么基于Bootstrap計算的VaR為

表1 分位數(shù)理論值和3種方法在不同尾部概率下的估計值

從表1中分位數(shù)估計可以看出：Bootstrap和Cornish Fisher估計更接近真實值，Saddlepoint估計雖然在精確度上次之，但相對誤差未超過5%。從圖1可以看出I（xq）的計算結果，Edgeworth展開擬合值和Bootstrap擬合值與真實值更為接近，一定程度上說明Edgeworth展開在計算ES值時比Saddlepoint展開更為精確。

3 實證分析

本文中采集阿里巴巴2019年6月1日到8月1日的股票收盤價格Pt共41個，從多頭的角度，以日對數(shù)收益率Rt＝log（Pt）－log（Pt－1）來進行實證分析。運用Saddlepoint展開時，以雙指數(shù)分布擬合收益率數(shù)據(jù)。收益率數(shù)據(jù)通過核密度估計、Saddlepoint展開和Edgeworth展開擬合的4個密度函數(shù)分別如圖1、2所示。

圖1 樣本量為20的gamma（5．5）分布的I（xq）真實值，Saddlepoint估計值，Edgeworth估計值以及Bootstrap擬合值

圖2 收益率數(shù)據(jù)的擬合核密度函數(shù)圖及其雙指數(shù)分布和Edgeworth展開擬合的密度函數(shù)

從圖2中看出：Edgeworth展開擬合的密度函數(shù)比Saddlepoint展開擬合的密度函數(shù)更接近參照值。進一步比較表2中VaR值的近似值，反轉Lugannani Rice和Cornish Fisher估計在精確程度上相當，且相對誤差都不超過15%。觀察表3比較I（xq）的計算結果，Edgeworth展開更為精確，誤差比不超過15%，優(yōu)于Saddlepoint展開。

表2 3種方法在不同尾部概率下的分位數(shù)估計

表3 3種方法在不同的概率下計算的I（xq）值

4 結論

比較分析了在小樣本情況下Edgeworth展開和Saddlepoint展開在計算ES值時的優(yōu)劣。隨機模擬和實證分析結果可以看出：Edgeworth展開計算更為簡單、結果更為精確。Cornish Fisher展開和反轉Lugan nani Rice公式都給出了VaR值的相對誤差小于15%的有效估計值，相比之下反轉Lugannani Rice沒有一個具體的表達式，計算繁瑣。需要指出的是，Saddlepoint展開是基于累積量生成函數(shù)得出的，如果分布的矩母函數(shù)不存在，則無法使用Saddlepoint展開。